第6講 離散型隨機變量的均值與方差考綱要求考點分布考情風向標理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單問題2011 年新課標卷考查分布列，數(shù)學期望及方差；2012 年新課標卷考查分布列，數(shù)學期望及方差；2013 年新課標卷考查概率分布列與數(shù)學期望等；2014 年新課標卷考查正態(tài)分布及數(shù)學期望；2015 年新課標卷考查互斥事件、獨立重復試驗及概率公式高考中常將相互獨立事件、互斥事件、隨機變量的分布列、期望與方差等知識放在一起在解答題中考查，主要考查運用概率知識解決實際問題的能力1.離散型隨機變量的均值和方差一般地，若離散型隨機變量 X 的分布列為：則稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.Xx1x2xixnPp1p2pipn2.均值和方差的性質(zhì)設 a，b 是常數(shù)，隨機變量 X，Y 滿足 YaXb，aE(X)b則 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)a2D(X).3.兩點分布及二項分布的均值和方差pnp(1)若 X 服從兩點分布，則 E(X)_，D(X)p(1p).(2)若 XB(n，p)，則 E(X)_，D(X)np(1p).101P0.50.30.21.已知的分布列為則 E()()DA.0B.0.2C.1D.0.3123P0.40.20.42.已知隨機變量的分布列是：則 D()()BA.0.6B.0.8C.1D.1.2解析：E()10.420.230.42，則D()(12)20.4(22)20.2(32)20.40.8.01PpqD3.已知的分布列為：A.E()p，D()pqB.E()p，D()p2C.E()q，D()q2D.E()1p，D()pp2其中 p(0,1)，則( )C考點 1 離散型隨機變量的期望例 1：(2015 年福建)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn) 3 次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的 6 個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇 1 個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學期望.X123P解：(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為 A，(2)依題意，得 X 所有可能的取值是 1,2,3.所以 X 的分布列為161623【規(guī)律方法】(1)一般地，若離散型隨機變量X 的分布列為：則稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)求數(shù)學期望(均值)的關(guān)鍵是求出其分布列.若已知離散型分布列，可直接套用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn求其均值.隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，只要找準隨機變量及相應的概率即可計算.Xx1x2xixnPp1p2pipn【互動探究】1.(2012 年大綱)乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在 10 平前，一方連續(xù)發(fā)球 2 次后，對方再連續(xù)發(fā)球 2 次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得 1 分，負方得 0 分.設在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得 1 分的概率為 0.6，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.(1)求開始第 4 次發(fā)球時，甲、乙的比分為 1 比 2 的概率；(2)表示開始第 4 次發(fā)球時乙的得分，求的期望.考點 2 離散型隨機變量的方差例 2：(2013 年浙江)設袋子中裝有 a 個紅球，b 個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出 1 個紅球得 1 分，取出 1 個黃球 2 分，取出 1 個藍球得 3 分.(1)當 a3，b2，c1 時，從該袋子中任取 2 個球(有放回，且每個球取到的機會均等)，記隨機變量為取出這 2 個球所得分數(shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取 1 個球(且每個球取到的機會均等)，記bc.解：(1)由已知，得當兩次取出的球分別是紅紅時，2，當兩次取出的球分別是紅黃，或黃紅時，3，當兩次取出的球分別是黃黃，紅藍，或藍紅時，4，當兩次取出的球分別是藍藍時，6，所以的分布列是：當兩次取出的球分別是黃藍，或藍黃時，5，(2)由已知，得有三種取值即 1,2,3，所以的分布列是：故 abc321.【規(guī)律方法】(1)一般地，若離散型隨機變量X 的分布列為：xnE(X)2pn為隨機變量X的方差(2)若X 是隨機變量，且YaXb，其中a，b 是常數(shù)，則Y 也是隨機變量，則 E(Y)E(aXb)aE(X)b，D(Y)D(aXb)a2D(X).(3)均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的取值在均值周圍的變化，方差大，說明隨機變量取值較分散；方差小，說明取值較集中.Xx1x2xixnPp1p2pipn【互動探究】考點 3 二項分布的期望和方差例 3：某商店根據(jù)以往某種玩具的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖 9-6-1.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.圖 9-6-1(1)估計日銷售量的眾數(shù)；(2)求在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于100 個且另 1 天的日銷售量低于 50 個的概率；(3)用 X 表示在未來 3 天里日銷售量不低于 100 個的天數(shù)，求隨機變量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X).(2)記事件 A1：“日銷售量不低于 100 個”， 事件 A2：“日銷售量低于 50 個”，事件 B：“在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2天的日銷售量都不低于 100 個且另 1 天的日銷售量低于 50 個”.則 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(3)X 的可能取值為 0,1,2,3.X0123P0.0640.2880.4320.216分布列為：因為 XB(3,0.6)，所以期望 E(X)30.61.8，方差 D(X)30.6(10.6)0.72.【規(guī)律方法】若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).【互動探究】3.(2013 年福建)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品.(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為 X，求 X3 的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計的得分的數(shù)學期望較大？思想與方法 利用分類討論思想求數(shù)學期望例題：(2014 年湖北)計劃在某水庫建一座至多安裝 3 臺發(fā)電機的水電站，過去 50 年的水文資料顯示，水的年入流量 X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超過 120 的年份有 35 年，超過 120 的年份有 5 年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.年入流量 X40X120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123(1)求在未來 4 年中，至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量 X 限制，并有如下關(guān)系：若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為 5000 萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損 800 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？(2)記水電站年總利潤為 Y 萬元.安裝 1 臺發(fā)電機的情形.由于水庫年入流量總大于40，故1 臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤 Y5000，E(Y)500015000；安裝 2 臺發(fā)電機的情形.依題意，當 40X80 時，1 臺發(fā)電機運行，此時 Y5000800 4200 ，因此 P(Y 4200) P(40X80) p1 0.2 ；當X80 時，2 臺發(fā)電機運行，此時 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.Y420010 000P0.20.8由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)42000.210 0000.88840；安裝 3 臺發(fā)電機的情形.依題意，當40X80時，1臺發(fā)電機運行，此時Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120時，3臺發(fā)電機運行，此時Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.Y3400920015 000P0.20.70.1由此得 Y 的分布列如下：所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620.綜上所述，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機 2 臺.【規(guī)律方法】本題考查學生在不同背景下遷移知識的能力，關(guān)鍵在于如果迅速、準確將信息提取、加工，構(gòu)建數(shù)學模型，化歸為數(shù)學期望問題.1.古典概型中，A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的條件概率公式為，其中，在實際應用中 P(B|A) n（AB）n（A）是一種重要的求條件概率的方法.2.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別.相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為 P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為 P(AB)P(A)P(B).3.二項分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實際應用和理論分析中都有重要的地位.(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了 n 次.(2)對于二項分布，如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在 n 次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生 k 次的概率是是 n 次獨立重復試驗中事件 A 發(fā)生 k 次的概率，p 與(1p)的位置不能互換，否則該式子表示的意義就發(fā)生了改變，變?yōu)槭录嗀 有 k 次不發(fā)生的概率了.