(4)(4)圖形的相似圖形的相似 了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比1 1成比例線段，通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解成比例線段，通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割。黃金分割。 通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方。的平方。 了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)三角形相似的條件。三角形相似的條件。 了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小。圖形放大或縮小。 通過典型實(shí)例觀察和認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活通過典型實(shí)例觀察和認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題些實(shí)際問題( (如利用相似測量旗桿的高如利用相似測量旗桿的高度度) )。通過實(shí)例認(rèn)識銳角三角函數(shù)通過實(shí)例認(rèn)識銳角三角函數(shù)(sinA(sinA，cosAcosA，tanAtanA) )，知道，知道30300 0，45450 0，60600 0角的角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角。求它對應(yīng)的銳角。 運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實(shí)際問題。關(guān)的簡單實(shí)際問題。 (1) (1)認(rèn)識并能畫出平面直角坐標(biāo)系；認(rèn)識并能畫出平面直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描在給定的直角坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)。出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)。 參見例參見例44 (2) (2)能在方格紙上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲茉诜礁窦埳辖⑦m當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。標(biāo)系，描述物體的位置。 參見例參見例55 (3) (3)在同一直角坐標(biāo)系中，感受圖形在同一直角坐標(biāo)系中，感受圖形變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化。變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化。 參見例參見例66 (4) (4)靈活運(yùn)用不同的方式確定物體的靈活運(yùn)用不同的方式確定物體的位置。位置。 參見例參見例77 3 3圖形與坐標(biāo)圖形與坐標(biāo) 其中其中a,ba,b分別叫做這個(gè)分別叫做這個(gè)線段比線段比的的前項(xiàng)前項(xiàng)和和后項(xiàng)后項(xiàng). . 一、線段的比一、線段的比 l1.1.如果選用一個(gè)長度單位量得如果選用一個(gè)長度單位量得兩條線段兩條線段a a 、b b 的長度分別為的長度分別為m m 、n n ，那么，那么兩條線段的比為兩條線段的比為a a：b=mb=m：n n或或nmba.,bkakbaknm或那么表示成比值如果把2.2.在四條線段中在四條線段中, ,如果其中兩條線段的如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比比等于另外兩條線段的比, ,那么這四條那么這四條線段叫做線段叫做成比例線段成比例線段, ,簡稱簡稱比例線段比例線段 四條線段四條線段a,b,c,da,b,c,d成比例成比例, ,記作記作ab=cd.ab=cd.或或 其中其中a,da,d為為比例外項(xiàng)比例外項(xiàng);b,c;b,c為為比例內(nèi)比例內(nèi)項(xiàng)項(xiàng). .d d稱為稱為a,b,ca,b,c的的第四比例項(xiàng)第四比例項(xiàng).dcba特殊情況：若作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條線段相同特殊情況：若作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條線段相同, ,即即ab=bc(ab=bc(或表示為或表示為b b2 2=ac=ac),),則線段則線段b b叫叫a,ca,c的的比例中項(xiàng)比例中項(xiàng)3.3.比例基本性質(zhì)比例基本性質(zhì).,ddcbbadcba那么如果比例的靈活變形可助你達(dá)到希望的顛峰比例的靈活變形可助你達(dá)到希望的顛峰: : 橫豎、上下都可比，惟有交叉只能乘橫豎、上下都可比，惟有交叉只能乘. .,nmfedcba如果5.5.等比性質(zhì)等比性質(zhì): :.bcaddcba那么如果.,dcbabcad那么如果.0nfdbbanfdbmeca那么4.4.合比性質(zhì)合比性質(zhì): :l6.6.黃金分割黃金分割如圖如圖4-5,4-5,點(diǎn)點(diǎn)C C把線段把線段ABAB分成兩條線段分成兩條線段ACAC和和BC,BC,如果如果 那么稱線段那么稱線段ABAB被點(diǎn)被點(diǎn)C C黃黃金分割金分割, ,點(diǎn)點(diǎn)C C叫做線段叫做線段ABAB的的黃金分割點(diǎn)黃金分割點(diǎn), ,ACAC與與ABAB的比的比 ( (或或BCBC與與ACAC的比的比 ) )稱為稱為黃金比黃金比. .,ACBCABACA AB BC CABACACBC.0618215ACBCABAC黃金比l1.1.形狀相同的圖形形狀相同的圖形l表象：大小不等，表象：大小不等，形狀相同形狀相同. .l實(shí)質(zhì)：各實(shí)質(zhì)：各對應(yīng)角對應(yīng)角相等、各相等、各對應(yīng)邊對應(yīng)邊成比例成比例. .l2.2.相似多邊形相似多邊形l各對應(yīng)角相等、各對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形各對應(yīng)角相等、各對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做叫做相似多邊形相似多邊形. .相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相相似比似比( (相似比與敘述的順序有關(guān)相似比與敘述的順序有關(guān)) ). .l3.3.相似多邊形性質(zhì)：相似多邊形性質(zhì)：l相似多邊形的相似多邊形的對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等, ,對應(yīng)邊成比例對應(yīng)邊成比例. .l相似多邊形周長的比相似多邊形周長的比等于相似比等于相似比.二、二、l相似多邊形相似多邊形對應(yīng)對角線對應(yīng)對角線的比的比等于相似比等于相似比. .w相似多邊形相似多邊形對應(yīng)三角形對應(yīng)三角形相似相似, ,且相似比等于相似多邊形的且相似比等于相似多邊形的相似相似比比. .w相似多邊形相似多邊形對應(yīng)三角形面積對應(yīng)三角形面積的比的比等于相似多邊形的等于相似多邊形的相似比的相似比的平方平方. .w相似多邊形相似多邊形面積的比面積的比等于相等于相似比的平方似比的平方. .l4.4.多邊多邊形與三角形形與三角形l三角形是邊數(shù)最少的多邊形三角形是邊數(shù)最少的多邊形. .l相似三角形可類比相似多邊形來學(xué)習(xí)相似三角形可類比相似多邊形來學(xué)習(xí). .l5.5.相似三角形相似三角形l三個(gè)對應(yīng)角相等、三條對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三三個(gè)對應(yīng)角相等、三條對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做角形叫做相似三角形相似三角形. .相似三角形對應(yīng)邊的比叫相似三角形對應(yīng)邊的比叫做做相似比相似比( (相似比與敘述的順序有關(guān)相似比與敘述的順序有關(guān)).).l6.6.相似三角形性質(zhì)：相似三角形性質(zhì)：l相似三角形的相似三角形的對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等, ,對應(yīng)邊成比例對應(yīng)邊成比例. .l相似三角形對應(yīng)相似三角形對應(yīng)中線中線的比的比,對應(yīng)角對應(yīng)角平分線平分線的比，的比，對應(yīng)對應(yīng)高高的比的比,對應(yīng)對應(yīng)周長周長的比都的比都等于相似比等于相似比.l相似三角形面積的比相似三角形面積的比等于相似比的平方等于相似比的平方.l7.7.相似相似三角形與三角形與全等全等三角形的三角形的關(guān)系關(guān)系：l相似比等于相似比等于1 1的兩個(gè)三角形全等的兩個(gè)三角形全等. .l若若ADEADEABC,ABC,則則lDAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.DAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.BCDEACAEABADl8.8.兩個(gè)極具代表性的兩個(gè)極具代表性的益智益智“模型模型”： “ “A”A”型型和和“X” X” 型相似三角形型相似三角形. .ABCDEEDCBAl1.1.定理定理 兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似. .l2.2.推論推論1 1 平行于三角形一邊直線截其它兩邊平行于三角形一邊直線截其它兩邊( (或或其延長線其延長線),),所截得的三角形與原三角形相似所截得的三角形與原三角形相似; ;l如圖如圖: :如果如果DEBC,DEBC,那么那么A A三、三、三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法;ECAEDBAD那么l2.2.推論推論1 1 平行于三角形一邊直線截其它兩邊平行于三角形一邊直線截其它兩邊( (或或其延長線其延長線),),所截得的三角形與原三角形相似所截得的三角形與原三角形相似; ;l如圖如圖: :如果如果DEBC,DEBC,那么那么A Al3.3.推論推論2 2 平行于三角形一邊直線截其它兩邊平行于三角形一邊直線截其它兩邊( (或或其延長線其延長線),),所得的對應(yīng)線段成比例所得的對應(yīng)線段成比例. .如果如果DEBCDEBC，;ACAEABAD或;AEECADDB或.ACECABDB或ABCDEADEBCEDCBAl4.4.定理定理 三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似. .l5.5.定理定理 兩邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例, ,且夾角相等的兩個(gè)三且夾角相等的兩個(gè)三角形相似角形相似; ;l6.6.定理定理 斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似角形相似. .l7.7.模型模型“雙垂直雙垂直”三角形三角形;2ABADAC;2ABBDBC;2DBADCD.CDABBCACABCDlACDACDCBDCBDABC.ABC.l認(rèn)識結(jié)論認(rèn)識結(jié)論:A=DCB;B=ACD; :A=DCB;B=ACD; l直角三角形斜邊上的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形斜邊上的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似直角三角形與原三角形相似. .三、三、相似圖形的特例相似圖形的特例圖形的位似圖形的位似l1.1.如果兩個(gè)圖形不僅相似如果兩個(gè)圖形不僅相似, ,而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)所而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn), ,那么這樣的兩個(gè)圖形那么這樣的兩個(gè)圖形叫做叫做位似圖形位似圖形, ,這個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心位似中心, ,這時(shí)的相似這時(shí)的相似比又稱為比又稱為位似比位似比. .l2.2.性質(zhì)：性質(zhì)：l位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比離之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似圖形如何作位似圖形( (放大放大) ). .l5.5.體會(huì)位似圖形何時(shí)為體會(huì)位似圖形何時(shí)為正像正像何時(shí)為何時(shí)為倒像倒像. .l4.4.如何作位似圖形如何作位似圖形( (縮小縮小) ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFPl6.6.如圖如圖, ,添加一個(gè)條件添加一個(gè)條件, ,使則使則ABCABCAED,AED,則這則這條件可以是條件可以是 . . l7.7.如圖所示如圖所示, ,在在ABCABC中中, ,底邊底邊BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,四邊形四邊形PQRSPQRS是矩形形是矩形形. .w(1)(1)ASRASR與與ABCABC相似嗎相似嗎? ?為什么為什么? ?w(2)(2)求矩形求矩形PQRSPQRS的邊長的邊長. .AEDCBABCSREPD Ql1.1.正切的定義正切的定義: :如圖如圖: : RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的對的對邊與鄰邊的比叫做邊與鄰邊的比叫做AA的的正切正切, ,記作記作tanAtanA, ,即即l2.2.余切的定義余切的定義: :AA的的正正切的倒數(shù)叫做切的倒數(shù)叫做AA的的余切余切, ,即即RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的鄰的鄰邊與對邊的比叫做邊與對邊的比叫做AA的的余切余切, ,記作記作cotAcotA, ,即即四、直角四、直角三角形的邊角關(guān)系三角形的邊角關(guān)系l3.3.坡面與水平面的坡面與水平面的夾角夾角()()稱為稱為坡角坡角, ,坡面的鉛直高度與水坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為平寬度的比稱為坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡度等坡度等于坡角的正切于坡角的正切. .ABCA的對邊A的鄰邊.tanACBCii的鄰邊的對邊AAtanA的對邊的鄰邊AAcotAl4.4.正弦的定義正弦的定義: :在在RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的對邊與的對邊與斜斜邊的邊的比叫做比叫做AA的的正正弦弦, ,記作記作sinAsinA, ,即即l5.5.余弦的定義余弦的定義: :在在RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的的鄰鄰邊邊與與斜斜邊的比叫做邊的比叫做AA的的余余弦弦, ,記作記作cosAcosA, ,即即l6.6.銳角銳角A A的正弦的正弦, ,余弦余弦, ,正切和余切都叫做正切和余切都叫做AA的的銳角銳角三角函數(shù)三角函數(shù). .l sinA,cosA,sinA,cosA,tanA,cotAtanA,cotA是在直角三角形中定義是在直角三角形中定義的的( (注意數(shù)形結(jié)合注意數(shù)形結(jié)合, ,構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形).).它的實(shí)質(zhì)它的實(shí)質(zhì)是一個(gè)比值其大小只與是一個(gè)比值其大小只與A A的大小有關(guān)的大小有關(guān). .ABCA的對邊A的鄰邊斜邊的對邊AsinA斜邊的對邊AcosAl7.7.互余兩角互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系：之間的三角函數(shù)關(guān)系：l sinA=cosB sinA=cosB, ,或或sinB=cosAsinB=cosA. .l一個(gè)銳角的正弦等于它的余角的余弦一個(gè)銳角的正弦等于它的余角的余弦, ,即即l cosA=sinB cosA=sinB, ,或或cosB=sinAcosB=sinA. .l一個(gè)銳角的余弦等于它的余角的正弦一個(gè)銳角的余弦等于它的余角的正弦, ,即即l tanA=cotB tanA=cotB, ,或或tanB=cotAtanB=cotA. .l一個(gè)銳角的正切等于它的余角的余切一個(gè)銳角的正切等于它的余角的余切, ,即即l cotA=tanB cotA=tanB, ,或或cotB=tanAcotB=tanA. .l一個(gè)銳角的余切等于它的余角的正切一個(gè)銳角的余切等于它的余角的正切, ,即即l8.8.同角同角之間的三角函數(shù)關(guān)系：之間的三角函數(shù)關(guān)系：l平方和關(guān)系平方和關(guān)系: :sinsin2 2A A+cos+cos2 2A A=1.=1.l. 1cottan:AA倒數(shù)關(guān)系A(chǔ)BCabc.sincotcot;cossintanAAAAAA商商的關(guān)的關(guān)系系: :l9.9.特殊角特殊角( (30300 0,45,450 0,60,600 0角角) )的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值. .l10.10.三角尺三角尺三邊之間的比值關(guān)系三邊之間的比值關(guān)系: :特殊角的三角函數(shù)值表特殊角的三角函數(shù)值表21233332222112321333300600450450321211l11.11.三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算：三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算：l由銳角求三角函數(shù)值由銳角求三角函數(shù)值. .l由銳角的三角函數(shù)值由銳角的三角函數(shù)值反求銳角反求銳角. .l運(yùn)用運(yùn)用特殊角特殊角( (30300 0,45,450 0,60,600 0角角) )的三角函數(shù)值和的三角函數(shù)值和計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算. .l由于計(jì)算器的型號與功能的不同由于計(jì)算器的型號與功能的不同, ,按相應(yīng)的按相應(yīng)的說明書使用說明書使用. .l12.12.解直角三角形：解直角三角形：l工具工具: : a2+b2=c2. A+B=900.ll類型類型: :已知一邊一角解三角形已知一邊一角解三角形; ;已知兩邊解已知兩邊解三角形三角形. . ,cossincaBA,sincoscbBA,cottanbaBA.tancotabBAbABCac13.13.幾種模型：根據(jù)圖中所示數(shù)值求幾種模型：根據(jù)圖中所示數(shù)值求ADADw1.w5.w4.w14.14.三角函數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)的應(yīng)用w(1)(1)解直角三角形應(yīng)用題解直角三角形應(yīng)用題; ;w(2)(2)測量物體的高度測量物體的高度. .ABCaDCBAD20300450w3.600450ABC20D300600ABCD20ABC4503004cmDw2.