《高三數(shù)學理高考二輪復習專題學案系列課件：專題三三角函數(shù)及三角變換、平面向量及解三角形新人教版學案11 三角變換與解三角形》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學理高考二輪復習專題學案系列課件：專題三三角函數(shù)及三角變換、平面向量及解三角形新人教版學案11 三角變換與解三角形（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.1.同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式, ,正弦、余弦、正切、正弦、余弦、正切、 余切的誘導公式余切的誘導公式. .2.2.兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、半角兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、半角 的三角函數(shù)公式的三角函數(shù)公式. .3.3.通過簡單的三角恒等變換解決三角函數(shù)問題的化通過簡單的三角恒等變換解決三角函數(shù)問題的化 簡、求值與證明簡、求值與證明. .4.4.掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, ,并能解決一些簡單的三并能解決一些簡單的三角形度量問題角形度量問題. .5.5.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一能夠運用正弦定理、余弦定理

2、等知識和方法解決一 些與測量和幾何計算有關的實際問題些與測量和幾何計算有關的實際問題. . 學案學案11 11 三角變換與解三角形三角變換與解三角形 1.(20091.(2009江西江西) )若函數(shù)若函數(shù) 則則f f( (x x) )的最大值為的最大值為 ( )( ) A.1 B.2 A.1 B.2 C. D. C. D.解析解析 當當x x= = 時時, ,函數(shù)取得最大值為函數(shù)取得最大值為2. 2. ,20 ,cos)tan31 ()(xxxxfxxxfcos)tan31 ()()3cos(2sin3cosxxx13 23 B B32.(20092.(2009廣東廣東) )已知已知ABCAB

3、C中中,A A,B B,C C的對邊分的對邊分 別為別為a a, ,b b, ,c c, ,若若a a= =c c= = 且且A A=75=75, ,則則b b等于等于 ( )( ) A.2 B. A.2 B. C. D. C. D.解析解析 因因sin sin A A=sin 75=sin 75=sin(30=sin(30+45+45) ) =sin 30 =sin 30cos 45cos 45+sin 45+sin 45cos 30cos 30= = 由由a a= =c c= = 可知可知,C C=75=75, , 所以所以B B=30=30,sin ,sin B B= .= . 由正弦定

4、理得由正弦定理得26 26 32432426 ,426 21.22146262sinsinBAabA A3.(20093.(2009全國全國)已知已知ABCABC中中,tan ,tan A A= ,= ,則則 cos cos A A等于等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析12513513121312135.1312)125(11tan11cos. ),2(,125tan,22AAAAABC中已知D D4.(20094.(2009全國全國)若若 則函數(shù)則函數(shù)y y=tan 2=tan 2x xtantan3 3x x 的最大值為的最大值為_._.解析解析,

5、24 x-8-8.841241)211(211212tan1tan2tan2tan, 1,24,tan222424243tttttxxxxytxtx令題型一題型一 已知三角函數(shù)求值已知三角函數(shù)求值【例【例1 1】(2009(2009廣東廣東) )已知向量已知向量a a=( ,-2)=( ,-2)與與b b=(1,=(1, ) )互相垂直互相垂直, ,其中其中 (1)(1)求求 的值；的值； 解解 (1)(1)a a與與b b互相垂直互相垂直, ,則則a ab b= =sincoscossin 和.cos,20 ,1010)sin()2(的值求若. )2, 0(,0cos2sin.55cos,5

6、52sin, )2, 0(,55cos,552sin, 1cossin,cos2sin22又得代入即【探究拓展探究拓展】在解有關根據(jù)條件求三角函數(shù)值問題】在解有關根據(jù)條件求三角函數(shù)值問題 時，首先根據(jù)條件限定某些角的取值范圍時，首先根據(jù)條件限定某些角的取值范圍, ,由范圍進由范圍進 而確定出三角函數(shù)值的符號而確定出三角函數(shù)值的符號, ,還應注意公式的正用與還應注意公式的正用與 逆用及變形應用逆用及變形應用, ,根據(jù)條件還要注意適當拆分角、拼根據(jù)條件還要注意適當拆分角、拼 角等技巧的應用角等技巧的應用. . .22)sin(sin)cos(cos)(coscos,10103)(sin1)cos(

7、,22,20 ,20)2(2則變式訓練變式訓練1 1 已知已知 (1)(1)求求sin sin x x的值；的值； 解解 . )43,2(,102)4cos(xx.)32sin()2(的值求x4)4sin(sin.1027)4(cos1)4sin(,)2,4(4,)43,2() 1 (2xxxxxx于是所以因為.54221022210274sin)4cos(4cos)4sin(xx.5037243sin2cos3cos2sin)32sin(.2571cos22cos,2524cossin22sin.53)54(1sin1cos),43,2()2(222xxxxxxxxxxx所以所以因為題型二題

8、型二 三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)與解三角形【例【例2 2】(2009(2009四川四川) )在在ABCABC中中, ,A A, ,B B為銳角為銳角, ,角角A A, , B B, ,C C所對應的邊分別為所對應的邊分別為a a, ,b b, ,c c, ,且且cos2cos2A A= sin= sinB B= = (1) (1)求求A A+ +B B的值；的值； (2)(2)若若a a- -b b= = 求求a a, ,b b, ,c c的值的值. . 解解 (1)(1)A A、B B為銳角為銳角,sin ,sin B B= = cos cos B B= = 又又cos 2cos 2A A=

9、1-2sin=1-2sin2 2A A= = ,53.1010,12 ,1010.10103sin12B,53,552sin1cos,55sin2AAAcos(cos(A A+ +B B)=cos )=cos A Acos cos B B-sin -sin A Asin sin B B.4,0.2210105510103552BABA. 5,2,1, 122, 12,5,2,2105,sinsinsin.22sin,43) 1 ()2(cabbbbabcbacbaCcBbAaCC即得由正弦定理知由【探究拓展探究拓展】本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關】本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關 系系, ,

10、兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等 基礎知識及基本運算能力基礎知識及基本運算能力. .在求解三角形的面積時，在求解三角形的面積時， 應注意面積的表達式有幾種不同表達方式，應靈活應注意面積的表達式有幾種不同表達方式，應靈活 選擇選擇. . 變式訓練變式訓練2 2 在在ABCABC中中,sin(,sin(C C- -A A)=1,sin )=1,sin B B= = (1) (1)求求sin sin A A的值；的值； (2)(2)設設ACAC= ,= ,求求ABCABC的面積的面積. .解解.316.33sin, 0sin,31)sin1 (21

11、sin, )2sin2(cos22)24sin(sin,24,2) 1 (2AABABBBABABACAC又且由(2)(2)如圖所示如圖所示, ,由正弦定理得由正弦定理得 又又sin sin C C=sin(=sin(A A+ +B B)=sin )=sin A Acos cos B B+cos +cos A Asin sin B B.sinsinABCBAC,2331336sinsinBAACBC.233623621sin21,36313632233CBCACSABC題型三題型三 向量與解三角形向量與解三角形【例【例3 3】(2009(2009湖南湖南) )在在ABCABC, ,已知已知 求

12、角求角A A, ,B B, ,C C的大小的大小. . 解解設設BCBC= =a a, ,ACAC= =b b, ,ABAB= =c c， |32ABACAB,3|2BCAC ,43)65sin(sin.43sin3sinsin,33|3,6), 0(,23cos,3cos2, |32222CCABCabc，BCACABAAAbcAbcACABACAB所以于是得由因此又所以得由【探究拓展探究拓展】解答這一類問題】解答這一類問題, ,首先要保證向量運算首先要保證向量運算 必須正確必須正確, ,否則否則, ,反被其累反被其累, ,要很好的掌握正、余弦定要很好的掌握正、余弦定 理的應用的條件及靈活變

13、形理的應用的條件及靈活變形, ,方能使問題簡捷解答方能使問題簡捷解答. . .32,6,66,32,6,326,32, 032,343236506.0)32sin(,2cos32sin,3sin32cossin2,43)sin23cos21(sin2CBACBACCCCC，CACCCCCCCCC或故或即或從而所以知由即因此變式訓練變式訓練3 3 (2009 (2009江西江西) )在在ABCABC中中, ,A A、B B、C C所對所對 的邊分別為的邊分別為a a、b b、c c， (1)(1)求求C C； (2)(2)若若 求求a a, ,b b, ,c c. .解解.2)31 ( ,6bc

14、A,31CACB.4, 1tan,232123tan21sinsin65coscos65sinsin)6sin(,sinsin2321,2)31 () 1 (CCCCCCCCCBcbbc即得則有得由.2312,sinsin2)31 (3122, 3122,4.31cos, 31)2(cbaCcAabcababCCabCACB解得則有即得而推出由題型四題型四 解三角形與實際問題解三角形與實際問題【例【例4 4】(2009(2009海南海南) )如圖如圖, ,為了解某海域海底構造為了解某海域海底構造， 對海平面內(nèi)一條直線上的對海平面內(nèi)一條直線上的A A、B B、C C三點進行測量三點進行測量. .

15、已已 知知ABAB=50 m,=50 m,BCBC=120 m,=120 m,于于A A處測得水深處測得水深ADAD=80 m,=80 m,于于B B 處測得水深處測得水深BEBE=200 m,=200 m,于于C C處測得水深處測得水深CFCF=110 m,=110 m,求求 DEFDEF的余弦值的余弦值. . 解解 作作DMDMACAC交交BEBE于于N N, ,交交CFCF于于MM. . 在在DEFDEF中中, ,由余弦定理得由余弦定理得【探究拓展探究拓展】對幾何中的計算問題】對幾何中的計算問題, ,往往通過正、余往往通過正、余 弦定理把幾何問題轉化成三角函數(shù)問題弦定理把幾何問題轉化成三

16、角函數(shù)問題, ,再通過解三再通過解三 角函數(shù)達到求解三角形問題的目的角函數(shù)達到求解三角形問題的目的. . , )m(15012090)()m(13012050, )m(2981017030222222222222BCFCBEEFENDNDEDMMFDF.65161501302298101501302cos222222EFDEDFEFDEDEF變式訓練變式訓練4 4 如圖所示如圖所示, ,扇形扇形AOBAOB, ,圓圓 心角心角AOBAOB=60=60, ,半徑半徑OAOA=2,=2,在弧在弧 ABAB上有一點上有一點P P, ,過點過點P P做平行于做平行于OBOB 的直線交的直線交OAOA于

17、點于點C C, ,設設AOPAOP= = 求求COPCOP面積的最大值及此時面積的最大值及此時 的值的值. .解解 因為因為AOBAOB=60=60且且CPCPOBOB, ,所以所以OCPOCP=120=120, , 則在則在OCPOCP中中， OPOP2 2= =OCOC2 2+ +CPCP2 2-2-2OCOCCPCPcos 120cos 120 = =OCOC2 2+ +CPCP2 2+ +OCOCCPCP， 又因又因OCOC2 2+ +CPCP2 222OCOCCPCP, ,所以所以OPOP2 233OCOCCPCP, , 又又OPOP= =OAOA=2,=2,即即OCOCCPCP 所

18、以所以S SCOPCOP= = OCOCCPCPsin 120sin 120 = = OCOCCPCP 即即( (S SCOPCOP) )maxmax= = 此時此時OCOC= =CPCP， 又又OCPOCP=120=120, ,所以所以 =AOPAOP=30=30. . ,342143,33,33【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】 (2009(2009山東山東) )設函數(shù)設函數(shù)f f( (x x)=cos(2)=cos(2x x+ )+sin+ )+sin2 2x x. . (1) (1)求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )的最大值和最小正周期；的最大值和最小正周期； (2)(2)設設A A, ,B

19、B, ,C C為為ABCABC的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角, ,若若 且且C C為銳角為銳角, ,求求sin sin A A. .3)2(,31cosCfB ,41【解題示范解題示范】 f f( (x x) )取得最大值取得最大值,f f( (x x)最大值最大值= = f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期 故函數(shù)故函數(shù)f f( (x x) )的最大值為的最大值為 最小正周期為最小正周期為 6 6分分,)Z(4,222.2sin23212cos21212sin232cos2122cos13sin2sin3cos2cos)() 1 (時即所以當解xkxkxxxxxxxxxf,231,22T,

20、231. 因此因此sin sin A A=sin -(=sin -(B B+ +C C)=sin()=sin(B B+ +C C) )=sin =sin B Bcos cos C C+cos +cos B Bsin sin C C分求得由分所以為銳角又解得即由10.322sin31cos8.3,.23sin,41sin2321,41)2()2(BBCCCCCf分1263222331213221.1.解三角形常見類型及解法解三角形常見類型及解法:(1):(1)已知一邊和兩角，用已知一邊和兩角，用 正弦定理求解正弦定理求解, ,在有解時只有一解在有解時只有一解;(2);(2)已知兩邊和夾已知兩邊和

21、夾 角角, ,用余弦定理或正弦定理求解用余弦定理或正弦定理求解, ,在有解時只有一解在有解時只有一解; ; (3) (3)已知三邊已知三邊, ,用余弦定理求解，在有解時只有一解用余弦定理求解，在有解時只有一解; ; (4) (4)已知兩邊和其中一邊的對角，用余弦定理或正弦已知兩邊和其中一邊的對角，用余弦定理或正弦 定理求解定理求解, ,可有兩解、一解或無解可有兩解、一解或無解. .2.2.應用正、余弦定理解斜三角形應用問題的方法步應用正、余弦定理解斜三角形應用問題的方法步 驟驟:(1):(1)分析分析: :理解題意理解題意, ,分清已知與待求分清已知與待求, ,并畫出示意并畫出示意 簡圖簡圖;

22、(2);(2)建模：根據(jù)條件與所求的目標建模：根據(jù)條件與所求的目標, ,把已知量與把已知量與 待求量盡量集中在有關三角形中待求量盡量集中在有關三角形中, ,建立解斜三角形的建立解斜三角形的 數(shù)學模型數(shù)學模型;(3);(3)求解求解: :利用余弦定理或正弦定理有序的利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形解三角形, ,求得數(shù)學模型的解；求得數(shù)學模型的解；(4)(4)檢驗檢驗: :檢驗上述所檢驗上述所 求解是否有實際意義，進而得出實際問題的解求解是否有實際意義，進而得出實際問題的解. .3.3.在在ABCABC中常用關系：中常用關系：(1)(1)a ab bc c A AB BC C sin sin

23、 A Asin sin B Bsin sin C C;(2);(2)A A、B B、C C成等差數(shù)列成等差數(shù)列 B B=60=60;(3);(3)2b2b= =a a+ +c c或或b b2 2= =a ac c 0 0B B6060. . 一、選擇題一、選擇題1.1.函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=sin)=sin2 2x x+ sin + sin x xcos cos x x在區(qū)間在區(qū)間 上的最上的最 大值是大值是 ( )( ) A.1 B. A.1 B. C. D. C. D.解析解析32,4.23211)(. 1)62sin(21.65623,24.21)62sin(2sin2322co

24、s1cossin3sin)(max2xfxxxxxxxxxxf2313123C C2.(20092.(2009遼寧遼寧) )已知已知 等于等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析22cos2cossinsin, 2tan則43544534.541tan2tantancossincos2cossinsin222222原式D D3.3.已知銳角三角形的邊長分別是已知銳角三角形的邊長分別是2,3,2,3,x x, ,則則x x的取值范的取值范 圍是圍是 ( )( ) A.1 A.1x x5 5B.B. C. C. D. D. 解析解析若若3 3是最大邊是最大邊,

25、,則則3 32 2x x2 2+2+22 2, ,即即x x3,3, 若若x x是最大邊是最大邊, ,則則x x2 2332 2+2+22 2, ,即即33x x . . 由上可知由上可知135 x513 x50 x513.135 xB B4.4.已知已知a a、b b、c c是是ABCABC的三條對應邊的三條對應邊, ,若滿足若滿足( (a a+ +b b+ +c c) ) ( (a a+ +b b- -c c)=3)=3abab, ,且且sin sin A A=2sin =2sin B Bcos cos C C, ,那么那么ABCABC 是是 ( )( ) A. A.直角三角形直角三角形

26、B.B.等腰直角三角形等腰直角三角形 C.C.等腰三角形等腰三角形 D.D.等邊三角形等邊三角形解析解析 因為因為( (a a+ +b b+ +c c)()(a a+ +b b- -c c)=)=a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2+2+2abab=3=3abab, , 則則 所以所以C C=60=60, , 又又sinsinA A=2sin =2sin B Bcos cos C C, ,則則sin sin A A=sin =sin B B, ,即即A A=B B. . ABCABC為等邊三角形為等邊三角形. . ,212cos222abcbaCD D5.5.在在ABCABC中中,

27、 ,若若(sin (sin A A+sin +sin B B):):( (sin sin B B+sin +sin C C):): (sin (sin C C+sin +sin A A)=4:5:6,)=4:5:6,則則C C的值為的值為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由題意可知由題意可知:(:(a a+ +b b):():(b b+ +c c):():(c c+ +a a)=4:5:6,)=4:5:6, 則則a a: :b b: :c c=5:3:7,=5:3:7,令令a a=5=5k k, ,b b=3=3k k, ,c c=7=7k k ( (k

28、 k0),0),443323.32.2135249925cos222CkkkkkC所以C C6.6.在在ABCABC中中, ,若有一個內(nèi)角不小于若有一個內(nèi)角不小于120120, ,則最長邊則最長邊 與最短邊之比的最小值是與最短邊之比的最小值是 ( )( ) A. B. C.2 D. A. B. C.2 D. 解析解析 設設C C120120, ,則則c c為最大邊為最大邊, ,設設a a為最小邊，為最小邊， 則則A AB B, ,所以所以A A+ +B B=180=180- -C C,A A(0, ,(0, ,6. 3cos2sin2sinsin)sin(sinsinAAAABAACac所以B

29、 B253二、填空題二、填空題7.(20097.(2009湖南湖南) )在銳角在銳角ABCABC中中, ,BCBC=1,=1,B B=2=2A A, ,則則 的值等于的值等于_,_,ACAC的取值范圍為的取值范圍為_._.解析解析 由正弦定理由正弦定理: :AACcos,sinsinBACABC,230,220,20,3,3,AAAACCACBA.22cos,cossin22sinsinBCAACAAACAACABC答案答案 2 28.8.在在ABCABC中中, ,C C=60=60, ,a a、b b、c c分別為分別為A A、B B、C C的對的對 邊，則邊，則 =_.=_.解析解析 由余

30、弦定理可知由余弦定理可知: :a a2 2+ +b b2 2= =c c2 2+ +abab, ,.32,cos2,23cos22,46ACAACAA又)3, 2(cabcba. 122222bcacabcbcacabcbcacabcbcacbacabcba又1 19.9.如果函數(shù)如果函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間D D上是凸函數(shù)上是凸函數(shù), ,則對于區(qū)間則對于區(qū)間D D上上 任意的任意的x x1 1, ,x x2 2,x xn n, ,都有都有: : 現(xiàn)已知現(xiàn)已知y y=sin =sin x x在在0, 0, 上是凸上是凸 函數(shù)函數(shù), ,則在則在ABCABC中中,sin ,sin

31、A A+sin +sin B B+sin +sin C C的最大值的最大值 是是_._.解析解析 由題意可知：由題意可知： 所以所以sin sin A A+sin +sin B B+sin +sin C C的最大值是的最大值是nxfxfxfn)()()(21);(21nxxxfn.233sin)3sin(3sinsinsinCBACBA.23323310.10.在在ABCABC中，中，ACAC=2=2BCBC, ,若若ABAB=3,=3,則則ABCABC的最大面的最大面 積為積為_._.解析解析 如圖如圖, ,作作CDCDABAB或其延長線于或其延長線于D D， 設設BCBC= =m m, ,

32、CDCD= =h h, ,BDBD= =t t, , 則則4 4m m2 2-(3+-(3+t t) )2 2= =m m2 2- -t t2 2= =h h2 2,m m2 2=2=2t t+3,+3, 當且僅當當且僅當t t=1=1時時,(,(S SABCABC) )maxmax=3. =3. 3 3,3321,24) 1(3222hSttthABC三、解答題三、解答題11.(200911.(2009全國全國)設設ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A A、B B、C C的對邊長的對邊長 分別為分別為a a、b b、c c,cos(,cos(A A- -C C)+cos )+cos B B= = b

33、b2 2= =ac,ac,求求B B. .解解 由由cos(cos(A A- -C C)+cos )+cos B B= = 得得cos(cos(A A- -C C)-cos()-cos(A A+ +C C)=)= cos cos A Acos cos C C+sin +sin A Asin sin C C-(cos -(cos A Acos cos C C- - sin sin A Asin sin C C)= sin )= sin A Asin sin C C= = 又由又由b b2 2= =acac及正弦定理得及正弦定理得sinsin2 2B B=sin =sin A Asin sin C

34、 C, , 故故sinsin2 2B B= sin = sin B B= = 或或sin sin B B= (= (舍去舍去),), 于是于是B B= = 或或B B= = 又由又由b b2 2= =acac知知b ba a或或b bc c, ,所以所以B B= =,23,23)(23CAB及,23,43,4323233.32.312.(200912.(2009江西江西) )在在ABCABC中中, ,角角A A、B B、C C所對的邊分所對的邊分 別為別為a a, ,b b, ,c c. .且且 sin(sin(B B- -A A)=cos )=cos C C. . (1) (1)求求A A,

35、 ,C C； (2)(2)若若S SABCABC= = 求求a a, ,c c. .解解 (1)(1)因為因為 所以所以sin sin C Ccos cos A A+sin +sin C Ccos cos B B=cos =cos C Csin sin A A+cos +cos C C sin sin B B, ,即即sin sin C Ccos cos A A-cos -cos C Csin sin A A=cos =cos C Csin sin B B- - sin sin C Ccos cos B B, , 得得sin(sin(C C- -A A)=sin()=sin(B B- -C C).). 所以所以C C- -A A= =B B- -C C或或C C- -A A= -(= -(B B- -C C)()(不成立不成立) )，,coscossinsintanBABAC, 33,coscossinsintanBABAC,coscossinsincossinBABACC即.125,4),(656,21cos)sin(.32,3,2BAABABCABABCBAC得舍去或則又因為所以得即. 32,22,2322,sinsin, 33826sin21)2(cacaCcAaacBacSABC得即又返回