高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題10 立體幾何一選擇題10 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖，在三棱柱ABCABC中，點(diǎn)E、F、H、 K分別為AC、CB、AB、BC的中點(diǎn)，G為ABC的重心. 從K、H、G、B中取一點(diǎn)作為P， 使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為 （ ）A.K BHCGDB【答案】C2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】關(guān)于直線與平面，有以下四個(gè)命題： 若且，則；若且，則；若且，則；若且，則；其中真命題的序號(hào)是 ( )A B C D【答案】D.【解析】試題分析：用排除法可得選D.3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題：；與相交與相交或重合；與平行與平行或重合其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（）1 23 4【答案】DABCDA1B1C1D14.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )俯視圖側(cè)視圖2正視圖第4題圖4242A B C D5.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由柱體和臺(tái)體的體積公式可知選C6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號(hào)、的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）A.和 B.和 C. 和 D.和 二填空題1.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸與y軸重合）所在的平面，（）已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為（）已知平面內(nèi)的曲線C/的方程是，則曲線C/在平面內(nèi)的射影C的方程是 【答案】【解析】試題分析：設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，則，故在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為；另：由得，即.三解答題1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn). （）求直線AC與PB所成角的余弦值；（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.【解析】解法1：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），解法2：（）設(shè)ACBD=O，連OE，則OE/PB，EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.在AOE中，AO=1，OE=即AC與PB所成角的余弦值為.（）在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于F，則.2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，VDC=.（）求證：平面VAB平面VCD；（）當(dāng)角變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍.ADBCHV解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，ADBCVxyz解法3：（）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)即直線與平面所成角的取值范圍為ADBCVxyADBCVxyz（）設(shè)直線與平面所成的角為，4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC側(cè)面A1ABB1.（）求證：ABBC；（）若直線AC與平面A1BC所成的角為,二面角A1-BC-A的大小為的大小關(guān)系，并予以證明.【解析】（）證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作ADA1B于D，則由平面A1BC側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，則AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,從而BC側(cè)面A1ABB1，又AB側(cè)面A1ABB1，故ABBC.所以于是由cb，得即又所以5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（）求證：對(duì)任意的，都有（）設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值18.【解析】（）證法1：如圖1，連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE解法2：由（I）得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得。 易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為. . 0<， . 由于，解得，即為所求。6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖， 在四面體ABOC中, , 且（）設(shè)為為的中點(diǎn)， 證明： 在上存在一點(diǎn)，使，并計(jì)算的值；（）求二面角的平面角的余弦值。 （）連接 ，由，知：.又， 又由，。 是在平面內(nèi)的射影。在等腰中，為的中點(diǎn)，根據(jù)三垂線定理，知： 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)C重合 （）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：; （）設(shè)二面角C-AF-E的大小為，求的最小值。8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將折起，使（如圖2所示） （）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在DABCACDB圖2圖1ME.·棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小【解析】解法1：在如圖1所示的中，設(shè)，則由，知，為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如圖2），且，所以平面又，所以于是設(shè)與平面所成角的大小為，則由，可得，即故與平面所成角的大小為 解法2：由（）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則.由（）知平面，所以平面.如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，則四邊形為正方形，所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則，9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是，的中點(diǎn)。（I）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；（II）設(shè)（I）中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足。記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：。第19題圖【解析】(1)解：直線l平面PAC，證明如下：連接EF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因?yàn)閘平面PAC，EF平面PAC，所以直線l平面PAC.(2)證明：(綜合法)如圖1，連接BD，由(1)可知交線l即為直線BD，且lAC.因?yàn)锳B是O的直徑，圖1即sin sin sin .(向量法)如圖2，由，作DQCP，且.圖2故sin sin sin ，即sin sin sin .10. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.（I）當(dāng)時(shí)，證明：直線平面；（II）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【解析】幾何法：（I）證明：如圖1，連結(jié)，由是正方體，知，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，所以，而平面，且平面，故平面.（II）如圖2，連結(jié)，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，由得，解得，故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.向量法：以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，所以，（I）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，而平面，且平面，故直線平面.（II）設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得，于是取，同理可得平面的一個(gè)法向量為，若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則，即，解得，故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.考點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，空間中的線線、線面、面面平行于垂直，二面角.11. 【20xx高考湖北，理19】九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接 （）證明：試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；（）若面與面所成二面角的大小為，求的值【答案】（）詳見(jiàn)解析；（）.（）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，則，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 則, 所以.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.