浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題七 第1講 坐標系與參數(shù)方程選修44
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浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題七 第1講 坐標系與參數(shù)方程選修44
考 點 考 情 極坐標方程及其應(yīng)用坐標系與參數(shù)方程是新課標選考內(nèi)容之一,高考對本講內(nèi)容的考查主要有:(1)直線與圓的極坐標方程以及極坐標與直角坐標系的互化,如廣東T14,新課標全國卷T23.(2)直線、圓與圓錐曲線的參數(shù)方程以及參數(shù)方程與普通方程的互化.參數(shù)方程及其應(yīng)用極坐標與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用1(20xx·新課標全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;(2)求C1與C2交點的極坐標(0,02)解:(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x4)2(y5)225,即C1:x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160,得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標分別為,.2(20xx·福建高考)在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系已知點A的極坐標為,直線l的極坐標方程為cosa,且點A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標方程;(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系解:(1)由點A在直線cosa上,可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2,從而直線l的直角坐標方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x1)2y21,所以圓C的圓心為(1,0),半徑r1,因為圓心C到直線l的距離d<1,所以直線l與圓C相交1直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,并在兩坐標系中取相同的長度單位設(shè)M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標是(,),則2圓的極坐標方程若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為:220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程:(1)當(dāng)圓心位于極點,半徑為r:r;(2)當(dāng)圓心位于M(a,0),半徑為a:2acos ;(3)當(dāng)圓心位于M,半徑為a:2asin .3直線的極坐標方程若直線過點M(0,0),且極軸到此直線的角為,則它的方程為:sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程:(1)直線過極點:0和0;(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸:cos a;(3)直線過M且平行于極軸:sin b.4幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)圓以O(shè)(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)當(dāng)圓心在(0,0)時,方程為其中是參數(shù)(2)橢圓橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)(3)直線經(jīng)過點P0(x0,y0),傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)熱點一極坐標方程及其應(yīng)用例1(1)(20xx·北京高考改編)在極坐標系中,求點到直線sin 2的距離(2)已知點P(1cos ,sin ),參數(shù)0,點Q在曲線C:上求點P的軌跡方程和曲線C的直角坐標方程;求點P與點Q之間距離的最小值自主解答(1)極坐標系中點對應(yīng)的直角坐標為(,1),直線sin 2對應(yīng)的直線方程為y2,所以點到直線的距離為1.(2)由消去,得點P的軌跡方程為(x1)2y21(y0),又由,得,所以sin cos 9.所以曲線C的直角坐標方程為xy9.因為半圓(x1)2y21(y0)的圓心(1,0)到直線xy9的距離為4,所以|PQ|min41.規(guī)律·總結(jié)研究極坐標方程往往要與直角坐標方程進行相互轉(zhuǎn)化當(dāng)條件涉及到角度和到定點距離時,引入極坐標系會對問題的解決帶來很大方便1在極坐標系Ox中,已知點A,B0<<,求過AB的中點,且與OA垂直的直線的極坐標方程解:設(shè)AB的中點為C,則|OC|cos ,過C作CDOA于D.則|OD|OC|·cos cos2 .設(shè)M(,)是直線CD上的任意一點,則MOD,在MOD中,|OD|OM|cos,即cos2 cos,所以直線CD的極坐標方程為cos2 cos.熱點二參數(shù)方程及其應(yīng)用例2(20xx·鄭州模擬)已知直線C1:(t為參數(shù)),曲線C2:(為參數(shù))(1)當(dāng)時,求C1與C2的交點坐標;(2)過坐標原點O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點,當(dāng)變化時,求P點軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線?自主解答(1)當(dāng)時,C1的普通方程為y(x1),C2的普通方程為x2y21,聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點坐標為(1,0),.(2)C1的普通方程為xsin ycos sin 0,A點坐標為(sin2,sin cos ),故當(dāng)變化時,P點軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)),P點軌跡的普通方程為2y2,故P點的軌跡是圓心為,半徑為的圓規(guī)律·總結(jié)在解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時常用的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程,再利用相關(guān)知識解決,注意消參后x,y的取值范圍(2)觀察參數(shù)方程有什么幾何意義,利用參數(shù)的幾何意義解題2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),P是橢圓y21上任意一點,求點P到直線l的距離的最大值解:由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點,故可設(shè)P(2cos ,sin ),其中R.因此點P到直線l的距離是d,所以當(dāng)k,kZ時,d取得最大值.熱點三極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3(20xx·遼寧高考)在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1,直線C2的極坐標方程分別為4sin ,cos2.(1)求C1與C2交點的極坐標;(2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù)),求a,b的值自主解答(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24,直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為,.注:極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3)故直線PQ的直角坐標方程為xy20,由參數(shù)方程可得yx1.所以解得a1,b2.規(guī)律·總結(jié)對于同時含有極坐標方程和參數(shù)方程的題目,可先同時將它們轉(zhuǎn)化為直角坐標方程求解3在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為sin4.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程;(2)設(shè)P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標解:(1)對于曲線C1有2y2cos2sin21.即C1的普通方程為y21.對于曲線C2有sin(cos sin )4cos sin 8xy80,所以C2的直角坐標方程為xy80.(2)顯然橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上點P(cos ,sin )到直線xy80的距離為d,當(dāng)sin1時,d取最小值為3,此時點P的坐標為.