第六節(jié)雙曲線A組基礎(chǔ)題組1.已知橢圓+=1(a>0)與雙曲線-=1有相同的焦點(diǎn),則a的值為()A.B.C.4D.2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=04.(20xx課標(biāo),5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若·<0,則y0的取值范圍是()A.B.C.D.5.設(shè)F1,F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.6.(20xx北京,12,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則a=;b=. 7.設(shè)中心在原點(diǎn)的雙曲線與橢圓+y2=1有公共的焦點(diǎn),且它們的離心率互為倒數(shù),則該雙曲線的方程是. 8.已知F1,F2為雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn),過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P和Q,且F1PQ為正三角形,則雙曲線的漸近線方程為. 9.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),左,右焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn)(4,-).(1)求雙曲線的方程;(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.10.已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求雙曲線E的離心率;(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、四象限),且OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E.若存在,求出雙曲線E的方程.B組提升題組11.(20xx安徽江南十校3月聯(lián)考)已知l是雙曲線C:-=1的一條漸近線,P是l上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn),若·=0,則P到x軸的距離為()A.B.C.2D.12.(20xx吉林長(zhǎng)春二模)過雙曲線x2-=1的右支上一點(diǎn)P分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點(diǎn)分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為()A.10B.13C.16D.1913.(20xx北京,13,5分)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=. 14.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值為. 15.已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求雙曲線C2的方程;(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·>2,求k的取值范圍.16.設(shè)A,B分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使+=t,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).答案全解全析A組基礎(chǔ)題組1.C因?yàn)闄E圓+=1(a>0)與雙曲線-=1有相同的焦點(diǎn)(±,0),則有a2-9=7,所以a=4.2.A由題意知圓心坐標(biāo)為(5,0),即c=5,又e=,所以a=,所以a2=5,b2=20,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.3.A設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2,則e1=,e2=.因?yàn)閑1·e2=,所以=,即=,=.故雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,即x±y=0.4.A若·=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距c=為半徑的圓上,則解得=.可知:·<0點(diǎn)M在圓x2+y2=3的內(nèi)部<y0.故選A.5.B|PF2|=|F1F2|=2c,所以由雙曲線的定義知|PF1|=2a+2c,因?yàn)镕2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,兩邊同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去).6.答案1;2解析由題可知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,故漸近線方程為y=±x,又一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a.又該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.7.答案2x2-2y2=1解析橢圓的焦點(diǎn)為(±1,0),雙曲線的焦點(diǎn)為(±1,0).橢圓的離心率e=,雙曲線的離心率e'=.雙曲線中c2=2a2,1=2a2,a2=,又雙曲線中b2=c2-a2,b2=,所求雙曲線的方程為2x2-2y2=1.8.答案y=±x解析解法一:設(shè)F2(c,0)(c>0),P(c,y0),代入雙曲線方程得y0=±,PQx軸,|PQ|=.在RtF1F2P中,PF1F2=30°,|F1F2|=|PF2|,即2c=·.又c2=a2+b2,b2=2a2或2a2=-3b2(舍去),a>0,b>0,=.故所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.解法二:在RtF1F2P中,PF1F2=30°,|PF1|=2|PF2|.由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=2a,由已知易得|F1F2|=|PF2|,2c=2a,c2=3a2=a2+b2,2a2=b2,a>0,b>0,=,故所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.9.解析(1)e=,可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=(0).雙曲線過點(diǎn)(4,-),16-10=,即=6,雙曲線的方程為x2-y2=6.(2)證法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),=,=,·=-.點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,9-m2=6,m2=3,故·=-1,MF1MF2,即·=0.證法二:由證法一知=(-3-2,-m),=(2-3,-m),·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,點(diǎn)M在雙曲線上,9-m2=6,即m2-3=0,·=0.10.解析(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程分別為y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,從而雙曲線E的離心率e=.(2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)lx軸時(shí),若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則|OC|=a,|AB|=4a,又因?yàn)镺AB的面積為8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此時(shí)雙曲線E的方程為-=1.B組提升題組11.CF1(-,0),F2(,0),不妨設(shè)l的方程為y=x,則可設(shè)P(x0,x0),由·=(-x0,-x0)·(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=±,故P到x軸的距離為|x0|=2,故選C.12.B由題意可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1)=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)·(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-32|C1C2|-3=13,故選B.13.答案2解析由OA、OC所在的直線為漸近線,且OAOC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對(duì)角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=2,根據(jù)c2=2a2可得a=2.14.答案-2解析由已知可得A1(-1,0),F2(2,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)(x1),則·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=x2-x-2+y2,因?yàn)閤2-=1,所以·=4x2-x-5,當(dāng)x=1時(shí),·有最小值-2.15.解析(1)設(shè)雙曲線C2的方程為-=1(a>0,b>0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故雙曲線C2的方程為-y2=1.(2)將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn),得k2<1且k2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.又·>2,>2,即>0,解得<k2<3.由得<k2<1,故k的取值范圍為.16.解析(1)由題意知a=2,一條漸近線方程為y=x,即bx-2y=0,=,b2=3,雙曲線的方程為-=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),+=t,x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,將直線方程代入雙曲線方程得x2-16x+84=0,則x1+x2=16,y1+y2=12,點(diǎn)D在雙曲線的右支上,解得t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).