第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【考綱下載】1理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理2會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有兩類方案在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結論完成這件事共有Nmn種不同的方法完成這件事共有Nm×n種不同的方法1選用分類加法計數(shù)原理的條件是什么？提示：當完成一件事情有幾類辦法，且每一類辦法中的每一種辦法都能獨立完成這件事情，這時就用分類加法計數(shù)原理2選用分步乘法計數(shù)原理的條件是什么？提示：當解決一個問題要分成若干步，每一步只能完成這件事的一部分，且只有當所有步都完成后，這件事才完成，這時就采用分步乘法計數(shù)原理1某班班干部有5名男生、4名女生，從9人中選1人參加某項活動，則不同選法的種數(shù)為()A9 B5 C4 D72解析：選A分兩類：一類從男生中選1人，有5種方法；另一類是從女生中選1人，共有4種方法因此，共有549種不同的選法2一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩袋子里各取一個球，不同取法的種數(shù)為()A182 B14 C48 D91解析：選C由分步乘法計數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為6×848.3某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數(shù)為()A20 B25 C32 D60解析：選C依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合題意的電話號碼的個數(shù)為2532.4. 如圖所示，從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經過乙地到丙地有2條水路可走則從甲地經乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為()A6,8 B6,6 C5,2 D6,2解析：選A從甲地經乙地到丙地，分兩步：第1步，從甲地到乙地，有3條公路；第2步，從乙地到丙地，有2條公路根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有3×26種走法從甲地到丙地，分兩類：第1類，從甲地經乙地到丙地，有6種走法；第2類，從甲地不經過乙地到丙地，有2條水路，即有2種走法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有628種走法5計劃在四個體育館舉辦排球、籃球、足球三個項目的比賽，每個項目的比賽只能安排在一個體育館進行，則在同一個體育館進行比賽的項目不超過兩項的安排方案共有_種解析：每個項目的比賽安排在任意一個體育館進行，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4364種安排方案，其中三個項目的比賽都安排在同一個體育館進行的4種安排方案不符合題意，所以在同一個體育館進行比賽的項目不超過兩項的安排方案共有64460種答案：60考點一分類加法計數(shù)原理例1(1)若x，yN*，且xy6，則有序自然數(shù)對(x，y)共有_個(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為_自主解答(1)因為x，yN*，且xy6.所以當x1時，y有5個不同的值；當x2時，y有4個不同的值；當x3時，y有3個不同的值；當x4時，y有2個不同的值；當x5時，y有1個不同的值由分類加法計數(shù)原理知，共有5432115個符合條件的有序自然數(shù)對(2)當個位數(shù)為2時，十位數(shù)只能取1；當個位數(shù)為3時，十位數(shù)有2種取法；當個位數(shù)取4時，十位數(shù)有3種取法；當個位數(shù)為9時，十位數(shù)有8種取法依分類加法計數(shù)原理知：共有12836個符合條件的兩位數(shù)答案(1)15(2)36【互動探究】本例(2)中的條件不變，求個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)且為偶數(shù)的個數(shù)解：當個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個；當個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個；當個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個同理可知；當個位數(shù)字是2時，共7個；當個位數(shù)字是0時，共9個由分類加法計數(shù)原理知，共有1357925個符合條件的兩位數(shù) 【方法規(guī)律】1分類加法計數(shù)原理的特點(1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類2使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則有時分類的劃分標準有多個，但不論是以哪一個為標準，都應遵循“標準要明確，不重不漏”的原則1從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A3 B4 C6 D8解析：選D法一：公比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4；2,4,8；公比為3時，等比數(shù)列可為1,3,9；公比為時，等比數(shù)列可為4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比數(shù)列，所以共8個法二：當q>1時，分別以1,2,4為首項的有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.當0<q<1時有4,2,1；9,3,1；8,4,2；9,6,4，共8個2(20xx·金華模擬)橢圓1的焦點在y軸上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，則這樣的橢圓的個數(shù)為_解析：以m的值為標準分類，分為五類第1類：m1時，使n>m，n有6種選擇；第2類：m2時，使n>m，n有5種選擇；第3類：m3時，使n>m，n有4種選擇；第4類：m4時，使n>m，n有3種選擇；第5類：m5時，使n>m，n有2種選擇由分類加法計數(shù)原理，符合條件的橢圓共有20個答案：20考點二分步乘法計數(shù)原理 例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的點，則(1)P可表示平面上_個不同的點(2)P可表示平面上_個第二象限的點自主解答(1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第1步，確定a的值，共有6種確定方法；第2步，確定b的值，也有6種確定方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到平面上的點的個數(shù)是6×636.(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：第1步，確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；第2步，確定b，由于b>0，所以有2種確定方法由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是3×26.答案(1)36(2)6【方法規(guī)律】利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件(3)對完成各步的方法數(shù)要準確確定1從1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)ax2bxc的系數(shù)，則可組成_個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有_個(用數(shù)字作答)解析：一個二次函數(shù)對應著a，b，c(a0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×218個二次函數(shù)若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b0，同上可知共有3×26個偶函數(shù)答案：1862. 如圖所示，某電子器件由3個電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果焊接點脫落，整個電路就會不通現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊接點脫落的可能情況共有_種解析：電路不通可能是一個或多個焊接點脫落，問題比較復雜但電路通的情況卻只有一種，即各焊接點全未脫落因為每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26163種可能情況答案：63高頻考點考點三 兩個計數(shù)原理的綜合應用 1兩個計數(shù)原理的應用，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題2高考對兩個計數(shù)原理的考查主要有以下幾個命題角度：(1)與數(shù)字有關的問題；(2)涂色問題例3(1)(20xx·福建高考)滿足a，b1,0,1,2，且關于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A14 B13 C12 D10(2)(20xx·煙臺模擬)如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則涂色方法共有_種自主解答(1)當a0時，關于x的方程為2xb0，此時有序數(shù)對(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當a0時，44ab0，ab1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)綜上，共有13個滿足要求的有序數(shù)對(2)因為區(qū)域1與其他4個區(qū)域都相鄰，首先考慮區(qū)域1，有4種涂法，然后再按區(qū)域2,4同色和不同色，分為兩類：第1類，區(qū)域2,4同色，有3種涂法，此時區(qū)域3,5均有2種涂法，共有4×3×2×248種涂法；第2類，區(qū)域2,4不同色，先涂區(qū)域2，有3種方法，再涂區(qū)域4，有2種方法，此時區(qū)域3,5都只有1種涂法，共有4×3×2×1×124種涂法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有482472種滿足條件的涂色方法答案(1)B(2)72與兩個計數(shù)原理有關問題的常見類型及解題策略(1)與數(shù)字有關的問題可分類解決，每類中又可分步完成；也可以直接分步解決；(2)涂色問題可按顏色的種數(shù)分類完成；也可以按不同的區(qū)域分步完成1(20xx·遵義模擬)某公司新招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分給同一個部門；另三名電腦編程人員也不能分給同一個部門則不同的分配方案有()A36種 B38種 C108種 D114種解析：選A分兩步完成，第一步分組有CCC種方法；第二步分配到兩個部門有A種方法由分步乘法原理得：共有CCCA36種分配方案2如圖所示，將四棱錐S ­ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法共有_種(以數(shù)字作答)解析：由題設，四棱錐S ­ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×360種染色方法當S，A，B染好時，不妨設其顏色分別為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法可見，當S，A，B已染好時，C，D還有7種染法，故有60×7420種不同的染色方法答案：420課堂歸納通法領悟2個區(qū)別兩個計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一每類辦法都能獨立完成這件事它是獨立的、一次的且每次得到的是最后的結果，只需一種方法就完成每一步得到的只是其中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類辦法之間是互斥的，并列的，獨立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復，也不能遺漏3個注意點利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法；(2)分類時標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律；(3)復雜問題一般是先分類再分步 數(shù)學思想(十二)計數(shù)原理中的分類討論由于計數(shù)原理一個是分類計數(shù)原理，一個是分步計數(shù)原理，解決與計數(shù)原理有關問題時，要分清兩個原理的區(qū)別，一般要考慮問題有幾種情況，即分類；考慮每種情況有幾個步驟，即分步要求既要合理分類，又要合理分步典例(20xx·山東高考)用0,1，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A243 B252 C261 D279解題指導排三位數(shù)可分步來完成，但要注意有重復數(shù)字這一條件解析十個數(shù)排成不重復數(shù)字的三位數(shù)求解方法是：第1步，排百位數(shù)字，有9種方法(0不能作首位)；第2步，排十位數(shù)字，有9種方法；第3步，排個位數(shù)字，有8種方法，根據(jù)乘法原理，共有9×9×8648個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)可以組成所有三位數(shù)的個數(shù)：9×10×10900，所以可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900648252.答案B題后悟道1.本題主要考查兩個計數(shù)原理，注意到有重復數(shù)字三位數(shù)這一條件是解題的關鍵2對于計數(shù)問題，有時正確的分類是解決問題的切入點同時注意分類的全面與到位，不要出現(xiàn)重復或遺漏的現(xiàn)象已知a，b0,1,2，9，若滿足|ab|1，則稱a，b“心有靈犀”則a，b“心有靈犀”的情形的種數(shù)為()A9 B16 C20 D28解析：選D當a為0時，b只能取0,1兩個數(shù)；當a為9時，b只能取8,9兩個數(shù)；當a為其他數(shù)時，b都可以取3個數(shù)故共有28種情形全盤鞏固1將3張不同的奧運會門票分給10名同學中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A2 160 B720 C240 D120解析：選B分步來完成此事第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，共有10×9×8720種分法2a，b，c，d，e共5個人，從中選1名組長1名副組長，但a不能當副組長，不同選法的種數(shù)是()A20 B16 C10 D6解析：選B當a當組長時，則共有1×44種選法；當a不當組長時，又因為a也不能當副組長，則共有4×312種選法因此共有41216種選法3. (20xx·汕頭模擬)如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同涂法的種數(shù)為()A400 B460 C480 D496解析：選C從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D，A同色1種，D，A不同色3種，則有6×5×4×(13)480種不同涂法4集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是()A9 B14 C15 D21解析：選BPx,1，Qy,1,2，且PQ，xy,1,2當x2時，y3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況；當xy時，x3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況共有7714種情況即這樣的點的個數(shù)為14.5(20xx·濟南調研)已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A40 B16 C13 D10解析：選C分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8513個不同的平面6(20xx·杭州模擬)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是()A60 B48 C36 D24解析：選B長方體的6個表面構成的“平行線面組”個數(shù)為6×636，另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”個數(shù)為6×212，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是361248.7在平面直角坐標系內，點P(a，b)的坐標滿足ab，且a，b都是集合1,2,3,4,5,6中的元素，又點P到原點的距離|OP|5.則這樣的點P的個數(shù)為_解析：依題意可知：當a1時，b5,6兩種情況；當a2時，b5,6兩種情況；當a3時，b4,5,6三種情況；當a4時，b3,4,5,6四種情況；當a5或6，b各有6種情況所以共有22346623種情況答案：238集合Na，b，c5，4，2,1,4，若關于x的不等式ax2bxc<0恒有實數(shù)解，則滿足條件的集合N的個數(shù)是_解析：依題意知，最多有10個集合N，其中對于不等式ax2bxc<0沒有實數(shù)解的情況可轉化為需要滿足a>0，且b24ac0，因此只有當a，c同號時才有可能，共有2種情況，因此滿足條件的集合N的個數(shù)是1028.答案：89將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i1，2，6)，若a11，a33，a55，a1<a3<a5，則不同的排列方法有_種(用數(shù)字作答)解析：分兩步：第1步，先排a1，a3，a5，若a12，有2種排法；若a13，有2種排法；若a14，有1種排法，所以共有5種排法；第2步，再排a2，a4，a6，共有6種排法，故有5×630種不同的排列方法答案：3010有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定六名同學都能參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有36729種不同的報名方法(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有6×5×4120種不同的報名方法(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有63216種不同的報名方法11某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、兩個不同的宣傳廣告、一個公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？解：用1,2,3,4,5,6表示廣告的播放順序，則完成這件事有三類方法第1類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2,4,6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×136種不同的播放方式第2類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,4,6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×136種不同的播放方式第3類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,3,6，同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×136種不同的播放方式由分類加法計數(shù)原理得：6個廣告共有363636108種不同的播放方式12. 某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分(如圖)現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有多少種(用數(shù)字作答)解：法一：從題意來看，6部分種4種顏色的花，又從圖形看，知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求解(1)2與5同色，則3,6也同色或4,6也同色，所以共有4×3×2×2×148種栽種方法；(2)3與5同色，則2,4或4,6同色，所以共有4×3×2×2×148種栽種方法；(3)2與4且3與6同色，所以共有4×3×2×124種栽種方法所以共有484824120種栽種方法法二：記顏色為A，B，C，D四色，先安排1,2,3有4×3×2種不同的栽法，不妨設1,2,3已分別栽種A，B，C，則4,5,6的栽種方法共5種，由以下樹狀圖清晰可見根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2×5120種不同的栽種方法沖擊名校1設集合I1,2,3,4,5，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法的種數(shù)為()A50 B49 C48 D47解析：選B根據(jù)題意，B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則集合A，B中沒有相同的元素，且都不是空集，按A中元素分情況討論，分別計算其選法種數(shù)，進而相加即可第1類，當A中最大的數(shù)是1時，A是1，B可以是2,3,4,5的非空子集，即有24115種選法；第2類，當A中最大的數(shù)是2時，A可以是2或1,2，B可以是3,4,5的非空子集，即有2×(231)14種選法；第3類，當A中最大的數(shù)是3時，A可以是3，1,3，2,3，1,2,3，B可以是4,5的非空子集，即有4×(221)12種選法；第4類，當A中最大的數(shù)是4時，A可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4，B是5，即有8×18種選法綜上可知，共有151412849種不同的選擇方法2若m，n均為非負整數(shù)，在做mn的加法時各位均不進位(例如：1343 8023 936)，則稱(m，n)為“簡單的”有序對，而mn稱為有序對(m，n)的值，那么值為1 942的“簡單的”有序對的個數(shù)為_解析：第1步，110，或101，共2種組合方式；第2步，909，或918，或927，或936，或990，共10種組合方式；第3步，404，或413，或422，或431，或440，共5種組合方式；第4步，202，或211，或220，共3種組合方式根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，值為1 942的“簡單的”有序對的個數(shù)為2×10×5×3300.答案：300