【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔:第8章 第9節(jié) 圓錐曲線的綜合問題
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【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔:第8章 第9節(jié) 圓錐曲線的綜合問題
第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題【考綱下載】1掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法2了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用3理解數(shù)形結(jié)合的思想1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,通常將直線l的方程AxByC0(A,B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)0,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程即消去y,得ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時,設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為,則>0直線與圓錐曲線C相交;0直線與圓錐曲線C相切;<0直線與圓錐曲線C相離(2)當(dāng)a0,b0時,即得到一個一次方程,則直線l與圓錐曲線C相交,且只有一個交點(diǎn),此時,若C為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行;若C為拋物線,則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合2圓錐曲線的弦長設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1), B(x2,y2),則|AB|x1x2|· ·|y1y2| ·.直線與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)時,是否是直線與圓錐曲線相切?提示:直線與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)時,未必一定相切,還有其他情況,如拋物線與平行或重合于其對稱軸的直線,雙曲線與平行于其漸近線的直線,它們都只有一個公共點(diǎn),但不是相切,而是相交1已知直線xy10與拋物線yax2相切,則a等于()A. B. C. D4解析:選C由消去y得ax2x10,所以解得a.2直線yx3與雙曲線1的交點(diǎn)個數(shù)是()A1 B2 C1或2 D0解析:選A因?yàn)橹本€yx3與雙曲線的漸近線yx平行,所以它與雙曲線只有1個交點(diǎn)3設(shè)拋物線x24y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(1,5)的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn),則|AF|BF|_.解析:A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y210,由拋物線定義得|AF|BF|y1y2p10212.答案:124直線ykx1與橢圓1恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是_解析:直線ykx1過定點(diǎn)(0,1),由題意,點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)或橢圓上則m1,且m5.答案:m1且m55過橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAB的面積為_解析:由c1,知橢圓右焦點(diǎn)為(1,0),則直線方程為y2(x1),聯(lián)立方程得解得x10,x2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12,y2.S×1×|y1y2|×1×.答案: 壓軸大題巧突破(二)直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用典例(20xx·湖北高考) (13分)如圖,已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,長軸均為MN且在x軸上,短軸長分別為 2m,2n(mn) ,過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1,C2的四個交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.記,BDM和ABN的面積分別為S1和S2.(1)當(dāng)直線l與y軸重合時,若S1S2,求的值;(2)當(dāng)變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2?并說明理由化整為零破難題(1)基礎(chǔ)問題1:橢圓C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程各是什么?C1:1,C2:1,其中a>m>n>0.基礎(chǔ)問題2:直線l與y軸重合時S1,S2各等于什么?S1|BD|OM|a|BD|,S2|AB|ON|a|AB|.基礎(chǔ)問題3:|BD|,|AB|各等于何值?|BD|mn,|AB|mn.(2)基礎(chǔ)問題1:設(shè)直線l為ykx,則M、N到直線l的距離各是多少?M到l的距離d1,N到l的距離d2.基礎(chǔ)問題2:S1、S2各等于什么?等于什么?S1|BD|d1,S2|AB|d2, .基礎(chǔ)問題3:與xA、xB有何關(guān)系?.基礎(chǔ)問題4:如何用xA、xB、a、m、來表示k2?A(xA,kxA)、B(xB,kxB)分別在C1、C2上,所以1,1,0,依題意得xA>xB>0,所以x>x,所以k2.基礎(chǔ)問題5:如何求的取值?由k2>0,得>0,解得1<<,由,即1<<,得>1.規(guī)范解答不失分依題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為C1:1,C2:1.其中amn0,1. 1分(1)如圖1,若直線l與y軸重合,則|BD|OB|OD|mn,|AB|OA|OB|mn;S1|BD|·|OM|a|BD|,S2|AB|·|ON|a|AB|.所以, 3分若,則,化簡得2210,由1,可解得1.故當(dāng)直線l與y軸重合時,若S1S2,則1.5分(2)法一:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2.根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線l:ykx(k0),()點(diǎn)M(a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則因?yàn)閐1,d2,所以d1d2. 6分又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以,即|BD|AB|.由對稱性可知|AB|CD|,()所以|BC|BD|AB|(1)|AB|,|AD|BD|AB|(1)|AB|,于是. 7分將l的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得xA,xB.根據(jù)對稱性可知xCxB,xDxA,于是() . 9分從而由和式可得. 10分令t,()由(1)可知當(dāng)1,即t1時,直線l與y軸重合,不符合題意,故t1.于是由可解得k2.因?yàn)閗0,所以k20,于是式關(guān)于k有解,當(dāng)且僅當(dāng)0,等價(jià)于(t21)0,由1,可解得t1,即1,由1,解得1, 12分所以當(dāng)11時,不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2;當(dāng)1時,存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2.13分法二:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2,根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線l:ykx(k0),()點(diǎn)M(a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則因?yàn)閐1,d2,所以d1d2. 6分又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以.因?yàn)?,所? 8分由點(diǎn)A(xA,kxA),B(xB,kxB)分別在C1,C2上,可得1,1,兩式相減可得0,依題意xAxB0,()所以xx.所以由上式解得k2. 10分因?yàn)閗20,所以由0,可解得1.從而1,解得1,所以當(dāng)11時,不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2;當(dāng)1時,存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2. 13分易錯警示要牢記易錯點(diǎn)一()處沒有注意對稱性,kR,使后面求解受阻易錯點(diǎn)二()處不注意對稱性,則|AD|與|BC|的比值不易求出,從而思路受阻易錯點(diǎn)三()處不注意對稱性,則變量xA、xB、xC、xD較多運(yùn)算較大,也易出錯易錯點(diǎn)四()處如果不換元,則運(yùn)算量較大,易出現(xiàn)錯誤易錯點(diǎn)五()處如果不注意xA>xB,則對的范圍的限制條件發(fā)生變化,從而造成結(jié)果出錯