第五節(jié)橢圓A組基礎題組1.已知方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,則實數(shù)k的取值范圍是()A.B.(1,+)C.(1,2)D.2.(20xx黑龍江齊齊哈爾一中期末)已知橢圓的焦點在x軸上,離心率為,直線x+y-4=0與y軸的交點為橢圓的一個頂點,則橢圓的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,則以A,B為焦點,且過C,D兩點的橢圓的短軸的長為()A.2B.2C.4D.44.設橢圓+=1的焦點為F1,F2,點P在橢圓上,若PF1F2是直角三角形,則PF1F2的面積為()A.3B.3或C.D.6或35.已知橢圓+=1(0<b<2)的左,右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,若|BF2|+|AF2|的最大值為5,則b的值是()A.1B.C.D.6.已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為,且過點P(-5,4),則橢圓的標準方程為. 7.已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2,則橢圓C的方程是. 8.橢圓+=1的左,右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則F1PF2的大小為. 9.已知橢圓的兩焦點為F1(-,0),F2(,0),離心率e=.(1)求此橢圓的方程;(2)設直線l:y=x+m,若l與此橢圓相交于P,Q兩點,且|PQ|等于橢圓的短軸長,求m的值.10.已知橢圓+=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左,右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若F1AB=90°,求橢圓的離心率;(2)若=2,·=,求橢圓的方程.B組提升題組11.已知橢圓C:+=1的左,右焦點分別為F1,F2,橢圓C上的點A滿足AF2F1F2.若點P是橢圓C上的動點,則·的最大值為()A.B.C.D.12.如圖,已知橢圓C的中心為原點O,F(-2,0)為C的左焦點,P為C上一點,滿足|OP|=|OF|,且|PF|=4,則橢圓C的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=113.(20xx江蘇,10,5分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓+=1(a>b>0)的右焦點,直線y=與橢圓交于B,C兩點,且BFC=90°,則該橢圓的離心率是. 14.設F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點,點P在橢圓C上,線段PF1的中點在y軸上,若PF1F2=30°,則橢圓C的離心率為. 15.(20xx云南檢測)已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O,離心率等于,以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線l:y=kx+m與y軸交于點P,與橢圓E相交于A、B兩個點.(1)求橢圓E的方程;(2)若=3,求m2的取值范圍.答案全解全析A組基礎題組1.C方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,所以解得故k的取值范圍為(1,2).2.C設橢圓的方程為+=1(a>b>0),由題意知解得所以橢圓的方程為+=1.3.D依題意得|AC|=5,橢圓的焦距2c=|AB|=4,長軸長2a=|AC|+|BC|=8,所以短軸長2b=2=2=4.4.C由橢圓的方程知a=2,b=,c=1,當點P為短軸端點(0,)時,F1PF2=,PF1F2是正三角形,若PF1F2是直角三角形,則直角頂點不可能是點P,只能是焦點F1(或F2),此時|PF1|=,=××2=.故選C.5.D由橢圓的方程可知a=2,由橢圓的定義可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)3,由橢圓的性質可知,過橢圓焦點的弦中,垂直于焦點所在坐標軸的弦最短,則=3.所以b2=3,即b=.6.答案+=1解析由題意設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0).由離心率e=可得a2=5c2,所以b2=4c2,故橢圓的方程為+=1,將P(-5,4)代入可得c2=9,故橢圓的方程為+=1.7.答案+=1解析設橢圓C的方程為+=1(a>b>0).由題意知解得a2=16,b2=12.所以橢圓C的方程為+=1.8.答案120°解析由橢圓定義知,|PF2|=2,|F1F2|=2×=2.在PF1F2中,由余弦定理,得cosF1PF2=-,F1PF2=120°.9.解析(1)設橢圓方程為+=1(a>b>0),由題意知c=,=,所以a=2,則b=1,所求橢圓方程為+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,則=64m2-4×5×4(m2-1)>0,整理,得m2<5(*).設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|=2.解得m=±,滿足(*),所以m=±.10.解析(1)F1AB=90°,則AOF2為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,所以e=.(2)由題知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,設B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.將B點坐標代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2.又由·=(-c,-b)·=,得b2-c2=1,即a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.所以橢圓的方程為+=1.B組提升題組11.B由橢圓方程知c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因為橢圓C上的點A滿足AF2F1F2,所以可設A(1,y0),代入橢圓方程可得=,所以y0=±.設P(x1,y1),則=(x1+1,y1),又=(0,y0),所以·=y1y0,因為點P是橢圓C上的動點,所以-y1,故·的最大值為,選B.12.B設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),焦距為2c,右焦點為F',連接PF',如圖所示.因為F(-2,0)為C的左焦點,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF'|知,FPF'=90°,即FPPF'.在RtPFF'中,由勾股定理,得|PF'|=8.由橢圓定義,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以橢圓的方程為+=1.13.答案解析由已知條件易得B,C,F(c,0),=,=,由BFC=90°,可得·=0,所以+=0,c2-a2+b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以=,則e=.14.答案解析如圖,設PF1的中點為M,連接PF2.因為O為F1F2的中點,所以OM為PF1F2的中位線.所以OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90°.因為PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|=|PF2|,由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=,2c=|F1F2|=|PF2|c=,則e=·=.15.解析(1)根據(jù)已知設橢圓E的方程為+=1(a>b>0),由已知得=,c=a,b2=a2-c2=.以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4,4=2a=4,a=2,b=1.橢圓E的方程為x2+=1.(2)根據(jù)已知得P(0,m),設A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.由已知得=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,由一元二次方程的根與系數(shù)的關系知,x1+x2=,x1x2=.由=3得x1=-3x2,3(x1+x2)2+4x1x2=12-12=0.+=0,即m2k2+m2-k2-4=0.當m2=1時,m2k2+m2-k2-4=0不成立,k2=.由題意知k0,m0,結合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k2>0,-m2+4>0,即>0.1<m2<4.m2的取值范圍為(1,4).