第六節(jié)幾 何 概 型【考綱下載】1了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率2了解幾何概型的意義1幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2幾何概型的概率公式P(A).1幾何概型有什么特點(diǎn)？提示：(1)無限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限個(gè)(2)等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等2幾何概型和古典概型有什么區(qū)別？提示：幾何概型和古典概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限個(gè)，而幾何概型的基本事件有無限個(gè)1(20xx·漳州模擬)在區(qū)間20,80內(nèi)隨機(jī)取一實(shí)數(shù)a，則實(shí)數(shù)a屬于區(qū)間50,75的概率是()A. B. C. D.解析：選C顯然，該問題屬于幾何概型，實(shí)數(shù)a屬于區(qū)間50,75的概率為.2已知地鐵列車每10 min(含在車站停車時(shí)間)一班，在車站停1 min，則乘客到達(dá)站臺立即乘上車的概率是()A. B. C. D.解析：選A試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為10 min，而構(gòu)成所求事件的區(qū)域長度為1 min，故P.3有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是()解析：選A選項(xiàng)A的概率為；選項(xiàng)B的概率為；選項(xiàng)C的概率為；選項(xiàng)D的概率為，故增加中獎機(jī)會的應(yīng)為A選項(xiàng)4點(diǎn)A為周長等于3的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為_解析：劣弧的長度為，其中長度小于1的概率為.答案：5如圖所示，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)橢圓的面積為_解析：由隨機(jī)模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為0.68.由幾何概型的概率計(jì)算公式，可得0.68，而S矩形6×424，則S橢圓0.68×2416.32.答案：16.32高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一 與長度有關(guān)的幾何概型1與長度有關(guān)的幾何概型是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題2高考對與長度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型；(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型；(3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型；(4)與不等式有關(guān)的幾何概型例1(1)(20xx·福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a1<0”發(fā)生的概率為_(2)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos x的值介于0到之間的概率為_自主解答(1)由3a1<0，得a<，而01的長度為1，故所求概率為.(2)當(dāng)x時(shí)，由0cos x，得x或x，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.答案(1)(2)【互動探究】本例(2)中，若將“cos x的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”，則概率如何？解：當(dāng)x時(shí)，由0cos x，得x或x，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為. 與長度有關(guān)的幾何概型的常見類型及解題策略(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可(3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式，求時(shí)間段之比即可(4)與不等式有關(guān)的幾何概型利用幾何概型公式，求兩實(shí)數(shù)之間距離之比即可1(20xx·湖北高考)在區(qū)間2,4上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.解析：由|x|m，得mxm，當(dāng)m2時(shí)，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得，解得m3.答案：32已知集合Ax|1<x<5，B，在集合A中任取一個(gè)元素x，則事件“xAB”的概率是_解析：由題意得Ax|1<x<5，Bx|2<x<3，由幾何概型知，在集合A中任取一個(gè)元素x，則xAB的概率為P.答案：考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型 例2(1)(20xx·陜西高考)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是()A1 B.1 C2 D.(2)(20xx·四川高考)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()A. B. C. D.自主解答(1)依題意知，有信號的區(qū)域面積為×2，矩形面積為2，故無信號的概率P1.(2)設(shè)第一串彩燈亮的時(shí)刻為x，第二串彩燈亮的時(shí)刻為y，則要使兩串彩燈亮的時(shí)刻相差不超過2秒，則如圖所示，不等式組所表示的圖形面積為16，不等式組所表示的六邊形OABCDE的面積為16412，由幾何概型的概率公式可得P.答案(1)A(2)C【方法規(guī)律】求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，以求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解1(20xx·邛崍模擬)已知一個(gè)三角形的三邊長分別是5,5,6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2的概率是()A2 B1 C2 D1解析：選B如圖，當(dāng)螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2時(shí)，螞蟻要在圖中的空白區(qū)域內(nèi)，ABC為等腰三角形，假設(shè)ABAC5，易知AD4，ABC的面積是12，由于三角形內(nèi)角和等于，圖中的三個(gè)扇形的面積之和等于一個(gè)半徑為2的圓的面積的一半，即三個(gè)扇形的面積之和等于2，故空白區(qū)域的面積是122，所求的概率為1.2已知平面區(qū)域U(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向區(qū)域U內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為_解析：依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合U與A所表示的平面區(qū)域(如圖)，由圖可知SU18，SA4，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為P.答案：考點(diǎn)三與角度有關(guān)的幾何概型 例3 如圖所示，在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率 自主解答因?yàn)锽60°，C45°，所以BAC75°.在RtABD中，AD，B60°，所以BD1，BAD30°.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時(shí)事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得P(N).【互動探究】若本例中“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM<1的概率解：依題意知BCBDDC1，P(BM<1). 【方法規(guī)律】與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段提醒：有時(shí)與長度或角度有關(guān)的幾何概型，題干并不直接給出，而是將條件隱藏，與其他知識綜合考查1. 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在yOT內(nèi)的概率為_解析：如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在yOT內(nèi)的概率為.答案：2如圖，M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長度超過R的概率是_解析：連接圓心O與M點(diǎn)，作弦MN使MON90°，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為N1，N2，僅當(dāng)點(diǎn)N在不包含點(diǎn)M的半圓弧上取值時(shí)，滿足MN>R，此時(shí)N1ON2180°，故所求的概率為.答案：課堂歸納通法領(lǐng)悟1條規(guī)律對幾何概型概率公式中“測度”的認(rèn)識幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法2種方法判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法(1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系(2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域前沿?zé)狳c(diǎn)(十七)幾何概型與線性規(guī)劃問題的交匯1幾何概型常常與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、面積、體積或角度等有關(guān)，在高考中經(jīng)常涉及面積區(qū)域的問題，而面積區(qū)域的確定又與線性規(guī)劃有關(guān)因此，高考命題常常在此交匯2因?yàn)槊娣e經(jīng)常涉及一個(gè)封閉圖，解題時(shí)一定要注意各邊界對應(yīng)的直線(或曲線)方程，各端點(diǎn)的坐標(biāo)，求面積時(shí)，還要注意對圖形的分割等典例(20xx·北京高考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是() A. B. C. D.解題指導(dǎo)先畫出平面區(qū)域D，再找出幾何區(qū)域的形狀，分析其幾何概型所對應(yīng)的量，然后解決問題解析不等式組表示坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)正方形區(qū)域，設(shè)區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則在區(qū)域內(nèi)取點(diǎn)，此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2表示的區(qū)域就是圓x2y24的外部，即圖中的陰影部分，故所求的概率為.答案D名師點(diǎn)評1.本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)：(1)考查方式的創(chuàng)新：由常規(guī)方式轉(zhuǎn)換為以線性規(guī)劃為載體考查幾何概型的計(jì)算；(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新：本題將幾何概型與線性規(guī)劃及圓求面積完美結(jié)合起來，角度獨(dú)特，形式新穎，又不失綜合性2在解決以幾何概型為背景的創(chuàng)新交匯問題時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)要準(zhǔn)確判斷一種概率模型是否是幾何概型，為此必須了解幾何概型的含義及特征；(2)運(yùn)用幾何概型的概率公式時(shí)，要注意驗(yàn)證事件是否具備等可能性已知實(shí)數(shù)x1,1，y0,2，則點(diǎn)P(x，y)落在區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.解析：選B不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，其面積為×3×2×3×1，則所求概率為. 全盤鞏固1如圖，EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(A)() A. B. C2 D.解析：選D豆子落在正方形EFGH內(nèi)是隨機(jī)的，故可以認(rèn)為豆子落在正方形EFGH內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，屬于幾何概型因?yàn)閳A的半徑為1，所以正方形EFGH的邊長是，則正方形EFGH的面積是2，又圓的面積是，所以P(A).2.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的概率等于()A. B. C. D.解析：選C不妨設(shè)矩形的長、寬分別為a、b，于是S矩形ab，SABEab，由幾何概型的概率公式可知P.3(20xx·遼寧高考)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為()A. B. C. D.解析：選C設(shè)ACx cm，則CB(12x)cm(0<x<12)，所以矩形面積為x(12x)cm2，由x(12x)<32，解得x>8或x<4，所以0<x<4或8<x<12.故所求概率為.4(20xx·金華模擬)在區(qū)間5,5內(nèi)隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)a，則恰好使1是關(guān)于x的不等式2x2axa2<0的一個(gè)解的概率為()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析：選D由已知得2aa2<0，解得a>2或a<1.故當(dāng)a5，1)(2,5時(shí)，1是關(guān)于x的不等式2x2axa2<0的一個(gè)解故所求概率為P0.7.5(20xx·長沙模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，若滿足2xyb的概率大于，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A(0,1) B(0,2) C(1，) D(2，)解析：選C區(qū)域D表示以點(diǎn)O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)為頂點(diǎn)的正方形，其面積S11.根據(jù)題意，b>0，設(shè)正方形OABC位于直線2xyb下方部分面積為S2，因?yàn)橹本€2xyb在x軸，y軸上的截距分別為，b，則當(dāng)0<b1時(shí)，S2·.故題設(shè)，PS2>，則b>1.6(20xx·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)地取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則()A. B. C. D.解析：選D依題可知，E，F(xiàn)是CD上的四等分點(diǎn)，P只能在線段EF上且BFAB.不妨設(shè)CDABa，BCb，則有b22a2，即b2a2，故. 7在區(qū)間0,1上隨意選擇兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則使1成立的概率為_解析：D為直線x0，x1，y0，y1圍成的正方形區(qū)域，而d為由1，即x2y21(x0，y0)圍成的單位圓在第一象限內(nèi)部分(四分之一個(gè)圓)，故所求概率為.答案：8在面積為S的ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則PBC的面積大于的概率是_解析：要使SPBC>SABC，只需PB>AB.故所求概率為P.答案：9小張通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小張周末不在家看書的概率為_解析：因?yàn)槿タ措娪暗母怕蔖1，去打籃球的概率P2，所以小張周末不在家看書的概率為P.答案：10.如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)地取一點(diǎn)Q，求過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長不超過1的概率 解：弦長不超過1，即|OQ|，而Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，事件A弦長超過1由幾何概型的概率公式得P(A).所以弦長不超過1的概率為1P(A)1.11城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費(fèi)，太少又難以滿足乘客需求，為此，某市公交公司在某站臺60名候車乘客中隨機(jī)抽取15人，將他們的候車時(shí)間作為樣本分成5組，如下表所示(單位：min)：組別候車時(shí)間人數(shù)一0,5)2二5,10)6三10,15)4四15,20)2五20,251(1)求這15名乘客的平均候車時(shí)間；(2)估計(jì)這60名乘客中候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)；(3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進(jìn)一步問卷調(diào)查，求抽到的2人恰好來自不同組的概率解：(1)×(2.5×27.5×612.5×417.5×222.5×1)×157.510.5，故這15名乘客的平均候車時(shí)間為10.5 min.(2)由幾何概型的概率計(jì)算公式可得，候車時(shí)間少于10分鐘的概率為，所以候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)為60×32.(3)將第三組乘客編號為a1，a2，a3，a4，第四組乘客編號為b1，b2.從6人中任選2人的所有可能情況為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15種，其中2人恰好來自不同組包含8種可能情況，故所求概率為.12(20xx·濟(jì)南模擬)某幼兒園在“六·一兒童節(jié)”開展了一次親子活動，此次活動由寶寶和父母之一(后面以家長代稱)共同完成，幼兒園提供了兩種游戲方案：方案一：寶寶和家長同時(shí)各拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別是1,2,3,4,5,6)，寶寶所得點(diǎn)數(shù)記為x，家長所得點(diǎn)數(shù)記為y；方案二：寶寶和家長同時(shí)按下自己手中一個(gè)計(jì)算器的按鈕(此計(jì)算器只能產(chǎn)生區(qū)間1,6的隨機(jī)實(shí)數(shù))，寶寶的計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)實(shí)數(shù)記為m，家長的計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)實(shí)數(shù)記為n.(1)在方案一中，若x12y，則獎勵寶寶一朵小紅花，求拋擲一次后寶寶得到一朵小紅花的概率；(2)在方案二中，若m>2n，則獎勵寶寶一本興趣讀物，求按下一次按鈕后寶寶得到一本興趣讀物的概率解析：(1)由題意，寶寶和家長所得點(diǎn)數(shù)x，y所有取值所得基本事件總數(shù)為36.而滿足x12y的(x，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3組則拋擲一次后寶寶得小紅花的概率P1.(2)由題意，m，n1,6，則(m，n)所有取值組成一個(gè)邊長為5的正方形，其面積為25.(m，n)滿足不等式m>2n，所占區(qū)域面積為×4×24.則按下一次按鈕后寶寶得興趣讀物一本的概率P2.沖擊名校設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線x40的距離大于2的概率是()A. B. C. D.解析：選C作出線性約束條件的平面區(qū)域D，而到直線x40的距離大于2的區(qū)域?yàn)殛幱安糠炙?，其面積為S1×(22)×2(6)16，區(qū)域D的面積為S2×(32)×4(6)25，由幾何概型的計(jì)算公式可得P.