第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.理解以下判定定理.如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.2.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線和該直線平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題2013 年新課標(biāo)卷第 18 題考查線面平行及幾何體的體積計(jì)算1.在高考中，線、面平行關(guān)系的考查僅次于垂直關(guān)系的考查，是高考重點(diǎn)內(nèi)容，在要求上不高，屬容易題，平時(shí)訓(xùn)練難度不宜過(guò)大，抓好判定定理的掌握與應(yīng)用即可.2.學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問(wèn)題、線面問(wèn)題、面面問(wèn)題”的互相轉(zhuǎn)化，牢記解決問(wèn)題的根源在“定理”直線與平面的位置關(guān)系在平面內(nèi)無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)相交1 個(gè)交點(diǎn)平行0 個(gè)交點(diǎn)定義若一條直線和平面平行，則它們沒(méi)有公共點(diǎn)判定定理 1a ，b，且 aba判定定理 2，aa性質(zhì)定理a，a，lal平面與平面的位置關(guān)系相交無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)平行0 個(gè)交點(diǎn)定義若兩個(gè)平面平行，則它們沒(méi)有公共點(diǎn)判定定理 1a，b，abM，a，b判定定理 2a，a性質(zhì)定理 1，aa性質(zhì)定理 2，a，bab(續(xù)表)1.設(shè) AA是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與 AA平行的棱共有()A.1 條B.2 條C.3 條D.4 條2.b是平面外一條直線，下列條件中可得出b的是( )CDA.b 與內(nèi)一條直線不相交B.b 與內(nèi)兩條直線不相交C.b 與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線不相交D.b 與內(nèi)任意一條直線不相交3.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()A若直線 l 上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則 l；若直線 l 與平面平行，則 l 與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；若直線 l 與平面平行，則 l 與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)4.已知直線l，m，n及平面，下列命題中的假命題是( )DA.若 lm，mn，則 lnB.若 l，n，則 lnC.若 lm，mn，則 lnD.若 l，n，則 ln考點(diǎn) 1 直線與平面平行的判定與性質(zhì)例 1：(2013 年新課標(biāo))如圖 8-4-1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn).(1)證明：BC1平面A1CD；棱錐C-A1DE的體積.圖 8-4-1(1)證明：如圖D44，連接AC1，交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn).圖 D44又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)，故DF為三角形ABC1的中位線，故DFBC1.由于DF平面A1CD，而BC1 平面A1CD，故有BC1平面A1CD.【規(guī)律方法】證明直線a與平面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線b，使ab，如果沒(méi)有現(xiàn)成的平行線，應(yīng)依據(jù)條件作出平行線.有中點(diǎn)的常作中位線.【互動(dòng)探究】1.如圖 8-4-2，A，B 為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P 分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出 AB平面 MNP 的圖形的序號(hào)是_(寫出所有符合要求的圖形序號(hào)).圖 8-4-2解析：如圖，MNAC，NPAD，平面 MNP平面 ADBC.AB平面 MNP.如圖，假設(shè)AB平面 MNP，設(shè)BDMPQ，則 NQ 為平面 ABD 與平面MNP 的交線.ABNQ.N 為 AD 的中點(diǎn)，Q 為 BD 的中點(diǎn)，但由M，P 分別為如圖，BD 與 AC 平行且相等，四邊形ABDC 為平行四邊形.ABCD.又M，P 為棱的中點(diǎn)，MPCD.ABMP.從而可得 AB平面 MNP.如圖，假設(shè)AB平面MNP，并設(shè)直線AC平面MNPD，則有ABMD.M 為BC 中點(diǎn)，D為AC 中點(diǎn)，顯然與題設(shè)條件不符，得不到AB平面MNP.答案：考點(diǎn) 2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)例 2：(2013 年江蘇)如圖8-4-3，在三棱錐 S-ABC 中，平面SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.過(guò)點(diǎn) A 作 AFSB，垂足為F，點(diǎn) E，G 分別是棱 SA，SC 的中點(diǎn).求證：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA.圖 8-4-3證明：(1)ASAB，AFSB，F(xiàn) 是 SB 的中點(diǎn).E，F(xiàn) 分別是 SA，SB 的中點(diǎn)，EFAB.又EF 平面 ABC，AB平面 ABC，EF平面 ABC.同理，F(xiàn)G平面 ABC.又EFFGF，EF，F(xiàn)G平面 EFG，平面 EFG平面 ABC.(2)平面 SAB平面 SBC，且交線為 SB，AF平面 SAB，且 AFSB，AF平面 SBC.又BC平面 SBC，AFBC.又ABBC，ABAFA，AB，AF平面 SAB，BC平面 SAB.又SA平面 SAB，BCSA.【規(guī)律方法】證明平面與平面平行，就是在一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，從而將面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面平行問(wèn)題.【互動(dòng)探究】圖 8-4-42.如圖8-4-4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點(diǎn).求證：平面EFG平面BB1D1D.證明：E，F(xiàn) 分別為 BC，DC 的中點(diǎn)，EF 為中位線，則 EFBD.又EF 平面BB1D1D，BD平面BB1D1D，EF平面BB1D1D.連接SB，同理可證EG平面BB1D1D.又EFEGE，平面EFG平面BB1D1D.考點(diǎn) 3 線面、面面平行的綜合應(yīng)用例 3：已知有公共邊 AB 的兩個(gè)正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面內(nèi)，P，Q 分別是對(duì)角線 AE，BD 上的點(diǎn)，且 APDQ.求證：PQ平面 CBE.(1)(3)(2)圖8-4-5證明：方法一，如圖8-4-5(1)，連接AQ 并延長(zhǎng)交BC 于G，又 PQ 平面 CBE，EG平面 CBE，PQ平面 CBE.CDAB，AEBD，PEBQ，PKQH.四邊形 PQHK 是平行四邊形.PQKH.又PQ 平面 CBE，KH平面 CBE，PQ平面 CBE.方法三，如圖 8-4-5(3)，過(guò)點(diǎn) P 作 POEB，連接 OQ，平面 POQ平面 CBE.又PQ 平面 CBE，PQ平面 POQ，PQ平面 CBE.【規(guī)律方法】證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行，方法一是作三角形得到的；方法二是通過(guò)作平行四邊形得到在平面內(nèi)的一條直線KH；方法三利用了面面平行的性質(zhì)定理.3.(2015 年安徽)已知 m，n 是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A.若，垂直于同一平面，則與平行B.若 m，n 平行于同一平面，則 m 與 n 平行C.若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D.若 m，n 不平行，則 m 與 n 不可能垂直于同一平面【互動(dòng)探究】答案：D解析：若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故A不正確；若m，n平行于同一平面，則m，n可以平行、重合、相交、異面，故B不正確；若，不平行，但平面內(nèi)會(huì)存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；其逆否命題為“若m與n垂直于同一平面，則m，n平行”是真命題，故D項(xiàng)正確.故選D.難點(diǎn)突破立體幾何中的探究性問(wèn)題一例題：(2014 年四川)在如圖 8-4-6 所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.(1)若 ACBC，證明：直線 BC平面ACC1A1；(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，則在線段 AB 上是否存在一點(diǎn) M，使直線 DE平面 A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論.圖 8-4-6解：(1)四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，AA1AB，AA1AC.AB，AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，AA1平面ABC.直線BC平面ABC，AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC為平面ACC1A1內(nèi)的兩條相交直線，BC平面ACC1A1.(2)如圖8-4-7，取線段AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點(diǎn).圖 8-4-7由已知，O 為 AC1 的中點(diǎn).如圖 8-4-7，連接 MD，OE，則 MD，OE 分別為ABC，ACC1 的中位線.連接 OM，從而四邊形 MDEO 為平行四邊形，則 DEMO.直線DE 平面A1MC，MO平面A1MC，直線DE平面A1MC.即線段 AB 上存在一點(diǎn) M(線段 AB 的中點(diǎn))，使得直線DE平面 A1MC.【規(guī)律方法】解決探究性問(wèn)題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在.而對(duì)于探求點(diǎn)的問(wèn)題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明.1.直線與平面平行判定定理要具備三個(gè)條件：(1)直線 a 在平面外；(2)直線 b 在平面內(nèi)；(3)直線 a，b 平行，三個(gè)條件缺一不可，在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線 a 不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤；平面與平面平行判定定理“如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行”，必須注意“相交”的條件.2.直線與平面平行的性質(zhì)定理：線面平行，則線線平行.要注意后面線線平行的意義：一條為平面外的直線，另一條為過(guò)平面外直線的平面與已知平面的交線.對(duì)于本定理要注意避免“一條直線平行于平面，就平行于平面內(nèi)的任何一條直線”的錯(cuò)誤.3.利用線面平行的判定定理時(shí)經(jīng)常要作輔助線，利用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)經(jīng)常要作輔助面，無(wú)論作輔助線還是輔助面，都得有理有據(jù)，不能隨意去作，如果已知條件中出現(xiàn)中點(diǎn)的話，中位線是首選.4.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”.