9.29.2不等式選講不等式選講( (選修選修45)45)-2-3-4-5-6-1.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí),等號(hào)成立.-7-2.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想.通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.-8-9-4.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.(1)比較法:求差比較法,求商比較法.求差比較法:由于aba-b0,aba-bb,只要證明a-b0即可.求商比較法:由ab0 1且a0,b0,因此當(dāng)a0,b0時(shí)要證明ab,只要證明 1即可.(2)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等).-10-(3)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過推理論證,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,即“由因?qū)す钡姆椒?這種證明不等式的方法稱為綜合法.5.柯西不等式-11-考向一考向二考向三解不等式、求參數(shù)范圍解不等式、求參數(shù)范圍(全方位探究全方位探究)例1(2018廣東梅州二模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.當(dāng)x2時(shí),由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.-12-考向一考向二考向三-13-考向一考向二考向三解題心得解題心得1.解含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般解法是零點(diǎn)分段法.即令各個(gè)絕對(duì)值式子等于0,求出各自零點(diǎn),把零點(diǎn)在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸形成的各區(qū)間去絕對(duì)值,進(jìn)而將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取分離參數(shù),通過求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值的方法獲得.-14-考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0).(1)當(dāng)m=1時(shí),解不等式f(x)3;(2)當(dāng)xm,2m2時(shí),不等式 f(x)|x+1|恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.-15-考向一考向二考向三-16-考向一考向二考向三例2已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.-17-考向一考向二考向三解: (1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)xa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無(wú)解f(x)maxa;f(x)a無(wú)解f(x)mina.-19-考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 2(2018河南濮陽(yáng)三模,23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|,g(x)=x2-x-a.(1)當(dāng)a=5時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含2,3,求a的取值范圍.-20-考向一考向二考向三解: (1)當(dāng)a=5時(shí),不等式f(x)g(x)等價(jià)于|x+1|-|x-2|x2-x-5,當(dāng)x0,且關(guān)于x的不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)時(shí)不等式f(x)x成立,求a的取值范圍.-26-考向一考向二考向三解題心得解題心得在不等式f(x)g(x)成立下,求不等式中所含參數(shù)的取值范圍,可對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,看參數(shù)在哪些范圍內(nèi)不等式能成立,然后把使不等式成立的參數(shù)的范圍合并在一起即可.-27-考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 4已知f(x)=|x-a|+3x,其中aR.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)3x+|2x+1|的解集;(2)若不等式f(x)0的解集為x|x-1,求a的值.-28-考向一考向二考向三解: (1)a=1時(shí),f(x)=|x-1|+3x,由f(x)|2x+1|+3x,得|x-1|-|2x+1|0,故|x-1|2x+1|,解得-2x0,不等式的解集為x|-2x0.-29-考向一考向二考向三不等式的證明不等式的證明例5(2018山東濰坊三模,文23)已知函數(shù)f(x)=|x+4|,不等式f(x)8-|2x-2|的解集為M.(1)求M;(2)設(shè)a,bM,證明:f(ab)f(2a)-f(-2b).-30-考向一考向二考向三(1)解: 將f(x)=|x+4|代入f(x)8-|2x-2|,得|x+4|+|2x-2|8.當(dāng)x-4時(shí),不等式轉(zhuǎn)化為-x-4-2x+28,解得x- ,所以此時(shí)x-4.當(dāng)-4x8,解得x-2,所以此時(shí)-4x8,解得x2,所以此時(shí)x2.綜上,M=x|x2.-31-考向一考向二考向三(2)證明 因?yàn)閒(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,所以要證f(ab)f(2a)-f(-2b),只需證|ab+4|2a+2b|.即證(ab+4)2(2a+2b)2,即證a2b2+8ab+164a2+8ab+4b2,即證a2b2-4a2-4b2+160,即證(a2-4)(b2-4)0,因?yàn)閍,bM,所以a24,b24,所以(a2-4)(b2-4)0成立,所以原不等式成立.-32-考向一考向二考向三解題心得解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí),主要是運(yùn)用基本不等式證明,與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.-33-考向一考向二考向三-34-考向一考向二考向三-35-考向一考向二考向三求代數(shù)式的最值求代數(shù)式的最值例6(2018河北唐山一模,文23)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|-|x|的最大值為m.(1)求m的值;-36-考向一考向二考向三-37-考向一考向二考向三解題心得解題心得若題設(shè)條件有(或者經(jīng)過化簡(jiǎn)題設(shè)條件得到)兩個(gè)正數(shù)和或兩個(gè)正數(shù)積為定值,則可利用基本不等式求兩個(gè)正數(shù)積的最大值或兩個(gè)正數(shù)和的最小值.-38-考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 6(2018湖南衡陽(yáng)二模,理23)已知a0,b0,c0.若函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值;解: (1)f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c=a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)-axb時(shí),等號(hào)成立,f(x)的最小值為a+b+c,a+b+c=4.-39-考向一考向二考向三