專題能力訓(xùn)練7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值能力突破訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=af'(1)x+ln x,若f'=0,則a=()A.-1B.-2C.1D.22.(20xx浙江,7)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()3.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)>k>1,則下列結(jié)論中一定錯誤的是()A.fB.fC.fD.f4.已知常數(shù)a,b,c都是實數(shù),f(x)=ax3+bx2+cx-34的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f'(x)0的解集為x|-2x3.若f(x)的極小值等于-115,則a的值是()A.-B.C.2D.55.若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=. 6.在曲線y=x3+3x2+6x-1的切線中,斜率最小的切線方程為. 7.設(shè)函數(shù)f(x)=aex+b(a>0).(1)求f(x)在0,+)上的最小值;(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為y=x,求a,b的值.8.設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.9.設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)在區(qū)間(-,+)上僅有一個零點;(3)若曲線y=f(x)在點P處的切線與x軸平行,且在點M(m,n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點),證明:m-1.10.已知函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-a,xR,其中a>0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=1時,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間-3,-1上的最小值.思維提升訓(xùn)練11.(20xx陜西咸陽二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對任意xR滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結(jié)論正確的是()A.e2f(2)>e3f(3)B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)e3f(3)D.e2f(2)e3f(3)12.已知f'(x)為定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),對任意實數(shù)x,都有f(x)<f'(x),則不等式f(m+1)<em+1f的解集為.13.已知函數(shù)f(x)=.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x>0時,若f(x)>恒成立,求整數(shù)k的最大值.14.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+x,aR.(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)ax-1恒成立,求整數(shù)a的最小值;(3)若a=-2,正實數(shù)x1,x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求證:x1+x2.15.(20xx山東,理20)已知函數(shù)f(x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求曲線y=f(x)在點(,f()處的切線方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(aR),討論h(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.參考答案專題能力訓(xùn)練7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值能力突破訓(xùn)練1.D解析因為f'(x)=af'(1)+,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a1,則f'(1)=,所以f'(x)=又因為f'=0,所以+2=0,解得a=2.故選D.2.D解析設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的三個零點分別為x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在區(qū)間(-,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是減函數(shù),在區(qū)間(x1,x2)和(x3,+)上,f'(x)>0,f(x)是增函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象可能為D,故選D.3.C解析構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx,則F'(x)=f'(x)-k>0,函數(shù)F(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù).>0,F>F(0).F(0)=f(0)=-1,f>-1,即f-1=,f,故C錯誤.4.C解析依題意得f'(x)=3ax2+2bx+c0的解集是-2,3,于是有3a>0,-2+3=-,-2×3=,則b=-,c=-18a.函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,則-a=-81,解得a=2.故選C.5.1-ln 2解析對函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo),得y'=,對函數(shù)y=ln(x+1)求導(dǎo),得y'=設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點P1(x1,y1),與曲線y=ln(x+1)相切于點P2(x2,y2),則y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由點P1(x1,y1)在切線上,得y-(lnx1+2)=(x-x1),由點P2(x2,y2)在切線上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因為這兩條直線表示同一條直線,所以解得x1=,所以k=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.6.3x-y-2=0解析y'=3x2+6x+6=3(x+1)2+33.當(dāng)x=-1時,y'min=3;當(dāng)x=-1時,y=-5.故切線方程為y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.7.解(1)f'(x)=aex-當(dāng)f'(x)>0,即x>-lna時,f(x)在區(qū)間(-lna,+)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)<0,即x<-lna時,f(x)在區(qū)間(-,-lna)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)0<a<1時,-lna>0,f(x)在區(qū)間(0,-lna)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-lna,+)內(nèi)單調(diào)遞增,從而f(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)的最小值為f(-lna)=2+b;當(dāng)a1時,-lna0,f(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,從而f(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)的最小值為f(0)=a+b.(2)依題意f'(2)=ae2-,解得ae2=2或ae2=-(舍去).所以a=,代入原函數(shù)可得2+b=3,即b=故a=,b=8.解(1)因為f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.依題設(shè),解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)與1-x+ex-1同號.令g(x)=1-x+ex-1,則g'(x)=-1+ex-1.所以,當(dāng)x(-,1)時,g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(-,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,+)時,g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值,從而g(x)>0,x(-,+).綜上可知,f'(x)>0,x(-,+).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).9.解(1)由題意可知函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=(1+x2)'ex+(1+x2)(ex)'=(1+x)2ex0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+),無單調(diào)遞減區(qū)間.(2)a>1,f(0)=1-a<0,且f(a)=(1+a2)ea-a>1+a2-a>2a-a=a>0.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上存在零點.又由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)僅有一個零點.(3)由(1)及f'(x)=0,得x=-1.又f(-1)=-a,即P,kOP=a-又f'(m)=(1+m)2em,(1+m)2em=a-令g(m)=em-m-1,則g'(m)=em-1,由g'(m)>0,得m>0,由g'(m)<0,得m<0.函數(shù)g(m)在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.g(m)min=g(0)=0,即g(m)0在R上恒成立,即emm+1.a-=(1+m)2em(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即1+m.故m-1.10.解(1)f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f'(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-1),(a,+);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點當(dāng)且僅當(dāng)解得0<a<所以a的取值范圍是(3)當(dāng)a=1時,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在區(qū)間-3,-1上單調(diào)遞增,在區(qū)間-1,1上單調(diào)遞減,在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增.當(dāng)t-3,-2時,t+30,1,-1t,t+3,f(x)在區(qū)間t,-1上單調(diào)遞增,在區(qū)間-1,t+3上單調(diào)遞減.因此f(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值M(t)=f(-1)=-,最小值m(t)為f(t)與f(t+3)中的較小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,當(dāng)t-3,-2時,f(t)f(t+3),則m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).因為f(t)在區(qū)間-3,-2上單調(diào)遞增,所以f(t)f(-2)=-故g(t)在區(qū)間-3,-2上的最小值為g(-2)=-當(dāng)t-2,-1時,t+31,2,且-1,1t,t+3.下面比較f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.因為f(x)在區(qū)間-2,-1,1,2上單調(diào)遞增,所以f(-2)f(t)f(-1),f(1)f(t+3)f(2).因為f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-,從而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-所以g(t)=M(t)-m(t)=綜上,函數(shù)g(t)在區(qū)間-3,-1上的最小值為思維提升訓(xùn)練11.A解析利用單調(diào)性解抽象不等式時,關(guān)鍵要注意結(jié)論與已知條件的聯(lián)系,通過構(gòu)造合適的函數(shù)來求解.令g(x)=exf(x),則g'(x)=ex(f(x)+f'(x)<0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故選A.12.(-,-2)解析若g(x)=,則g'(x)=>0,所以g(x)在R上為增函數(shù).又不等式f(m+1)<em+1f等價于,即g(m+1)<g,所以m+1<,解得m<-2.13.解(1)由f(x)=,知x(-1,0)(0,+).所以f'(x)=-令h(x)=1+(x+1)ln(x+1),則h'(x)=1+ln(x+1).令h'(x)=0,得x=-1,易得h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以h(x)min=h=1->0,f'(x)<0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),(0,+).(2)當(dāng)x>0時,f(x)>恒成立,則k<(x+1)f(x).令g(x)=(x+1)f(x)=,則g'(x)=令(x)=1-x+ln(x+1)(x>0)'(x)=-<0,所以(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減.又(2)=ln3-1>0,(3)=2ln2-2<0,則存在實數(shù)t(2,3),使(t)=0t=1+ln(t+1).所以g(x)在區(qū)間(0,t)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(t,+)內(nèi)單調(diào)遞增.所以g(x)min=g(t)=t+1(3,4),故kmax=3.14.解(1)因為f(1)=1-=0,所以a=2.此時f(x)=lnx-x2+x,x>0.則f'(x)=-2x+1=(x>0).令f'(x)<0,則2x2-x-1>0.又x>0,所以x>1.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+).(2)(方法一)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-ax2+(1-a)x+1,則g'(x)=-ax+(1-a)=當(dāng)a0時,因為x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù),又g(1)=ln1-a×12+(1-a)+1=-a+2>0,所以關(guān)于x的不等式f(x)ax-1不能恒成立.當(dāng)a>0時,g'(x)=-(x>0),令g'(x)=0,得x=所以當(dāng)x時,g'(x)>0;當(dāng)x時,g'(x)<0,因此函數(shù)g(x)在x內(nèi)是增函數(shù),在x內(nèi)是減函數(shù).故函數(shù)g(x)的最大值為g=lna+(1-a)+1=-lna.令h(a)=-lna,因為h(1)=>0,h(2)=-ln2<0,又h(a)在a(0,+)內(nèi)是減函數(shù),且a為整數(shù),所以當(dāng)a2時,h(a)<0.所以整數(shù)a的最小值為2.(方法二)由f(x)ax-1恒成立,得lnx-ax2+xax-1在(0,+)內(nèi)恒成立,問題等價于a在區(qū)間(0,+)內(nèi)恒成立.令g(x)=,因為g'(x)=,令g'(x)=0,得-x-lnx=0.設(shè)h(x)=-x-lnx,因為h'(x)=-<0,所以h(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減,不妨設(shè)-x-lnx=0的根為x0.當(dāng)x(0,x0)時,g'(x)>0;當(dāng)x(x0,+)時,g'(x)<0,所以g(x)在x(0,x0)內(nèi)是增函數(shù);在x(x0,+)內(nèi)是減函數(shù).所以g(x)max=g(x0)=因為h=ln2->0,h(1)=-<0,所以<x0<1,此時1<<2,即g(x)max(1,2).所以a2,即整數(shù)a的最小值為2.(3)證明:當(dāng)a=-2時,f(x)=lnx+x2+x,x>0.由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,得lnx1+x1+lnx2+x2+x1x2=0,從而(x1+x2)2+x1+x2=x1·x2-ln(x1·x2).令t=x1·x2(t>0),(t)=t-lnt,則'(t)=可知,(t)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.所以(t)(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x21,因此x1+x2或x1+x2(舍去).15.解(1)由題意f()=2-2,又f'(x)=2x-2sinx,所以f'()=2,因此曲線y=f(x)在點(,f()處的切線方程為y-(2-2)=2(x-),即y=2x-2-2.(2)由題意得h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),因為h'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-sinx),令m(x)=x-sinx,則m'(x)=1-cosx0,所以m(x)在R上單調(diào)遞增.因為m(0)=0,所以當(dāng)x>0時,m(x)>0;當(dāng)x<0時,m(x)<0.當(dāng)a0時,ex-a>0,當(dāng)x<0時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=0時h(x)取到極小值,極小值是h(0)=-2a-1;當(dāng)a>0時,h'(x)=2(ex-elna)(x-sinx),由h'(x)=0得x1=lna,x2=0.()當(dāng)0<a<1時,lna<0,當(dāng)x(-,lna)時,ex-elna<0,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(lna,0)時,ex-elna>0,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(0,+)時,ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=lna時h(x)取到極大值.極大值為h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2,當(dāng)x=0時h(x)取到極小值,極小值是h(0)=-2a-1;()當(dāng)a=1時,lna=0,所以當(dāng)x(-,+)時,h'(x)0,函數(shù)h(x)在(-,+)上單調(diào)遞增,無極值;()當(dāng)a>1時,lna>0,所以當(dāng)x(-,0)時,ex-elna<0,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(0,lna)時,ex-elna<0,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(lna,+)時,ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=0時h(x)取到極大值,極大值是h(0)=-2a-1;當(dāng)x=lna時h(x)取到極小值,極小值是h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.綜上所述:當(dāng)a0時,h(x)在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,函數(shù)h(x)有極小值,極小值是h(0)=-2a-1;當(dāng)0<a<1時,函數(shù)h(x)在區(qū)間(-,lna)和區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(lna,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)h(x)有極大值,也有極小值,極大值是h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2,極小值是h(0)=-2a-1;當(dāng)a=1時,函數(shù)h(x)在區(qū)間(-,+)上單調(diào)遞增,無極值;當(dāng)a>1時,函數(shù)h(x)在區(qū)間(-,0)和(lna,+)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,lna)上單調(diào)遞減,函數(shù)h(x)有極大值,也有極小值,極大值是h(0)=-2a-1,極小值是h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.