第八節(jié)函數(shù)與方程第八節(jié)函數(shù)與方程1函數(shù)零點函數(shù)零點(1)定義：對于函數(shù)定義：對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使，把使_成立的實數(shù)成立的實數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點的零點(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：方程函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：方程f(x)0有實根有實根函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象與的圖象與_有交點有交點函數(shù)函數(shù)yf(x)有有_(3)零點存在定理：如果函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的圖象是連上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有續(xù)不斷的一條曲線，并且有_，那么函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)在在區(qū)間區(qū)間_內(nèi)有零點，即存在內(nèi)有零點，即存在x0(a，b)，使得，使得_.f(x)0 x軸軸零點零點f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系的圖象與零點的關(guān)系b24ac000)的圖象的圖象與與x軸的交點軸的交點_無交點無交點零點個數(shù)零點個數(shù)210(x1,0)，(x2,0)(x1,0)3.二分法二分法對于在區(qū)間對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且_的函數(shù)的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間的零點所在的區(qū)間_，使區(qū)，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近間的兩個端點逐步逼近_，進而得到零點近似值的方法，進而得到零點近似值的方法叫做二分法叫做二分法 f(a)f(b)0一分為二一分為二零點零點1函數(shù)的零點是函數(shù)函數(shù)的零點是函數(shù)yf(x)的圖象與的圖象與x軸的交點嗎？軸的交點嗎？【提示【提示】不是函數(shù)的零點是一個實數(shù)，是函數(shù)不是函數(shù)的零點是一個實數(shù)，是函數(shù)yf(x)的圖的圖象與象與x軸交點的橫坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo) 2若函數(shù)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，則內(nèi)有零點，則yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的圖象是否一定是連續(xù)不斷的一條曲線，且有上的圖象是否一定是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)0呢？呢？【提示【提示】不一定如圖所示，函數(shù)都有零點，但不連續(xù)或不不一定如圖所示，函數(shù)都有零點，但不連續(xù)或不滿足滿足f(a)f(b)0.1(教材改編題教材改編題)如圖所示的函數(shù)圖象與如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，但不能軸均有交點，但不能用二分法求交點橫坐標(biāo)的是用二分法求交點橫坐標(biāo)的是()【解析【解析】二分法適用于在二分法適用于在a，b上連續(xù)且上連續(xù)且f(a)f(b)0的情形的情形【答案【答案】A2(2011福建高考改編福建高考改編)若函數(shù)若函數(shù)f(x)x2mx1有兩個零點，則有兩個零點，則實數(shù)實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是()A(1,1)B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)【解析【解析】依題意，依題意，m240，m2或或m2.【答案【答案】C【答案【答案】C4(2012保定模擬保定模擬)下列是函數(shù)下列是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上一些點的函上一些點的函數(shù)值數(shù)值.x11.251.3751.406 51.438f(x)20.9840.2600.0520.165x1.51.6251.751.8752f(x)0.6251.9822.6454.356由此可判斷：方程由此可判斷：方程f(x)0的一個近似解為的一個近似解為_(精確度精確度0.1，且近似解保留兩位有效數(shù)字，且近似解保留兩位有效數(shù)字)【解析【解析】f(1.438)f(1.406 5)0，且，且|1.4381.406 5|0.031 50.1，f(x)0的一個近似解為的一個近似解為1.4.【答案【答案】1.4函數(shù)零點的求解與判定函數(shù)零點的求解與判定 【思路點撥【思路點撥】注意到三角函數(shù)注意到三角函數(shù)cos x的有界性，可將區(qū)間的有界性，可將區(qū)間0，)分成分成0,1與與1，)兩部分，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定兩部分，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理分別在兩個區(qū)間上確定函數(shù)零點的個數(shù)理分別在兩個區(qū)間上確定函數(shù)零點的個數(shù)【答案【答案】B 【解析【解析】由由f(x)xa0，得，得f(x)xa，令令g(x)xa，在同一坐標(biāo)系中分別，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)作出函數(shù)f(x)與與g(x)的圖象，如圖所的圖象，如圖所示示從圖象可知，當(dāng)從圖象可知，當(dāng)a1時，兩函數(shù)圖象有時，兩函數(shù)圖象有且只有一個交點，且只有一個交點，故實數(shù)故實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是(1，)【答案【答案】(1，) 若函數(shù)若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個正數(shù)零點附近的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，參考數(shù)據(jù)如下：的函數(shù)值用二分法計算，參考數(shù)據(jù)如下：二分法及其應(yīng)用二分法及其應(yīng)用 f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)2.60f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程那么方程x3x22x20的一個近似根的一個近似根(精確度精確度0.1)為為()A1.25 B1.375C1.406 25 D1.5【思路點撥【思路點撥】(1)二分法求近似零點，需將區(qū)間一分為二，二分法求近似零點，需將區(qū)間一分為二，逐漸逼近；逐漸逼近；(2)必須滿足精確度要求，即必須滿足精確度要求，即|ab|0.1.【嘗試解答【嘗試解答】根據(jù)題意知函數(shù)的零點在根據(jù)題意知函數(shù)的零點在1.406 25至至1.437 5之之間，間，又又|1.437 51.406 25|0.031 250.1，故方程的一個近似根可以是故方程的一個近似根可以是1.406 25.【答案【答案】C1解答本題一要從圖表中尋找數(shù)量信息，二要注意精確解答本題一要從圖表中尋找數(shù)量信息，二要注意精確度的含義，切不可與度的含義，切不可與“精確到精確到”相相“混淆混淆”2(1)用二分法求函數(shù)零點的近似解必須滿足用二分法求函數(shù)零點的近似解必須滿足yf(x)的的圖象在圖象在a，b內(nèi)連續(xù)不間斷，內(nèi)連續(xù)不間斷，f(a)f(b)0.(2)在第一步中，盡量使區(qū)間長度縮短，以減少計算量及在第一步中，盡量使區(qū)間長度縮短，以減少計算量及計算次數(shù)計算次數(shù)在用二分法求方程在用二分法求方程x32x10的一個近似解時，的一個近似解時，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為區(qū)間為_函數(shù)零點的應(yīng)用函數(shù)零點的應(yīng)用 【思路點撥【思路點撥】(1)g(x)m有零點，可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函有零點，可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值數(shù)最值(2)結(jié)合函數(shù)結(jié)合函數(shù)f(x)與與g(x)圖象特征，轉(zhuǎn)化為關(guān)于圖象特征，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不的不等關(guān)系，進而求出等關(guān)系，進而求出m的取值范圍的取值范圍f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其對稱軸其對稱軸xe，f(x)maxm1e2.若函數(shù)若函數(shù)f(x)與與g(x)的圖象有兩個交點的圖象有兩個交點必須有必須有m1e22e，即，即me22e1.即即g(x)f(x)0有兩個相異實根有兩個相異實根m的取值范圍是的取值范圍是(e22e1，) 1第第(2)問常見的錯誤是：不能找出問常見的錯誤是：不能找出f(x)max與與g(x)min之間之間的不等關(guān)系，或弄錯不等號方向的不等關(guān)系，或弄錯不等號方向2解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式解方程的方程或不等式解方程(不等式不等式)確定參數(shù)范圍，或采取分離確定參數(shù)范圍，或采取分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域加以解決參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域加以解決設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxb1(a0)(1)當(dāng)當(dāng)a1，b2時，求函數(shù)時，求函數(shù)f(x)的零點；的零點；(2)若對任意若對任意bR，函數(shù)，函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a的取的取值范圍值范圍【解【解】(1)當(dāng)當(dāng)a1，b2時，時，f(x)x22x3，令令f(x)0，得，得x3或或x1.函數(shù)函數(shù)f(x)的零點為的零點為3或或1.(2)依題意，依題意，f(x)ax2bxb10有兩個不同實根，有兩個不同實根，b24a(b1)0恒成立，恒成立，即對于任意即對于任意bR，b24ab4a0恒成立恒成立， 所以有所以有(4a)24(4a)0a2a0，a2a0，解之得，解之得0a1，因此實數(shù)因此實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是(0,1). 從近兩年的高考試題來看，函數(shù)的零點、方程的根的問從近兩年的高考試題來看，函數(shù)的零點、方程的根的問題是高考的熱點，題型以客觀題為主，考查函數(shù)的零點、方程題是高考的熱點，題型以客觀題為主，考查函數(shù)的零點、方程的根并注重考查函數(shù)與方程的思想方法的根并注重考查函數(shù)與方程的思想方法思想方法之四數(shù)形結(jié)合思想在求函數(shù)零點中的應(yīng)用思想方法之四數(shù)形結(jié)合思想在求函數(shù)零點中的應(yīng)用 (2011山東高考山東高考)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)logaxxb(a0，且，且a1)當(dāng)當(dāng)2a3b4時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)的零點的零點x0(n，n1)，nN*，則，則n_.【解析【解析】令令y1logax，y2bx.函數(shù)函數(shù)f(x)的零點就是這兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)的零點就是這兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)由于直線由于直線y2bx在在y軸上的截距軸上的截距b滿足滿足3b4.結(jié)合圖象結(jié)合圖象(如圖所示如圖所示)，函數(shù)，函數(shù)f(x)有唯一零點有唯一零點x0，且，且x02.注意到注意到2a3，且，且3b4，可進一步得到：，可進一步得到：f(2)loga22b12b0，f(3)loga33b13b0，且，且f(x)logaxxb在在(0，)上是增函數(shù)上是增函數(shù)x0(2,3)，故，故n2.【答案【答案】2易錯提示：易錯提示：(1)作圖不規(guī)范，難以直觀觀察到作圖不規(guī)范，難以直觀觀察到x02，導(dǎo)致，導(dǎo)致計算有誤計算有誤(2)缺乏數(shù)形結(jié)合的思維意識，難以聯(lián)想到求缺乏數(shù)形結(jié)合的思維意識，難以聯(lián)想到求f(2)，f(3)值值的符號，思維受阻的符號，思維受阻防范措施：防范措施：(1)判定函數(shù)的零點或由零點求參數(shù)問題要樹判定函數(shù)的零點或由零點求參數(shù)問題要樹立數(shù)形結(jié)合的思想意識立數(shù)形結(jié)合的思想意識(2)熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象及其特征，是正確求解熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象及其特征，是正確求解的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)【解析【解析】x0時，時，f(x)0，即，即x22x30，x3(x1舍去舍去)x0時，時，f(x)0，即，即2ln x0，xe2.【答案【答案】C【答案【答案】B