專(zhuān)題五函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第13講函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第13講函數(shù)的圖象與性質(zhì)1 若函數(shù)f x 1 是偶函數(shù) 則函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) 答案直線(xiàn)x 1 解析因?yàn)楹瘮?shù)f x 1 是偶函數(shù) 所以f x 1 f x 1 則y f x 的圖象關(guān)于直線(xiàn)x 1對(duì)稱(chēng) 2 已知f x 為定義在 2 a 3 上的偶函數(shù) 在 0 3 上單調(diào)遞減 并且f f m2 2m 2 則m的取值范圍是 答案 解析由題意可得2 a 3 a 5 則f m2 1 f m2 1 f m2 2m 2 f m2 2m 2 所以m2 1 m2 2m 2 3 解得1 m 3 已知a 0且a 1 設(shè)函數(shù)f x 的最大值為1 則a的取值范為 答案 解析若a 1 則函數(shù)f x 不存在最大值 若0 a 1 2 loga3 1 則loga3 1 loga 解得a 故a的取值范圍是 a 1 4 已知函數(shù)f x 若存在實(shí)數(shù)a b c滿(mǎn)足a b c且f a f b f c 則 ab 1 c的取值范圍是 答案 16 64 解析畫(huà)出函數(shù)f x 的圖象 由圖象可知 0 a 1 b 4 c 6 且 log4a log4b 得ab 1 則 ab 1 c 2c 16 64 5 若f x ex ae x為偶函數(shù) 則f x 1 的解集為 答案 0 2 解析因?yàn)閒 x ex ae x為偶函數(shù) 所以f x e x aex ex ae x f x 整理得 a 1 ex e x 0 則a 1 所以f x ex e x f x 1 即為e ex 1 e x 1 e2 1 整理得e2x ex 2 ex e2 0 即為 ex e2 ex 1 0 解得1 ex e2 則0 x 2 6 已知函數(shù)y 與函數(shù)y 的圖象共有k k N 個(gè)公共點(diǎn) A1 x1 y1 A2 x2 y2 Ak xk yk 則 xi yi 答案2 解析函數(shù)y 滿(mǎn)足f x f x 2 則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn) 0 1 對(duì)稱(chēng) 且在R上單調(diào)遞增 并且y 0 2 又函數(shù)y 的圖象也關(guān)于點(diǎn) 0 1 對(duì)稱(chēng) 且在 0 和 0 上單調(diào)遞減 所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象共有2個(gè)公共點(diǎn) A1 x1 y1 A2 x2 y2 且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于 0 1 對(duì)稱(chēng) 所以 xi yi x1 x2 y1 y2 2 題型一函數(shù)的性質(zhì) 例1 1 2018江蘇 函數(shù)f x 滿(mǎn)足f x 4 f x x R 且在區(qū)間 2 2 上 f x 則f f 15 的值為 2 2018徐州高三考前模擬 若函數(shù)f x 為奇函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的值為 答案 1 2 1 解析 1 因?yàn)楹瘮?shù)f x 滿(mǎn)足f x 4 f x x R 則函數(shù)的最小正周期是4 且在區(qū)間 2 2 上 f x 則f f 15 f f 1 f cos 2 函數(shù)f x 為定義在 x 上的奇函數(shù) 則f 1 f 1 即 解得a 1 方法歸納 若f x a f b x 則f x 的圖象關(guān)于直線(xiàn)x 對(duì)稱(chēng) 若f x a f b x c 則f x 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 若f x T f x 則f x 是周期為T(mén)的周期函數(shù) 1 1 2018南京高三第三次模擬 若f x 是定義在R上的周期為3的函數(shù) 且f x 則f a 1 的值為 答案2 解析由f x 是定義在R上的周期為3的函數(shù) 得f 0 f 3 解得a 0 則f a 1 f 1 2 題型二函數(shù)的圖象 例2 2018揚(yáng)州高三第三次調(diào)研 已知函數(shù)f x 的圖象恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 0 2 解析因?yàn)閒 0 1 x 時(shí) f x 所以函數(shù)過(guò)第一 三象限 若a0時(shí) f x 0 此時(shí)函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)第一 二 三3個(gè)象限 若a 0 x 0的函數(shù)圖象只在第三象限 所以x 0時(shí) 函數(shù)圖象必須經(jīng)過(guò)第四象限 即f x 0時(shí)有解 即a 當(dāng)00 函數(shù)遞增 當(dāng)x 2時(shí) y x2 1遞增 所以x 1時(shí) 2 則a 2 綜上可得 實(shí)數(shù)a的取值范圍是a2 方法歸納 1 函數(shù)圖象形象地展示了函數(shù)的性質(zhì) 如單調(diào)性 奇偶性 最值等 為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了 形 的直觀性 因此常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì) 同時(shí)也會(huì)借用函數(shù)性質(zhì)去研究函數(shù)圖象的有關(guān)問(wèn)題 二者相輔相成 2 關(guān)于函數(shù)圖象的問(wèn)題 一般要利用圖象變換 等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化 如圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) 即將x0的圖象有交點(diǎn) 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題 再結(jié)合分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題 2 1 2018江蘇南通中學(xué)高三考前沖刺 若函數(shù)f x 的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 解析f x x2 4 x0的圖象與f x 2x x 0的圖象有交點(diǎn) 即方程 x2 4 2x a x3 2x2 4x x 0有解 令g x x3 2x2 4x x 0 則g x 3x2 4x 4 x 2 3x 2 x g x 0 g x 單調(diào)遞增 則g x min g 故a 題型三函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例3 2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研 已知函數(shù)f x 若存在實(shí)數(shù)a b c 滿(mǎn)足f a f b f c 則af a bf b cf c 的最大值是 答案2e2 12 解析作出函數(shù)f x 的圖象如圖 當(dāng)f a f b f c a0 所以 c0 e2 使得g c0 0 且c c0 g c 0 g c 單調(diào)遞增 且g 6 0 則g c 的最大值即為af a bf b cf c 的最大值 即2e2 12 方法歸納 1 利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性對(duì)目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn) 變形 尤其是目標(biāo)函數(shù)中有多個(gè)變量時(shí)要結(jié)合圖形減少變量個(gè)數(shù) 2 求解目標(biāo)函數(shù)的最值 首先要建立合適的目標(biāo)函數(shù) 再利用目標(biāo)函數(shù)的特征選擇工具 如導(dǎo)數(shù) 基本不等式等 求解最值 解析作出函數(shù)f x 的圖象如圖 設(shè)直線(xiàn)y ax與y lnx相切于 x0 lnx0 則曲線(xiàn)在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y lnx0 x x0 把原點(diǎn)坐標(biāo)代入得x0 e 要使直線(xiàn)y ax與y f x 的圖象交于三個(gè)不同的點(diǎn) 則n 1 e 聯(lián)立y x y 2x 1解得x 則m 故n 2