第七節(jié)拋 物 線【考綱下載】1掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率等)2了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用3理解數(shù)形結(jié)合思想1拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等；(3)定點不在定直線上2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y0x0焦點FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？提示：當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過定點F且與直線l垂直的直線2拋物線y22px(p>0)上任意一點M(x0，y0)到焦點F的距離與點M的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系？若拋物線方程為x22py(p>0)，結(jié)果如何？提示：由拋物線定義得|MF|x0；若拋物線方程為x22py(p>0)，則|MF|y0.1設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為x2，則拋物線的方程是()Ay28x By24xCy28x Dy24x解析：選C由拋物線準(zhǔn)線方程為x2知p4，且開口向右，故拋物線方程為y28x.2拋物線y24x的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為()A1 B2 C3 D4解析：選B因為拋物線y24x，所以2p4，而焦點F到準(zhǔn)線l的距離為p2.3拋物線y2x2的焦點坐標(biāo)為()A. B(1,0)C. D.解析：選C將拋物線y2x2化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，所以2p，而拋物線x2y的焦點在y軸的非負(fù)半軸上，所以焦點坐標(biāo)為.4拋物線的焦點為橢圓1的左焦點，頂點為橢圓中心，則拋物線方程為_解析：由c2945，得F(，0)，則拋物線方程為y24x.答案：y24x5設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點為F，點A(0,2)若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：F，則B，2p×1，解得p.B，因此B到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為.答案： 前沿?zé)狳c(十二)與拋物線有關(guān)的交匯問題1拋物線是一種重要的圓錐曲線，在高考中，經(jīng)常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查，主要考查拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，點到直線的距離等2直線與拋物線的綜合問題，經(jīng)常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x(或y)，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，但一定要注意直線與拋物線相交的條件典例(20xx·湖南高考)過拋物線E：x22py(p>0)的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1k22，l1與E相交于點A，B，l2與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k1>0，k2>0，證明：·<2p2；(2)若點M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程解題指導(dǎo)(1)直線l1的方程與拋物線方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再由向量的坐標(biāo)形式得出·的表達(dá)式，再證明不等式；(2)先求出點M到直線l的距離的表達(dá)式，再求最值，結(jié)合已知條件即可求p，從而得出拋物線方程解(1)證明：由題意，拋物線E的焦點為F，直線l1的方程為yk1x.由得x22pk1xp20.設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實數(shù)根從而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pkp.所以點M的坐標(biāo)為，(pk1，pk)同理可得點N的坐標(biāo)為，(pk2，pk)于是·p2(k1k2kk)由題設(shè)，k1k22，k1>0，k2>0，k1k2，所以0<k1k2<21.故·<p2(112)2p2.(2)由拋物線的定義得|FA|y1，|FB|y2，所以|AB|y1y2p2pk2p，從而圓M的半徑r1pkp.故圓M的方程為(xpk1)22(pkp)2，化簡得x2y22pk1xp(2k1)yp20.同理可得圓N的方程為x2y22pk2xp(2k1)yp20.于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2k1)x(kk)y0.又k2k10，k1k22，則l的方程為x2y0.因為p>0，所以點M到直線l的距離d.故當(dāng)k1時，d取最小值.由題設(shè)，解得p8.故所求的拋物線E的方程為x216y.名師點評解答本題的關(guān)鍵有以下兩點：(1)充分利用k1>0，k2>0，k1k2時，k1·k2<2；(2)注意2kk11>0，即d.(20xx·湖州模擬)已知拋物線C：y22px的焦點為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點的橫坐標(biāo)為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|PB|，求FAB的面積解：(1)由題意知交點坐標(biāo)為(8，8)，822p×8，2p8，所以拋物線方程為y28x.(2)l1：yx，又直線l2與l1垂直，所以可設(shè)l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸交點為M.由得y28y8m0，6432m0，m2.由韋達(dá)定理，y1y28，y1y28m，x1x2m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，l2：xy8，M(8,0)，故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.