4不等式的證明 第1課時比較法 分析法 1 理解用比較法 分析法證明不等式的一般方法和步驟 并能證明具體的不等式 2 理解不等式證明方法的意義 并掌握不等式中取得等號的條件 1 比較法 1 求差比較法 理論依據(jù) a b a b 0 a b a b 0 證明步驟 作差 變形 判斷符號 下結(jié)論 2 求商比較法 證明步驟 作商 變形 判斷與1的大小關(guān)系 下結(jié)論 做一做1 1 已知x y R M x2 y2 1 N x y xy 則M與N的大小關(guān)系是 A M NB M NC M ND 不能確定 答案 A 答案 P Q 2 分析法 1 定義 從所要證明的結(jié)論出發(fā) 分析使此不等式成立的充分條件 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些充分條件是否成立的問題 如果能夠使這些充分條件都具備 那么就可以斷定原不等式成立 這種證明方法叫作分析法 2 思路 執(zhí)果索因 的證明方法 即從求證的不等式出發(fā) 不斷地用充分條件來代替前面的不等式 直到找到已知不等式為止 名師點撥分析法的特點是 執(zhí)果索因 即從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其優(yōu)點是利于思考 因為它方向明確 思路自然 易于掌握 一般來說 如果已知條件信息量較小 或已知與結(jié)論間的直接聯(lián)系不明顯 距離 較大 可用分析法來證明 分析 利用分析法來考慮 容易找到證明思路 題型一 題型二 題型三 題型一用求差比較法證明不等式 例1 已知a b R 且a b 1 求證 ax2 by2 ax by 2 分析 利用作差 變形 定號 結(jié)論的步驟去證明 證明 a b 1 ax2 by2 ax by 2 ax2 by2 a2x2 2abxy b2y2 a 1 a x2 b 1 b y2 2abxy abx2 aby2 2abxy ab x y 2 又 a b R ab x y 2 0 ax2 by2 ax by 2 反思利用求差比較法來證明不等式時 為了說明差式的符號 有下列三種常用的方法 1 將差式分解因式 2 將差式通過配方寫成一些正 負 數(shù)的和 3 構(gòu)造新函數(shù) 證明函數(shù)恒正或恒負 題型一 題型二 題型三 變式訓(xùn)練1 已知a b 0 n N 求證 a b an bn 2 an 1 bn 1 證明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 an b a bn a b a b bn an 當(dāng)a b 0時 a b 0 bn ana 0時 a b0 有 a b bn an 0時 a b 0 有 a b bn an 0 即 a b bn an 0 故 a b an bn 2 an 1 bn 1 題型一 題型二 題型三 題型二用求商比較法證明不等式 分析 因為a b均為正數(shù) 所以左邊和右邊都是正數(shù) 故可以用求商比較法進行比較 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 變式訓(xùn)練2 已知0 loga 1 x 其中a 0 且a 1 題型一 題型二 題型三 題型三用分析法證明不等式 分析 本題證明關(guān)系比較復(fù)雜 直接證明不易觀察出因果關(guān)系 因此可以用分析法找出證明思路 題型一 題型二 題型三 反思利用分析法論證 若A 則B 這類命題的模式是 欲證命題B為真 只需證明命題B1為真 從而又只需證明命題B2為真 從而又 只需證明命題A為真 又已知A為真 故B為真 可簡寫成B B1 B2 Bn A 題型一 題型二 題型三 變式訓(xùn)練3 已知a b c R 且ab bc ca 1 求證 a b c 1 2 3 4 5 1下列關(guān)系中 對任意a b 0的實數(shù)都成立的是 A a2 b2B lgb2 lga2 答案 B 1 2 3 4 5 答案 C 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5