第三節(jié)二項(xiàng)式定理【考綱下載】1能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理2會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題1二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)C(r0,1，n)二項(xiàng)式通項(xiàng)Tr1Canrbr，它表示第r1項(xiàng)2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1二項(xiàng)式(xy)n的展開式的第k1項(xiàng)與(yx)n的展開式的第k1項(xiàng)一樣嗎？提示：盡管(xy)n與(yx)n的值相等，但它們的展開式形式是不同的，因此應(yīng)用二項(xiàng)式定理時，x，y的位置不能隨便交換2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)一樣嗎？提示：不一樣二項(xiàng)式系數(shù)是指C，C，C，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)1(xy)n的二項(xiàng)展開式中，第r項(xiàng)的系數(shù)是()AC BC CC D(1)r1C解析：選D本題中由于y的系數(shù)為負(fù)，故其第r項(xiàng)的系數(shù)為(1)r1C.2(20xx·四川高考)(1x)7的展開式中x2的系數(shù)是()A42 B35 C28 D21解析：選D依題意可知，二項(xiàng)式(1x)7的展開式中x2的系數(shù)等于C×1521.3CCCCCC的值為()A62 B63 C64 D65解析：選B因?yàn)镃CCCCC(CCCCCCC)C26163.4.n展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n等于_解析：展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n10.答案：105(20xx·南充模擬)(x1)9的展開式中x3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：依題意知，(x1)9的展開式中x3的系數(shù)為CC84.答案：84高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一 求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 1二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個重要知識點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題2高考對二項(xiàng)式定理的考查主要有以下幾個命題角度：(1)求二項(xiàng)展開式中的第n項(xiàng)；(2)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)；(3)已知二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)例1(1)(20xx·江西高考)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A80 B80 C40 D40(2)(20xx·遼寧高考)使n(nN*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A4 B5 C6 D7自主解答(1)此二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1C(x2)5r(1)r2rx3rC·(1)r·2r·x105r.因?yàn)?05r0，所以r2，所以常數(shù)項(xiàng)為T3C·2240.(2)Tr1C(3x)nr·xrC·3nr·xnrrC·3nr·xn(r0,1,2，n)，若Tr1是常數(shù)項(xiàng)，則有nr0，即2n5r(r0,1，n)，當(dāng)r0,1時，n0，不滿足條件；當(dāng)r2時，n5.答案(1)C(2)B【互動探究】若本例(2)中的條件“nN*”改為“n3”，其他條件不變，則展開式中的有理項(xiàng)最少有_項(xiàng)解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr1C3nrxn(r0,1,2，n)即當(dāng)為整數(shù)時，Tr1為有理項(xiàng)顯然當(dāng)n3時，r的取值最少，有r0，r2，即有理項(xiàng)為T1、T3兩項(xiàng)答案：2 求二項(xiàng)式展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的第n項(xiàng)可依據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式直接求出第n項(xiàng)(2)求展開式中的特定項(xiàng)可依據(jù)條件寫出第r1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可(3)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第r1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù)1若二項(xiàng)式n的展開式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的值可能為()A6 B10 C12 D15解析：選CTr1C()nrr(2)rCx，當(dāng)r4時，0，又nN*，所以n12.2(20xx·昆明模擬)(1)4的展開式中x的系數(shù)是_解析：(1)4的展開式中x的項(xiàng)為·C10()4xC14()02xx3x.所以x的系數(shù)為3.答案：3考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)或各項(xiàng)系數(shù)和 例2(1)(20xx·新課標(biāo)全國卷)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m()A5 B6 C7 D8(2)若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，則a0a1a2(1)nan_.自主解答(1)由題意得：aC，bC，所以13C7C，13，解得m6，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解，選B.(2)由CC，得3n1n6(無整數(shù)解)或3n123(n6)，解得n4，問題即轉(zhuǎn)化為求(3x)4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的問題，只需在(3x)4中令x1即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案(1)B(2)256【方法規(guī)律】賦值法的應(yīng)用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可(2)對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.1設(shè)(1x)na0a1xanxn，若a1a2an63，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A15x3 B20x3 C21x3 D35x3解析：選B在(1x)na0a1xanxn中，令x1得2na0a1a2an.令x0，得1a0，a1a2an2n163，n6.而(1x)6的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T4Cx320x3.2(20xx·麗水模擬)若(12x)2 014a0a1xa2 013x2 013a2 014x2 014(xR)，則的值為()A2 B0 C1 D2解析：選C令x0，則a01，令x，則a00，1.考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 例3(1)已知2n2·3n5na能被25整除，求正整數(shù)a的最小值；(2)求1.028的近似值(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)自主解答(1)2n2·3n5na4·2n·3n5na4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，顯然正整數(shù)a的最小值為4.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.【方法規(guī)律】1整除問題的解題思路利用二項(xiàng)式定理找出某兩個數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除性問題和余數(shù)問題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開進(jìn)行分析判斷2求近似值的基本方法利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時，(1x)n1nx.求證：(1)32n28n9能被64整除(nN*)；(2)3n>(n2)·2n1(nN*，n>2)證明：(1)32n28n932·32n8n99·9n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C·8C·1)8n99(8nC8n1C82)9·8n98n99×82(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，顯然括號內(nèi)是正整數(shù)，故原式能被64整除(2)因?yàn)閚N*，且n>2，所以3n(21)n展開后至少有4項(xiàng)(21)n2nC·2n1C·212nn·2n12n1>2nn·2n1(n2)·2n1，故3n>(n2)·2n1(nN*，n>2)課堂歸納通法領(lǐng)悟1個公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的特定項(xiàng)問題，在運(yùn)用時，應(yīng)明確以下幾點(diǎn)：(1)Canrbr是第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；(2)通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒；(3)通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，Tr1五個元素，只要知道其中的四個，就可以求出第五個，即“知四求一”3個注意點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)的三個注意點(diǎn)(1)求二項(xiàng)式所有系數(shù)的和，可采用“賦值法”；(2)關(guān)于組合式的證明，常采用“構(gòu)造法”構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；(3)展開式中第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第r1項(xiàng)的系數(shù)一般是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防出錯 前沿?zé)狳c(diǎn)(十六)與二項(xiàng)式定理有關(guān)的交匯問題1二項(xiàng)式定理作為一個獨(dú)特的內(nèi)容，在高考中總有所體現(xiàn)，常?？疾槎?xiàng)式定理的通項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、各項(xiàng)系數(shù)的和等2二項(xiàng)式定理作為一個工具，也常常與其他知識交匯命題，如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與函數(shù)交匯等因此在一些題目中不僅僅考查二項(xiàng)式定理，還要考查其他知識，其解題的關(guān)鍵點(diǎn)是它們的交匯點(diǎn)，注意它們的聯(lián)系即可典例(20xx·陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)則當(dāng)x>0時，ff(x)表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為() A20 B20 C15 D15解題指導(dǎo)先尋找x>0時f(x)的取值，再尋找ff(x)的表達(dá)式，再利用二項(xiàng)式定理求解解析x>0時，f(x)<0，故ff(x)6，其展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C·()6r·r(1)6r·C·()62r，由62r0，得r3，故常數(shù)項(xiàng)為(1)3·C20.答案A名師點(diǎn)評解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：(1)正確識別分段函數(shù)f(x)；(2)正確判斷f(x)的符號；(3)正確寫出ff(x)的解析式；(4)正確應(yīng)用二項(xiàng)式定理求出常數(shù)項(xiàng)設(shè)a2a20，且a>0，則二項(xiàng)式6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_解析：由a2a20，且a>0，可得a2，所以二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是Tr1 C(2)6rrC·26r·(1)rx3r，令3r0，得r3，故二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 C×23160.答案：160全盤鞏固1在5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為()A10 B10 C40 D40解析：選DTr1C(2x2)5rr(1)r·25r·C·x103r，令103r1，得r3.所以x的系數(shù)為(1)3·253·C40.2在(1)2(1)4的展開式中，x的系數(shù)等于()A3 B3 C4 D4解析：選B因?yàn)?1)2的展開式中x的系數(shù)為1，(1)4的展開式中x的系數(shù)為C4，所以在(1)2(1)4的展開式中，x的系數(shù)等于3.3(20xx·全國高考)(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D168 解析：選D(1x)8展開式中x2的系數(shù)是C，(1y)4的展開式中y2的系數(shù)是C，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可得(1x)8(1y)4展開式中x2y2的系數(shù)為CC28×6168.4.5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A40 B20 C20 D40解析：選D由題意，令x1得展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1a)·(21)52，a1.二項(xiàng)式5的通項(xiàng)公式為Tr1C(1)r·25r·x52r，5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為x·C(1)322·x1·C·(1)2·23·x408040.5在(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn中，若2a2an30，則自然數(shù)n的值是()A7 B8 C9 D10解析：選B易知a2C，an3(1)n3·C(1)n3C，又2a2an30，所以2C(1)n3C0，將各選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)可知n8滿足上式6設(shè)aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12解析：選D512 012a(13×41)2 012a，被13整除余1a，結(jié)合選項(xiàng)可得a12時，512 012a能被13整除7(20xx·杭州模擬)二項(xiàng)式5的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為_解析：由已知可得第四項(xiàng)的系數(shù)為C(2)380，注意第四項(xiàng)即r3.答案：808(20xx·四川高考)二項(xiàng)式(xy)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：由二項(xiàng)式定理得(xy)5的展開式中x2y3項(xiàng)為Cx53y310x2y3，即x2y3的系數(shù)為10.答案：109(20xx·浙江高考)設(shè)二項(xiàng)式5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A_.解析：因?yàn)?的通項(xiàng)Tr1C()5r·r(1)rCxx(1)rCx.令155r0，得r3，所以常數(shù)項(xiàng)為(1)3Cx010.即A10.答案：1010已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解：令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()÷2，得a1a3a5a71 094.(3)()÷2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展開式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.11若某一等差數(shù)列的首項(xiàng)為CA，公差為m的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，其中m是777715除以19的余數(shù)，則此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個最大值解：設(shè)該等差數(shù)列為an，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.由已知得又nN*，n2，CACACA5×4100，a1100.777715(761)77157677C·7676C·7611576(7676C·7675C)1476M14(MN*)，777715除以19的余數(shù)是5，即m5.m的展開式的通項(xiàng)是Tr1C·5rr(1)rC52rxr5(r0,1,2,3,4,5)，令r50，得r3，代入上式，得T44，即d4，從而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an100(n1)×(4)1044n.設(shè)其前k項(xiàng)之和最大，則解得k25或k26，故此數(shù)列的前25項(xiàng)之和與前26項(xiàng)之和相等且最大，S25S26×25×251 300.12從函數(shù)角度看，組合數(shù)C可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是r|rN，rn(1)證明：f(r)f(r1)；(2)利用(1)的結(jié)論，證明：當(dāng)n為偶數(shù)時，(ab)n的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大解：(1)證明：f(r)C，f(r1)C，f(r1)·.則f(r)f(r1)成立(2)設(shè)n2k，f(r)f(r1)，f(r1)>0，.令f(r)f(r1)，則1，則rk(等號不成立)當(dāng)r1,2，k時，f(r)>f(r1)成立反之，當(dāng)rk1，k2，2k時，f(r)<f(r1)成立f(k)C最大，即(ab)n的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大沖擊名校1(20xx·新課標(biāo)全國卷)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3 C2 D1解析：選D已知(1ax)(1x)5的展開式中，x2的系數(shù)為CaC5，則a1.2(20xx·湖州模擬)6的展開式中的系數(shù)為12，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：二項(xiàng)式6展開式中第r1項(xiàng)為Tr1C·(2)6rrC·26r·ar·x3r，當(dāng)3r2，即r5時，含有的項(xiàng)的系數(shù)是C·2·a512，解得a1.