第二節(jié)第二節(jié) 平面向量的基本定理平面向量的基本定理及坐標表示及坐標表示基礎梳理基礎梳理1.平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內的兩個 的向量,那么對于這一平面內的任意向量a , 一對實數(shù)1,2,使a = .其中 ,叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解一個平面向量用一組基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我們稱它為向量a的分解.當e1,e2所在直線 時,這種分解稱為向量a的正交分解.不共線有且只有1e1+2e2不共線的向量e1,e2互相垂直(3)平面向量的坐標表示一般地,對于向量a,當它的起點移至原點O時,其終點的坐標(x,y)稱為向量a的(直角)坐標,記作 .若分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,則a=x i+y j.2. 平面向量的坐標運算(1)加法、減法、數(shù)乘運算向量aba+baba坐標(x1,y1)(x2,y2)a=(x,y)（x1+x2,y1+y2) （x1-x2,y1-y2）(x1, y1)(2)向量坐標的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2x1,y2y1),即一個向量的坐標等于該向量 的坐標減去 的坐標.(3)平面向量中平行(共線)向量的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,則a與b共線 b= , .AB 終點始點ax1y2-x2y1=0基礎達標基礎達標1.(必修4P73練習5改編)已知A(2,3),B(5,3),a=(x+1,x-2y)與 相等，則實數(shù)x,y的值分別是 .2. 已知a=(-2,3),b=(1,5),則3a+b= .3. (2011湖南雅禮中學月考)已知點G是ABC的重心， (,R),那么+= .4. (必修4P75練習1改編)向量a=(2,5)與b=(x,-15)平行,則x= .5. (必修4P73練習2改編)已知O是坐標原點，點A在第一象限， ,xOA=60,則 的坐標為 .AB AGABAC 4 3OA OA 2，1(5，14)236(2 3,6)經典例題經典例題題型一 平面向量基本定理【例1】如圖,在OAB中, ,AD與BC交于點M,設 =a, =b,以a、b為基底表示 .14OCOA 12ODOB OA OB OM 分析：本題可用待定系數(shù)法,設 =ma+nb(m,nR),再利用向量的運算及共線向量的條件列出方程組,確定m,n的值.OM 解：設 =m a+n b(m,nR),則 =(m-1)a+n b, .因為A,M,D三點共線,所以 ,即m+2n=1.OM AM=OMOA 11AD=ODOA22baab 1112mn而 , ,又因為C,M,B三點共線,所以 ,即4m+n=1.由 ,解得 ,所以 .1CM=OMOC=(m)a+nb 4 1CB=OBOC=4ab 14114mnm+2n=14m+n=1m=17n=3713OM=a+77b 變式1-1如圖所示，OADB是以向量 =a, =b為邊的平行四邊形，點C為對角線AB、OD的交點，又BM= BC,CN= CD,試用a,b表示 , , .OA OB OM ONMN 13131111()()3666BMBCBAOAOBab 1111536666OMOBBMbabab 1136CNCDOD 11222ON=OC+CN=OD+OD=OD=(OA+OB)=(a+b)26333 2MN=ONOM=( +b)3aabab 512又題型二 平面向量的坐標運算【例2】已知點A(-1,2),B(2,8)以及 ,求點C、D的坐標和CD的坐標. 13ACAB 13DABA 分析：根據題意可設出點C、D的坐標,然后利用已知的兩個關系式列方程組,求出坐標.解：設點C、D的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),由題意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因為 ,所以有 和解得 和所以點C、D的坐標分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).11AC=AB,DA=BA33 11x +1=1y -2=222-1-x =12-y =211x =0y =422x =-2y =0CD 變式2-1（2010山東改編）定義平面向量之間的一種運算“ ”如下，對任意的 a=(m,n),b=(p,q)，令a b=mqnp，則下面說法錯誤的有 .（寫出所有錯誤說法的序號）若a與b共線，則a b=0;a b=b a;對任意的R，有(a) b=(a b).若a與b共線，則有a b=mq-np=0，故正確；因為b a=pn-qm，而a b=mq-np,所以a bb a，故錯誤；易證正確.故應該填.解析：題型三 平面向量的坐標表示【例3】平面內給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+k c)(2b-a),求實數(shù)k;(2)設d=(x,y)滿足(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d.分析：(1)由兩向量平行的條件得出關于k的方程,從而求出實數(shù)k的值.(2)由兩向量平行及|d-c c|=1得出關于x,y的兩個方程,解方程組即可得出x,y的值,從而求出d .解：(1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k= .(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解得1613224(x-4)-2(y-1)=0(x-4) +(y-1) =15452 515xy 5452 515xy 52 552 5(4,1)(4,1)5555d 或變式3-1已知梯形ABCD中， ,A(1,1),B(3,2),C(3,7),若 ,求D點坐標.ABCD 2)ADBCAB (解：設D點坐標為(x,y),則 =(x-1,y-1), =(2,-3), =(x+3,y+7), =(-6,-5), ,2(y+7)+3(x+3)=0,即3x+2y+23=0,又 ,(x-1)+10(y-1)=0即x+10y-11=0,由 ,得D點坐標為(-9,2).ADAB CD BC ABCD ADBC2)AB (3x+2y+23=0 x+10y-11=0 x=9y=2BC 2AB=(10,1), 題型四向量的綜合應用問題【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,試問:(1)t為何值時,點P在x軸上?在y軸上?點P在第二象限?(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能,求出相應的t值;若不能,請說明理由.OPOAtAB 分析：利用向量相等，建立點P(x，y)與已知向量之間的關系，表示出P點的坐標，然后根據實際問題確定P點坐標的符號特征，從而解決問題 解：(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， (1,2)， (3,3)， (13t,23t)若點P在x軸上，則23t0，解得t= ；若點P在y軸上，則13t0，解得t ；若P在第二象限，則解得 t .(2) (1,2)， (33t，33t)，若四邊形OABP為平行四邊形，則 ，而 無解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形OAAB OPOAtAB 23131 30230tt2313311332tt OAPBPOOB OAPB 變式4-1如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點P的坐標.解析：方法一：設P(x，y)，則 (x，y)， (4,4) ， 共線，4x4y0.又 (x2，y6)， (2，6)，且向量 、 共線，6(x2)2(6y)0.解由組成的方程組，得x3，y3點P的坐標為(3,3)OP OB OB OP CP CA CA CP 方法二：設 t(4,4)(4t,4t)，則 (4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，又 (2,6)(4,0)(2,6)，由 ， 共線的充要條件知(4t4)64t(2)0，解得t ， (4t,4t)(3,3)，P點坐標為(3,3)34OP AP ACACAPOPOA OPtOB 易錯警示易錯警示【例】已知點A(1,2),點B(3,6),則與AB共線的單位向量為.錯解由A(1,2),B(3,6)知,.(2,4)AB 5 2 5(,)55ABAB 錯解分析與共線有兩種情況:一是同向共線,一是反向共線,“錯解”中忽略了反向共線這一情況.正解AB 解析：與同向時為 ，與反向時為 .5 2 5(,)55ABAB 52 5(,)55ABAB 鏈接高考鏈接高考（2010陜西）已知向量a=(2,1)，b=(1,m),c=(1,2),若(a+b)c，則m=.知識準備：1. 會進行向量的加法運算；2. 知道向量平行的充要條件（平行向量的坐標表示）.解析：ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c，得12(1)(m1)0m1.