第3講函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1(20xx·渭南模擬)下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()Ayx3By|x|1Cyx21Dy2x解析因為A是奇函數(shù)，所以不成立C在(0，)上單調(diào)遞減，不成立，D為非奇非偶函數(shù)，不成立，所以選B.答案B2(20xx·咸陽二模)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則a的值為()A0B1C2D4解析由f(1)f(1)，得，(1a)2(1a)2解得a0.答案A3(20xx·上饒模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)axax2(a>0且a1)，若g(2)a，則f(2)()A2BCDa2解析依題意知f(x)g(x)g(x)f(x)axax2，聯(lián)立f(x)g(x)axax2，解得g(x)2，f(x)axax，故a2，f(2)22224.答案C4(20xx·重慶卷)已知函數(shù)f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg 2)()A5B1C3D4解析f(x)ax3bsin x4，f(x)a(x)3bsin(x)4，即f(x)ax3bsin x4，得f(x)f(x)8，又lg(log210)lglg(lg 2)1lg(lg 2)，f(lg(log210)f(lg(lg 2)5，又由式知f(lg(lg 2)f(lg(lg 2)8，5f(lg(lg 2)8，f(lg(lg 2)3.答案C5函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當x0,2時，f(x)x1，則不等式xf(x)>0在1,3上的解集為()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)解析f(x)的圖像如圖當x(1,0)時，由xf(x)>0，得x(1,0)；當x(0,1)時，由xf(x)>0，得x；當x(1,3)時，由xf(x)>0，得x(1,3)x(1,0)(1,3)，故選C.答案C二、填空題6(20xx·臨川二中)f(x)為奇函數(shù)，當x0時，f(x)log2(1x)，則f(3)_.解析f(3)f(3)log242.答案27(20xx·青島二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x2)f(x)對任意xR成立，當x(1,0)時f(x)2x，則f_.解析因為f(x2)f(x)，故fff1.答案18設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又當x0,2時，f(x)是減函數(shù)解得1m.答案三、解答題9f(x)為R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解當x0時， x0，則f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)f(x)，所以當x0時，f(x)2x23x1.因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)0.綜上可得f(x)的解析式為f(x)10設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1x)f(1x)，當1x0時，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的表達式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)當x0,1時，x1,0，則f(x)f(x)x；進而當1x2時，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1(20xx·吉安模擬)已知偶函數(shù)f(x)對任意xR都有f(x2)f(x)，且當x1,0時f(x)2x，則f(2 013)()A1B1CD解析由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，所以函數(shù)的周期是4，故f(2 013)f(4×5031)f(1)f(1)21.答案C2(20xx·榆林模擬)已知函數(shù)f(x1)是偶函數(shù)，當1x1x2時，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，設(shè)af，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()AbacBcbaCbcaDabc解析f(x1)是偶函數(shù)，f(x1)f(x1)，yf(x)關(guān)于x1對稱又1x1x2，f(x2)f(x1)(x2x1)0，知yf(x)在1，)是增函數(shù)，又ff，且23，f(2)ff(3)，即bac.故選A.答案A二、填空題3設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當x0,1時，f(x)1x，則：2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；當x(3,4)時，f(x)x3.其中所有正確命題的序號是_解析由已知條件：f(x2)f(x)，則yf(x)是以2為周期的周期函數(shù)，正確；當1x0時0x1，f(x)f(x)1x，函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示：當3x4時，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正確，不正確答案三、解答題4已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2 014,2 014上根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論解(1)若yf(x)為偶函數(shù)，則f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，這與f(x)在閉區(qū)間0,7上只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù)若yf(x)為奇函數(shù)，則f(0)f(0)，f(0)0，這與f(x)在閉區(qū)間0,7上只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函數(shù)綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)由f(4x)f(14x)f(x)f(x10)，從而知函數(shù)yf(x)的周期T10.由f(3)f(1)0，得f(11)f(13)f(7)f(9)0.故f(x)在0,10和10,0上均有兩個解，從而可知函數(shù)yf(x)在0,2 014上有404個解，在2 014,0上有402個解，所以函數(shù)yf(x)在2 014,2 014上共有806個解