第第41講簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃講簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃考試要求1.從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式(組)，二元一次不等式的幾何意義(A級(jí)要求)；2.用平面區(qū)域表示二元一次不等式組(A級(jí)要求)；3.從實(shí)際情況中抽象出一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，并加以解決(A級(jí)要求).1.(教材改編)已知點(diǎn)A(1，0)，B(2，m)，若A，B兩點(diǎn)在直線x2y30的同側(cè)，則m的取值集合是_.診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)2.(教材改編)如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是_.解析可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線y2xz取到點(diǎn)(6，3)時(shí)，所求最小值為15.答案15解析作出可行域如圖中陰影部分所示，zx2y2的最小值表示陰影部分(包含邊界)中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值的平方，由圖可知直線xy10與直線x1的交點(diǎn)(1，2)到原點(diǎn)的距離最近，故zx2y2的最小值為12225.答案51.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的_.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域_邊界直線.當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)_邊界直線，則把邊界直線畫成_.(2)由于對(duì)直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入AxByC，所得的符號(hào)都_，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax0By0C的_即可判斷AxByC0表示的直線是AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理平面區(qū)域不包括包括實(shí)線相同符號(hào)2.線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的_不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求_或_的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的_解析式可行解滿足_的解可行域所有_組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得_或_的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的_或_問(wèn)題一次最大值最小值一次線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要結(jié)論畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：(1)直線定界：不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線；(2)特殊點(diǎn)定域：若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0，1)或(1，0)來(lái)驗(yàn)證.4.判斷區(qū)域方法(1)利用“同號(hào)上，異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對(duì)于AxByC0或AxByC0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的上方；當(dāng)B(AxByC)0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的下方.(2)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多個(gè).考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域C點(diǎn)橫坐標(biāo)xC2m，(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.規(guī)律方法(1)求平面區(qū)域的面積：首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題，從而再作出平面區(qū)域；對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可.(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問(wèn)題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.由圖可知，當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)y2x的圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.(2)不等式xy50和0 x2表示的平面區(qū)域如圖所示.因?yàn)樵坏仁浇M表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部，所以由圖可知5a7.答案(1)1(2)5，7)考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題解析(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.易知A(2，0)，由zaxy，得yaxz.當(dāng)a0時(shí)，zaxy在A(2，0)或B(1，1)處取得最大值，2a4或a14，a2，a3(經(jīng)檢驗(yàn)舍去)，則a2滿足題意.(2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線z2xy過(guò)交點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，規(guī)律方法(1)此題中與z有關(guān)量的幾何意義不再是縱截距，而是點(diǎn)到點(diǎn)的距離、斜率、點(diǎn)到直線的距離.(2)在第(3)問(wèn)中才是點(diǎn)到直線的距離.考點(diǎn)三可轉(zhuǎn)化線性規(guī)劃的問(wèn)題答案e，7作出可行域如圖中陰影部分所示，考點(diǎn)四線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例4】 某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí).若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元.(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100 xy，所以利潤(rùn)5x6y3(100 xy)2x3y300.作出可行域，如圖所示，作初始直線l0：2x3y0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，有最大值，最優(yōu)解為A(50，50)，此時(shí)max550元.故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為550元.規(guī)律方法解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系.(2)設(shè)元：設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù).(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解).(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值).(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋.