第第1課時函數(shù)及其表示課時函數(shù)及其表示第二章基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二章基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教材回扣教材回扣 夯實(shí)雙基夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)與映射的概念函數(shù)函數(shù)映射映射兩集兩集合合A、B設(shè)設(shè)A、B是是兩個非空兩個非空_設(shè)設(shè)A、B是兩是兩個非空個非空_數(shù)集數(shù)集集合集合函數(shù)函數(shù)映射映射對應(yīng)對應(yīng)關(guān)系關(guān)系f：AB如果按照某種確定如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系f,使對使對于集合于集合A中的中的_一個一個_,在集合在集合B中都有中都有_的數(shù)的數(shù)f(x)和它對應(yīng)和它對應(yīng)如果按某一個確定如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系f,使對使對于集合于集合A中的中的_一個元素一個元素x,在集合在集合B中都有唯一確定中都有唯一確定的元素的元素y與之對應(yīng)與之對應(yīng)名稱名稱稱稱_為從為從集合集合A到集合到集合B的的一個函數(shù)一個函數(shù)稱稱_為從集合為從集合A到集合到集合B的一個映射的一個映射記法記法yf(x),xA對應(yīng)對應(yīng)f：AB是一是一個映射個映射任意任意數(shù)數(shù)x唯一確定唯一確定任意任意f：AB對應(yīng)對應(yīng)f：AB思考探究思考探究映射與函數(shù)有什么區(qū)別映射與函數(shù)有什么區(qū)別?提示：提示：函數(shù)是特殊的映射函數(shù)是特殊的映射,二者區(qū)別在二者區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合于映射定義中的兩個集合是非空集合,可以不是數(shù)集可以不是數(shù)集,而函數(shù)中的兩個集合必而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集須是非空數(shù)集.2.函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法法.(1)解析法：如果在函數(shù)解析法：如果在函數(shù)yf(x)(xA)中中f(x)是用是用_的代數(shù)式來表達(dá)的的代數(shù)式來表達(dá)的,則這種表示函數(shù)的方法叫做解析法則這種表示函數(shù)的方法叫做解析法.自變量自變量x(2)圖象法：對于函數(shù)圖象法：對于函數(shù)yf(x)(xA)定定義域內(nèi)每一個義域內(nèi)每一個x的值都有唯一的的值都有唯一的y值與值與它對應(yīng)它對應(yīng),把這兩個對應(yīng)的數(shù)構(gòu)成的有序把這兩個對應(yīng)的數(shù)構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對實(shí)數(shù)對(x,y)作為點(diǎn)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo),記作記作P(x,y),則所有這些點(diǎn)的集合構(gòu)成一個曲線則所有這些點(diǎn)的集合構(gòu)成一個曲線,把把這種用這種用_表示函數(shù)的方法叫表示函數(shù)的方法叫做圖象法做圖象法.點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合(3)列表法：用列出列表法：用列出_與對應(yīng)與對應(yīng)的的_的表格來表達(dá)兩個變量間的表格來表達(dá)兩個變量間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法.自變量自變量x函數(shù)值函數(shù)值y3.分段函數(shù)分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因因_不同而分別用幾個不同的不同而分別用幾個不同的式子來表示式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù)這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分分段函數(shù)雖由幾個部分組成段函數(shù)雖由幾個部分組成,但它表示的但它表示的是是_函數(shù)函數(shù).對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系一個一個課前熱身課前熱身答案：答案：B答案：答案：D答案：答案：D答案：答案：1考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究 講練互動講練互動考點(diǎn)考點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念函數(shù)的有關(guān)概念由函數(shù)的定義可知由函數(shù)的定義可知,對于定義域內(nèi)的任對于定義域內(nèi)的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數(shù)意一個自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值與之對應(yīng)值與之對應(yīng).可以此判斷在某種對應(yīng)關(guān)可以此判斷在某種對應(yīng)關(guān)系系f的作用下的作用下,從非空數(shù)集從非空數(shù)集A到非空數(shù)集到非空數(shù)集B的對應(yīng)是否是函數(shù)的對應(yīng)是否是函數(shù). 下列對應(yīng)關(guān)系是集合下列對應(yīng)關(guān)系是集合P上的函數(shù)上的函數(shù)的是的是_.(1)PZ,QN*,對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系f：對集合：對集合P中中的元素取絕對值與集合的元素取絕對值與集合Q中的元素相對中的元素相對應(yīng)應(yīng);(2)P1,1,2,2,Q1,4,對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系f：xyx2,xP,yQ;例例1(3)P三角形三角形,Qx|x0,對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系f：對對P中三角形求面積與集合中三角形求面積與集合Q中元素相對中元素相對應(yīng)應(yīng).【思路分析思路分析】利用函數(shù)的定義來判斷利用函數(shù)的定義來判斷.【解析解析】由于由于(1)中集合中集合P中元素中元素0在在集合集合Q中沒有對應(yīng)元素中沒有對應(yīng)元素,并且并且(3)中集合中集合P不是數(shù)集不是數(shù)集,從而知只有從而知只有(2)正確正確.【答案答案】(2)【解題技巧解題技巧】函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)函數(shù)是一種特殊的對應(yīng),要檢驗(yàn)給定的兩個變量之間是否具有函要檢驗(yàn)給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系,只需要檢驗(yàn)：只需要檢驗(yàn)：(1)定義域和對應(yīng)定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出關(guān)系是否給出;(2)根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系,自變量在其定義域中的每一個值自變量在其定義域中的每一個值,是否是否都有唯一確定的函數(shù)值都有唯一確定的函數(shù)值.考點(diǎn)考點(diǎn)2求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式求函數(shù)表達(dá)式的主要方法有：待定系數(shù)求函數(shù)表達(dá)式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、湊配法、消元法等法、換元法、湊配法、消元法等,如果如果已知函數(shù)解析式的類型已知函數(shù)解析式的類型,可用待定系數(shù)可用待定系數(shù)法法;已知復(fù)合函數(shù)已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時的表達(dá)式時,可可用換元法用換元法,這時要注意這時要注意“元元”的范圍的范圍;當(dāng)當(dāng)fg(x)的解析式易于拼湊變形的解析式易于拼湊變形,能用能用g(x)表示出來時表示出來時,可用湊配法可用湊配法;若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式,則常用解方則常用解方程組程組,消元的方法求出解析式消元的方法求出解析式.例例2【解解】(1)設(shè)設(shè)f(x)axb(a0),則則a3xa2babb8x7.a2,b1.故故f(x)的解析式為的解析式為f(x)2x1.【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】題題(1)的求解是利用待的求解是利用待定系數(shù)法定系數(shù)法,待定系數(shù)法的關(guān)鍵是設(shè)出某待定系數(shù)法的關(guān)鍵是設(shè)出某種類型的函數(shù)種類型的函數(shù),列出方程組求待定系數(shù)列出方程組求待定系數(shù);題題(2)的求解是利用換元法的求解是利用換元法,做題時易忽做題時易忽略略x的范圍的范圍.互動探究互動探究例例2(1)中中f(x)變?yōu)槎魏瘮?shù)變?yōu)槎魏瘮?shù),且滿足且滿足f(0)0,f(x1)f(x)x1,求求f(x).解：設(shè)解：設(shè)f(x)ax2bxc(a0),由由f(0)0知知c0,f(x)ax2bx.又又f(x1)f(x)x1,所以所以a(x1)2b(x1)ax2bxx1,即即ax2(2ab)xabax2(b1)x1,考點(diǎn)考點(diǎn)3函數(shù)的三種表示方法函數(shù)的三種表示方法用解析式表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：函數(shù)用解析式表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：函數(shù)關(guān)系清楚關(guān)系清楚,容易根據(jù)自變量的值求出對容易根據(jù)自變量的值求出對應(yīng)的函數(shù)值應(yīng)的函數(shù)值,便于用解析式來研究函數(shù)便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì).用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：能直用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：能直觀形象地表示出函數(shù)值的變化情況觀形象地表示出函數(shù)值的變化情況.用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：不必用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：不必通過計算就知道自變量取某些值時函數(shù)通過計算就知道自變量取某些值時函數(shù)的對應(yīng)值的對應(yīng)值. 已知某人在已知某人在2011年年1月份至月份至6月月份的月經(jīng)濟(jì)收入如下：份的月經(jīng)濟(jì)收入如下：1月份為月份為1000元元,從從2月份起每月的月經(jīng)濟(jì)收入是其上一月份起每月的月經(jīng)濟(jì)收入是其上一個月的個月的2倍倍,用列表、圖象、解析式三種用列表、圖象、解析式三種不同形式來表示該人不同形式來表示該人1月份至月份至6月份的月月份的月經(jīng)濟(jì)收入經(jīng)濟(jì)收入y(元元)與月份序號與月份序號x的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系,并指出該函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法并指出該函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則則.例例3【思路分析思路分析】月份為自變量月份為自變量,月工資月工資為函數(shù)值為函數(shù)值.【解解】列表：列表：圖象：圖象：x123456y10002000400080001600032000解 析 式 ：解 析 式 ： y 1 0 0 0 2x1(x1,2,3,4,5,6).其中定義域?yàn)槠渲卸x域?yàn)?,2,3,4,5,6,值域?yàn)橹涤驗(yàn)?000,2000,4000,8000,16000,32000.對應(yīng)法則對應(yīng)法則f：xy10002x1.【規(guī)律小結(jié)規(guī)律小結(jié)】列表法、圖象法和解析列表法、圖象法和解析式法是表示函數(shù)的三種方法式法是表示函數(shù)的三種方法,其實(shí)質(zhì)是其實(shí)質(zhì)是一樣的一樣的,只是形式上的區(qū)別只是形式上的區(qū)別,列表和圖象列表和圖象更加直觀更加直觀,解析式更適合計算和應(yīng)用解析式更適合計算和應(yīng)用.在在對待不同題目時對待不同題目時,選擇不同的表示方法選擇不同的表示方法,因?yàn)橛械暮瘮?shù)根本寫不出其解析式因?yàn)橛械暮瘮?shù)根本寫不出其解析式.考點(diǎn)考點(diǎn)4分段函數(shù)及實(shí)際應(yīng)用分段函數(shù)及實(shí)際應(yīng)用分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù).處理分段函數(shù)問題時處理分段函數(shù)問題時,首先要確定自變首先要確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間段量的取值屬于哪個區(qū)間段,再選取相應(yīng)再選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系,離開定義域討論問題是產(chǎn)離開定義域討論問題是產(chǎn)生錯誤的重要原因之一生錯誤的重要原因之一. 甲、乙兩地相距甲、乙兩地相距150千米千米,某貨車某貨車從甲地運(yùn)送貨物到乙地從甲地運(yùn)送貨物到乙地,以每小時以每小時50千千米的速度行駛米的速度行駛,到達(dá)乙地后將貨物卸下到達(dá)乙地后將貨物卸下用了用了1小時小時,然后以每小時然后以每小時60千米的速度千米的速度返回甲地返回甲地.從貨車離開甲地起到貨車返從貨車離開甲地起到貨車返回甲地為止回甲地為止,設(shè)貨車離開甲地的時間和設(shè)貨車離開甲地的時間和距離分別為距離分別為x小時和小時和y千米千米,試寫出試寫出y與與x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.例例4【思路分析思路分析】根據(jù)已知條件列出等根據(jù)已知條件列出等式式,這個含有這個含有x、y的方程就是所求的函的方程就是所求的函數(shù)數(shù),這是一個分段函數(shù)這是一個分段函數(shù),要注意距離與時要注意距離與時間的變化關(guān)系間的變化關(guān)系.【解解】由題意由題意,可知貨車從甲地前往可知貨車從甲地前往乙地用了乙地用了3小時小時,而從乙地返回甲地用了而從乙地返回甲地用了2.5小時小時.(1)當(dāng)貨車從甲地前往乙地時當(dāng)貨車從甲地前往乙地時,由題意由題意,可知可知y50 x(0 x3);(2)當(dāng)貨車卸貨時當(dāng)貨車卸貨時,y150(3x4);【思維總結(jié)思維總結(jié)】(1)由實(shí)際問題確定的由實(shí)際問題確定的函數(shù)函數(shù),不僅要確定函數(shù)的解析式不僅要確定函數(shù)的解析式,同時要同時要求出函數(shù)的定義域求出函數(shù)的定義域(一般情況下一般情況下,都要受都要受實(shí)際問題的約束實(shí)際問題的約束).(2)根據(jù)實(shí)際問題中自變量所表示的具根據(jù)實(shí)際問題中自變量所表示的具體數(shù)量的含義來確定函數(shù)的定義域體數(shù)量的含義來確定函數(shù)的定義域,使使之必須有實(shí)際意義之必須有實(shí)際意義.方法技巧方法技巧1.若兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系一致若兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系一致,并且定義并且定義域相同域相同,則兩個函數(shù)為同一函數(shù)則兩個函數(shù)為同一函數(shù).2.函數(shù)有三種表示方法函數(shù)有三種表示方法列表法、圖列表法、圖象法和解析法象法和解析法,三者之間是可以互相轉(zhuǎn)三者之間是可以互相轉(zhuǎn)化的化的;求函數(shù)解析式比較常見的方法有代入法、求函數(shù)解析式比較常見的方法有代入法、換元法、待定系數(shù)法、湊配法和解函數(shù)換元法、待定系數(shù)法、湊配法和解函數(shù)的方程等的方程等,特別要注意將實(shí)際問題化歸特別要注意將實(shí)際問題化歸為函數(shù)問題為函數(shù)問題,通過設(shè)自變量通過設(shè)自變量,寫出函數(shù)的寫出函數(shù)的解析式并明確定義域解析式并明確定義域,還應(yīng)注意使用待還應(yīng)注意使用待定系數(shù)法時函數(shù)解析式的設(shè)法定系數(shù)法時函數(shù)解析式的設(shè)法,針對近針對近幾年的高考分段函數(shù)問題要引起足夠的幾年的高考分段函數(shù)問題要引起足夠的重視重視.失誤防范失誤防范1.判斷對應(yīng)是否為映射判斷對應(yīng)是否為映射,即看即看A中元素中元素是否滿足是否滿足“每元有象每元有象”和和“且象唯一且象唯一”.但但要注意：要注意：(1)A中不同元素可有相同的中不同元素可有相同的象象,即允許多對一即允許多對一,但不允許一對但不允許一對多多;(2)B中元素可無原象中元素可無原象,即即B中元素可中元素可有剩余有剩余.2.建立實(shí)際問題的函數(shù)式建立實(shí)際問題的函數(shù)式,首先要選定變首先要選定變量量,而后尋找等量關(guān)系而后尋找等量關(guān)系,求函數(shù)解析式求函數(shù)解析式,但但要根據(jù)實(shí)際問題確定定義域要根據(jù)實(shí)際問題確定定義域.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測命題預(yù)測通過對近幾年高考試題的分析看出通過對近幾年高考試題的分析看出,本本課時內(nèi)容也是高考考查的重點(diǎn)之一課時內(nèi)容也是高考考查的重點(diǎn)之一,題題型是選擇題、填空題型是選擇題、填空題.主要考查函數(shù)的主要考查函數(shù)的概念、解析式及分段函數(shù)等概念、解析式及分段函數(shù)等,試題難度試題難度較小較小.預(yù)測預(yù)測2013年高考仍將對函數(shù)的三種表年高考仍將對函數(shù)的三種表示方法及分段函數(shù)作為考查重點(diǎn)示方法及分段函數(shù)作為考查重點(diǎn),體現(xiàn)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與分類討論思想數(shù)形結(jié)合與分類討論思想.典例透析典例透析 例例【答案答案】C