第八節(jié)曲線與方程考點一定義法求軌跡方程 例1(20xx·鄭州模擬)已知A(5,0)，B(5,0)，動點P滿足|，|,8成等差數(shù)列(1)求點P的軌跡方程；(2)對于x軸上的點M，若滿足|·|2，則稱點M為點P對應(yīng)的“比例點”問：對任意一個確定的點P，它總能對應(yīng)幾個“比例點”？自主解答(1)由已知得|8，點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，且a4，b3，c5，點P的軌跡方程為1(x4)(2)設(shè)P(x0，y0)(x04)，M(m,0)1，y9；又(5x0，y0)，(5x0，y0)，則|· x16又 2|2(x0m)2(y0)2x2mx0m29，由|2得，m22mx070，(*)所以4x2836>0，方程(*)恒有兩個不等實根對任意一個確定的點P，它總能對應(yīng)2個“比例點”【互動探究】若將本例中的條件“|，|,8”改為“|，|，8”，求點P的軌跡方程解：由已知得|8，點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的左支，且a4，b3，點P的軌跡方程為1(x4)【方法規(guī)律】定義法求軌跡方程及其注意點(1)在利用圓錐曲線的定義法求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；(2)利用定義法求軌跡方程時，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制1已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是什么？解：由題意知|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故點F的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支又c7，a1，可得b248，故點F的軌跡方程為y21(y1)2點P(3,0)是圓C：x2y26x550內(nèi)一定點，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過點P，求圓心M的軌跡方程解：已知圓為(x3)2y264，其圓心C(3,0)，半徑為8，由于動圓M過點P，所以|MP|等于動圓的半徑r，即|MP|r.又圓M與已知圓C相內(nèi)切，所以圓心距等于半徑之差，即|MC|8r.從而有|MC|8|MP|，即|MC|MP|8.根據(jù)橢圓的定義，動點M到兩定點C，P的距離之和為定值8>6|CP|，所以動點M的軌跡是橢圓，并且2a8，a4；2c6，c3；b21697，因此圓心M的軌跡方程為1.考點二代入法(相關(guān)點法)求軌跡方程 例2(1)(20xx·遼寧高考改編) 如圖，橢圓C0：1(a>b>0，a，b為常數(shù))，動圓C1：x2y2t，b<t1<a.點A1，A2分別為C0的左、右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點，則直線AA1與直線A2B的交點M的軌跡方程為_ (2)設(shè)F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且2，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程自主解答(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，則直線A1A的方程為y(xa)，直線A2B的方程為y(xa)由得y2(x2a2)由點A(x1，y1)在橢圓C0上，故1.從而yb2，代入得1(x<a，y<0)(2)設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)·(1，y0)0，x0y0.由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的點N的軌跡方程是y24x.答案(1)1(x<a，y<0)【方法規(guī)律】代入法(相關(guān)點法)適用的軌跡類型及使用過程動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x，y表示成關(guān)于x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡即得動點P的軌跡方程已知長為1的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且，求點P的軌跡C的方程解：設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，由題意知，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因為|AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡得y21.高頻考點考點三 直接法求點的軌跡方程1直接法求點的軌跡方程是求軌跡方程的一種重要方法，也是高考考查的重要內(nèi)容2直接法求點的軌跡方程，在高考中有以下兩個命題角度：(1)明確給出等式，求軌跡方程；(2)給出已知條件，尋找題設(shè)中的等量關(guān)系，求軌跡方程例3已知動點P(x，y)與兩定點M(1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)(0)(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)試根據(jù)的取值情況討論軌跡C的形狀自主解答(1)由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN·，整理得x21(0，x±1)即動點P的軌跡C的方程為x21(0，x±1)(2)當>0時，軌跡C為中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線(除去頂點)；當1<<0時，軌跡C為中心在原點、焦點在x軸上的橢圓(除去長軸的兩個端點)；當1時，軌跡C為以原點為圓心、1為半徑的圓(除去點(1,0)，(1,0)；當<1時，軌跡C為中心在原點、焦點在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個端點)直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程可直接代入即可得出方程(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(1,1)關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.求動點P的軌跡方程解：因為點B與點A(1,1)關(guān)于原點O對稱，所以點B的坐標為(1，1)設(shè)點P的坐標為(x，y)，由題設(shè)知直線AP與BP的斜率存在且均不為零，則·，化簡得x23y24(x±1)故動點P的軌跡方程為x23y24(x±1)課堂歸納通法領(lǐng)悟1個主題坐標法求軌跡方程通過坐標法，由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質(zhì)是解析幾何需要完成的兩大任務(wù)，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點之一3種方法求軌跡方程的三種常用方法明確求軌跡方程的適用條件是求軌跡方程的關(guān)鍵(1)定義法：求軌跡方程時，應(yīng)盡量利用幾何條件探求軌跡的類型，應(yīng)用定義法，這樣可以減少運算量，提高解題速度(2)代入法(相關(guān)點法)：當所求動點P(x，y)是隨著另一動點Q(x，y)(稱之為相關(guān)點)而運動，且相關(guān)點Q滿足一曲線方程時，就可用代入法求軌跡方程此時應(yīng)注意：代入法求軌跡方程是將x，y表示成關(guān)于x，y的式子，同時要注意x，y的限制條件(3)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身是一些幾何量(如距離與角等)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，就可運用直接法求軌跡方程在運用直接法求軌跡方程時要注意：化簡方程的過程中有時破壞了方程的同解性，此時要補上遺漏點或刪除多余的點，這是不可忽視的.