第2講空間圖形的基本關(guān)系與公理基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1(20xx·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面，l，a ，a ，且a在，內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A相交或平行B相交或異面C平行或異面D相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.答案D2在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A相交B異面C平行D垂直解析如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交答案A3設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是()Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.ABCD解析當(dāng)aP時(shí)，Pa，P，但a，錯(cuò)；aP時(shí)，錯(cuò)；如圖，ab，Pb，Pa，由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面，又ab，由a與b確定唯一平面，但經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P，與重合，b，故正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故正確答案D4(20xx·陜西五校聯(lián)考)已知l，m，n是空間中的三條直線，命題p：若ml，nl，則mn；命題q：若直線l，m，n兩兩相交，則直線l，m，n共面，則下列命題為真命題的是()Ap且qBp或qCp或(綈q)D(綈p)且q解析命題p中，m，n可能平行、還可能相交或異面，所以命題p為假命題；命題q中，當(dāng)三條直線交于三個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，三條直線一定共面，當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，三條直線不一定共面，所以命題q也為假命題所以綈p和綈q都為真命題，故p或(綈q)為真命題選C.答案C5. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，過(guò)頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為()A1B2C3D4解析有2條：A1B和A1C1.答案B二、填空題6如果兩條異面直線稱(chēng)為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線_對(duì)解析如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢茫艺襟w共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線24(對(duì))答案247. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(kāi)(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)解析A，M，C1三點(diǎn)共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，錯(cuò)，正確；M，B，B1三點(diǎn)共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，因此直線BN與MB1是異面直線，正確答案8(20xx·江西卷)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)解析取CD的中點(diǎn)為G，由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交故直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.答案4三、解答題9. 如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四邊形BCHG為平行四邊形(2)解由BE綊AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綊FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面10在正方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1，O，M共線證明如圖所示，A1AC1C，A1A，C1C確定平面A1C.A1C平面A1C，OA1C，O平面A1C，而O平面BDC1線A1C，O平面BDC1，O在平面BDC1與平面A1C的交線上ACBDM，M平面BDC1，且M平面A1C，平面BDC1平面A1CC1M，OC1M，即C1，O，M三點(diǎn)共線能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1(20xx·長(zhǎng)春一模)一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中()AABCDBAB與CD相交CABCDDAB與CD所成的角為60°解析如圖，把展開(kāi)圖中的各正方形按圖1所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖2所示的直觀圖，可見(jiàn)選項(xiàng)A，B，C不正確正確選項(xiàng)為D.圖2中，BECD，ABE為AB與CD所成的角， ABE為等邊三角形，ABE60°.答案D2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1， CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線()A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無(wú)數(shù)條解析法一圖1在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面(如圖1)，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)如圖所示故選D.法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面(如圖2)，因CD與平面不平行，圖2所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交答案D二、填空題3.(20xx·安徽卷)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))當(dāng)0CQ時(shí)，S為四邊形；當(dāng)CQ時(shí)，S為等腰梯形；當(dāng)CQ時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R；當(dāng)CQ1時(shí)， S為六邊形；當(dāng)CQ1時(shí)，S的面積為.解析如圖1，當(dāng)CQ時(shí)，平面APQ與平面ADD1A1的交線AD1必平行于PQ，且D1QAP，S為等腰梯形，正確；同理，當(dāng)0CQ時(shí)，S為四邊形，正確；圖1圖2如圖2，當(dāng)CQ時(shí)，將正方體ABCDA1B1C1D1補(bǔ)成底面不變，高為1.5的長(zhǎng)方體ABCDA2B2C2D2.Q為CC2的中點(diǎn)，連接AD2交A1D1于點(diǎn)E，易知PQAD2，作ERAP，交C1D1于R，連接RQ，則五邊形APQRE為截面S.延長(zhǎng)RQ，交DC的延長(zhǎng)線于F，同時(shí)與AP的延長(zhǎng)線也交于F，由P為BC的中點(diǎn)，PCAD，知CFDF1，由題意知RC1QFCQ，C1R，正確；由圖2知當(dāng)CQ1時(shí)，S為五邊形，錯(cuò)誤；當(dāng)CQ1時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C1重合，截面S為邊長(zhǎng)為的菱形，對(duì)角線AQ，另一條對(duì)角線為，S，正確答案三、解答題4如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小解(1)如圖，連接AC，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角由 AB1C中，由AB1ACB1C可知B1CA60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由(1)知ACA1C1.AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角EF是ABD的中位線，EFBD.又ACBD，ACEF，即所求角為90°.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.