1()了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會平行投影；會證明平面與圓柱截線是橢圓 特殊情形是圓 2(0)1233lllOllOllla通過觀察平面截圓錐的情境，體會下面定理：在空間中，取直線 為軸，直線 與 相交于 點，其夾角為 ， 圍繞 旋轉(zhuǎn)得到以 為頂點， 為母線的圓錐面，任取平面 ，若它與軸 交角為當 與 平行時，記，則，平面 與圓錐的交線為橢圓；，平面 與圓錐的交線為拋物線；，平面 與圓錐的交線為雙曲線通過丹迪林雙球探求橢圓的性質(zhì)，加深對數(shù)形結(jié)合思想的認識，理解平面與空間的統(tǒng)一關(guān)系4 A8B8C8D101.下列對于半徑為 的圓在已知平面上的射影的說法錯誤的是射影為線段時，其長度為射影為橢圓時，其短軸長小于射影為橢圓時，其長軸長為射影為圓時，其直徑為 D.ABCD8利用射影的概念推理可知，、 、 均正確，而 選項，射影為圓時，其直徑為 ，解析：故選 ABCD2.如果一個三角形的平行投影還是一個三角形，則下列結(jié)論正確的是內(nèi)心的平行投影還是內(nèi)心重心的平行投影還是重心垂心的平行投影還是垂心外心的平行投影還是外心 在平行投影時，垂直關(guān)系與線段長度不一定都能保持不變，但線段的中點投影后仍是線段的中點，所以重心的平行投影解析：還是重心6045 3.lllOllOll在空間中，取直線 為軸，直線 與 相交于點 ，夾角為， 圍繞 旋轉(zhuǎn)得到以為頂點， 為母線的圓錐面若平面 與的夾角為，則平面 截圓錐面所得的截線為4560 解析：所以截線為因為，雙曲線2604. .設圓柱的底面直徑為 ，圓柱的截面與圓柱的軸所成的角為，則截得的橢圓的焦距為222221cos6021122 2 321332.3cbacaabccccc 截得的橢圓的離心率為，而橢圓的短半軸長，而，解析：故所以，所以，即，解得，1_2_.e平行投影基本定理：不平行于投影線的線段，在平面上的投影仍為，線段上的點分線段的比保持，端點仍為端點平面與圓柱面的截線：若一平面 與圓柱面的軸線所成的角為銳角 ，則平面 與圓柱面所截得的曲線是，此橢圓的離心率3(0)_._lllOllOlllcosecos平面與圓錐面的截線：在空間中，取直線 為軸，直線 與 相交于 點，其夾角為 ， 圍繞 旋轉(zhuǎn)得到以 為頂點， 為母線的圓錐面任取平面 ，若它與軸 的交角為當 與 平行時，記，則平面 與圓錐的交線為，其離心率 ，平面 與圓錐的交線為；，平面 與圓錐的交線為； ，平面 與圓_.錐的交線為4.01_1_1_.MFeeMeMeMF圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)，動點到定點 的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)當 時，點的軌跡是；當 時，點的軌跡是；當時，點的軌跡是 ，其中定點 為焦點，定直線是相應的 cos線段；不變；橢圓；圓錐曲線；橢圓；拋物線；雙曲線；橢圓；雙曲線； 拋物線【；要點指南】 準線 ().CD1AB一個圓在一個平面上的平行投影可能是 圓 橢圓線段 例圓或橢圓或線段題型一題型一 投影的概念及應用投影的概念及應用 D.若圓所在平面與已知平面垂直時，則其平行投影是線段；若圓所在平面與已知平面平行時，則其正投影是圓；若圓所在平面與已知面相交時，則其平行投影是橢圓解，析：故選 一個平面圖形在一個平面上的投影既與投影的方式有關(guān)，又與平面圖形所在平面與已知平面的位置評析：關(guān)系有關(guān)/ . 1 .abcdcdababa bcdc d已知 、 、 、 是四條互不重合的直線，且 、 分別為 、 在平面 上的射影，給出下面兩組判斷：第一組：，；第二組：，分別從兩組中各選出一個判斷，使一個作條件，另一個作結(jié)論，那么寫出的一個正確命題是素材 ： .兩平行線在一個平面上的射影可能仍平解行析：填.2.abab證明：長半軸長為 ，短半軸長為 的橢圓的面積為例題型二題型二 圓柱截面的性質(zhì)及應用圓柱截面的性質(zhì)及應用22coscos .2bbSSbabbSbbbaaSaaa圓橢圓圓橢圓如圖，橢圓在圓柱底面的平行投影為圓面，可知圓面的半徑為 ，橢圓面與底圓面所成角為 ，則證明所以，：，故 本例是利用圓柱形物體的斜截口是橢圓這一定理，通過恰當構(gòu)造而實現(xiàn)問題評析：的論證3333 A ( ) B ( )631C ( ) D. ( )442.4lllll如果圓柱軸截面的周長 為定值，那么體積的最大值為素材22323422(0)246.00606 ( ).66rhVllrhlVr hrrrlVl rrVllrrlrrrV設圓柱的底面半徑為 ，高為 ，體積為 ，則，因為令，得或，而解析：當時， 取得最大值，最大值，所以是其唯一值為的極點45()ABC 3 D.一圓錐側(cè)面展開圖為半圓，平面與圓錐的軸成角，則平面 與該圓錐側(cè)面相交的交線為 圓 拋物線雙曲例橢圓題型三題型三 平面與圓錐截面的截線的性質(zhì)及應用平面與圓錐截面的截線的性質(zhì)及應用 45 30p因為圓錐側(cè)面展開圖為半圓，所以圓錐的母線與軸成角，而解析：故平面 與該圓錐側(cè)面平面 與圓錐的軸成角，相交的交線為橢圓 正確解答本題的關(guān)鍵是準確記憶和運用圓錐的截面與圓錐的軸所成的角與圓錐母線與軸的夾角的大小關(guān)系與圓錐跟截面交線的類型的對應關(guān)評析：系定理 120() A BC . 3D一個軸截面頂角為的圓錐被一個與其一條母線垂直的平面 不過圓錐面的頂點 所截，則截面與圓錐側(cè)面的交線的形狀是橢圓的一部分拋物線的一部分雙曲線的一部分素材圓的一部分3036 C.0coscosecoscos因為交線的離心率，所以交線的形狀是雙曲線的一部分：解析選 12圓柱、圓錐截線問題應注意：選擇恰當?shù)妮S截面討論；截面的傾角對截線性質(zhì)評析：的影響3414.在一個底面半徑為 ，高為 的圓錐內(nèi)有一半徑為的球，求球上的點與底面的距離例的最大值題型四題型四 幾何證明簡單應用幾何證明簡單應用 由于圓錐與球都是旋轉(zhuǎn)體，所以它們的關(guān)系可以用它們的軸截面分析：來分析.1 5 10.355335104133EFOCOCOCOCSBSOCSBFFBFBOC SBSBSOFBEFSFSOOE 要使球上的點到底面的距離最大，則應使球與圓錐面相切如圖是軸截面，則的長即為所求的最長距離設球心為 ，則設圓與母線的切點為 ，所以，則，所以，所以，即該球上的點與底面解析：最大值為的距離的 與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的接、切問題，通常可以考慮它們的軸截面來解決，這是圓錐面的截線問題的常用處評析：理方法6015 .4 .DandelinS一個頂角為的圓錐面被一平面 所截，雙球均在頂點 的下方，且一個半徑為，另一個半徑為 ，則截線的形狀是，其離心率是素材 DandelinSac由雙球均在 的同側(cè)，可知截線是橢圓，可計算出橢圓中的參數(shù) ， ，從而求出分析：離心率121212122111221112221112.22 81854.3 1FFcFFEFEFOOO DOCRt O EFRt O EFO EO FEOO FO EO EO E如圖所示的軸截面，、是截線橢圓的兩個焦點，所以因為，易證，所以，即，以析：所解方法 ：221222212221221227573375272 77.3328 744 32 321.62 3EFEFO EO FccBFBFBCBDCDaCDOOO DOCacea 解析：故橢圓的離心所以，故，所以又因為，所以率橢圓的長軸長，所以，111111773coscos.443360 7214.632coscos30 22cosecosO EFEFO EFEO 因為為截面與軸的夾角所以又因為頂角為，所以，解析：所以截線的離心率方法 ： Dandelin在復習中，對于雙球與圓錐面的幾何關(guān)系，及它們的運算關(guān)系要有所了解，此類問題可鍛煉空間想象能力與運算能力注意選擇一定方向的軸截面，使空間關(guān)系平面化，是解決這類問題評析：的關(guān)鍵 (0)lllOllOlll 在空間中，取直線 為軸，直線與 相交于 點，其夾角為 ， 圍繞 旋轉(zhuǎn)得到以 為頂點， 為母線的圓錐面，任取平面 ，若它與軸 交角為與 平行，記，證明：當時，平面 與圓錐的交線為備選例題拋物線11 FSmPPFPPAmmAPBABABmPAB如圖，設平面 與圓錐內(nèi)切球相切于點 ，球與圓錐的交線為 ，過該交線的平面為， 與相交于直線 ，在平面 與圓錐的截線上任取一點 ，連接，過點 作，交 于點 ，過點 作的垂線，垂足為 ，連接，則，所以是 與所成二面角的證明：平面角11111111111.cos .co s.1PSQBQBPQAPBRt APBPBPAPQcosRt PBQPBPQPAcosPFPQPFPAPFPAPFm連接點 與圓錐的頂點，與 相交于點，連接，則，在中，在中，所以又因為，即，動點 到定點 的距離等于它到直線證明：故當時，平面與圓錐的交線為的距離，拋物線3() Dandelin定理中的三個結(jié)論的證明思路如出一轍，證明時應考慮到他們各自的特征，比如此例中只能作出一個球，而證明結(jié)論 截線為雙曲線 的雙球一個在圓錐面頂點的上面，另一個在頂點評析：的下面1230900()01Scosecos 要善于把圓的有關(guān)性質(zhì)類比推廣到球的一些性質(zhì)定理中的兩個角 、 的確切含義要弄清楚當 從到變化時，平面 與圓錐面 交出的曲線形狀分析：當時，截面過軸線，此時的截線為兩條母線 可視為退化的雙曲線 ；當 從到 變化時，截面與圓錐面的兩部分均有截線，截線為雙曲線，其離心率越來越小，并趨近于 ；190cosecoscosecos當時，截面此時與一條母線平行，截面僅與圓錐面的一部分有截線，截線為拋物線，離心率；當 從 到變化時，截面僅與圓錐面的一部分有截線，截線為拋物線，離心率越來越小，得到的橢圓越來越圓；90()11當時，截面與軸線垂直，得到的截線為圓 可視為退化的橢圓從以上過程可知，圓錐曲線中，拋物線是雙曲線與橢圓的極端位置，也是分界線它既是離心率無限趨于的雙曲線的極限情況，也是離心率無限趨于的橢圓的極限情況2613()12A. B.3322C. D.23如右圖，有一個底面半徑為 ，高為 的圓柱形玻璃杯，裝滿了水，然后緩慢傾倒，當?shù)钩?杯水后，此時水面形狀如圖，則此時水面與杯壁交出的曲線的離心率為 .ecosecos離心率 的計算為橢圓的半焦距與長軸比，錯誤地理解為錯解分析： 242 2345451.45CFCBCDcosOFCecos由已知可知，故，心錯故 離率解：13232264.332 2445452cos45.2EFCDEFCDCFCBCDDFeC 如題圖，當?shù)钩?杯水時，倒出的水應是柱體的體積的一半，所以圓柱的體積應為這杯水的 ，所以又，故，即水平面與軸線的夾角正解： 所以為，離心率