第三節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考綱傳真(教師用書獨具)1.能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性(對應學生用書第51頁)基礎知識填充1用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)ysin x，x0,2圖像的五個關鍵點是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函數(shù)ycos x，x0,2圖像的五個關鍵點是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖像定義域RR值域1,11,1R單調(diào)性遞增區(qū)間：，kZ，遞減區(qū)間：，kZ遞增區(qū)間：2k，2k，kZ，遞減區(qū)間：2k，2k，kZ遞增區(qū)間，kZ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(k，0)，kZ對稱中心，kZ對稱中心，kZ對稱軸xk(kZ)對稱軸xk(kZ)周期性22知識拓展1.若f(x)Asin(x)(A0，0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)2f(x)Acos(x)(A0，0)(1)f(x)為奇函數(shù)的充要條件：k，kZ.(2)f(x)為偶函數(shù)的充要條件：k，kZ.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)常數(shù)函數(shù)f(x)a是周期函數(shù)，它沒有最小正周期()(2)函數(shù)ysin x的圖像關于點(k，0)(kZ)中心對稱()(3)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)()(4)已知yksin x1，xR，則y的最大值為k1.()(5)ysin |x|是偶函數(shù)()答案(1)(2)(3)×(4)×(5)2(20xx·全國卷)函數(shù)f(x)sin的最小正周期為()A4B2C DC函數(shù)f(x)sin的最小正周期T.故選C3函數(shù)ytan 2x的定義域是()ABCDD由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定義域為.4函數(shù)ysin，x2，2的單調(diào)遞增區(qū)間是()A B和C DC令zx，函數(shù)ysin z的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，由2kx2k得4kx4k，而x2，2，故其單調(diào)遞增區(qū)間是，故選C5(教材改編)函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為_由已知x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.(對應學生用書第52頁)三角函數(shù)的定義域與值域(1)(20xx·全國卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cos的最大值為()A4B5C6D7(2)函數(shù)ylg sin x的定義域為_(1)B(2)(1)f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x2，又sin x1,1，當sin x1時，f(x)取得最大值5.故選B(2)要使函數(shù)有意義，則有即解得(kZ)，2kx2k，kZ.函數(shù)的定義域為.規(guī)律方法1.三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解.2.求三角函數(shù)最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解.(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域.(3)換元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉化為二次函數(shù)求解.跟蹤訓練(1)已知函數(shù)y2cos x的定義域為，值域為a，b，則ba的值是()A2 B3C2D2(2)函數(shù)ysin xcos xsin x cos x，x0，的值域為_(1)B(2)1,1(1)x，cos x，y2cos x的值域為2,1，ba3.(2)設tsin xcos x，則t2sin2xcos2x2sin xcos x，即sin xcos x，且1t.yt(t1)21.當t1時，ymax1；當t1時，ymin1.函數(shù)的值域為1,1三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)f(x)sin的單調(diào)減區(qū)間為_. 【導學號：79140111】(2)若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_.(1)(kZ)(2)(1)由已知函數(shù)為ysin，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求ysin的單調(diào)增區(qū)間即可由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)(2)f(x)sin x(0)過原點，當0x，即0x時，ysin x是增函數(shù)；當x，即x時，ysin x是減函數(shù)由f(x)sin x(0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知，.規(guī)律方法1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)代換法：求形如yAsin(x)(0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解.若0，應先用誘導公式化x的系數(shù)為正數(shù)，以防止把單調(diào)性弄錯.(2)圖像法：畫出三角函數(shù)的圖像，利用圖像求它的單調(diào)區(qū)間.2.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關系求解.跟蹤訓練(1)函數(shù)y|tan x|在上的單調(diào)減區(qū)間為_. 【導學號：79140112】(2)已知函數(shù)f(x)sincos 2x，則f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()ABC D(1)和(2)A(1)如圖，觀察圖像可知，y|tan x|在上的單調(diào)減區(qū)間為和.(2)由題意得f(x)sincos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，令k0，得函數(shù)yf(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，故選A三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性角度1三角函數(shù)的奇偶性與周期性(1)在函數(shù)：ycos|2x|；y|cos x|；ycos2x；ytan中，最小正周期為的所有函數(shù)為()ABCD(2)函數(shù)y12sin2是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)(1)C(2)A(1)ycos|2x|cos 2x，T.由圖像知，函數(shù)的周期T.T.T.綜上可知，最小正周期為的所有函數(shù)為.(2)y12sin2cos 2sin 2x，所以f(x)是最小正周期為的奇函數(shù)角度2三角函數(shù)的對稱性(1)(20xx·東北三省四市模擬(一)已知函數(shù)f(x)2sin(0)的周期為，則下列選項正確的是()A函數(shù)f(x)的圖像關于點對稱B函數(shù)f(x)的圖像關于點對稱C函數(shù)f(x)的圖像關于直線x對稱D函數(shù)f(x)的圖像關于直線x對稱(2)已知0,0，直線x和x是函數(shù)f(x)sin(x)圖像的兩條相鄰的對稱軸，則()A BC D(1)B(2)A(1)因為2，所以f(x)2sin.由2xk(kZ)，得x(kZ)，當k0時，x，所以函數(shù)f(x)的圖像關于點對稱，故選B(2)由題意得2，1，f(x)sin(x)，k(kZ)，k(kZ)，又0，故選A規(guī)律方法1.函數(shù)f(x)Asin(x)的奇偶性與對稱性(1)若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當x0時，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當x0時，f(x)0.(2)對于函數(shù)yAsin(x)，其對稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線xx0或點(x0，0)是否是函數(shù)的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷.2.求三角函數(shù)周期的方法：(1)利用周期函數(shù)的定義.(2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.(3)借助函數(shù)的圖像.跟蹤訓練(1)(20xx·全國卷)設函數(shù)f(x)cos，則下列結論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖像關于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在單調(diào)遞減(2)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖像關于點中心對稱，那么|的最小值為()A BC D(1)D(2)A(1)A項，因為f(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個周期為2，A項正確B項，因為f(x)cos圖像的對稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖像關于直線x對稱，B項正確C項，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當k1時，x，所以f(x)的一個零點為x，C項正確D項，因為f(x)cos的遞減區(qū)間為(kZ)，遞增區(qū)間為(kZ)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤故選D(2)由題意得3cos3cos3cos0，所以k(kZ)，k(kZ)，取k0，得|的最小值為.故選A