第52講 不等式選講 主要內(nèi)容一、聚焦重點一、聚焦重點 含絕對值不等式的解法含絕對值不等式的解法.二、廓清疑點二、廓清疑點如何選擇合適的重要不等式如何選擇合適的重要不等式三、破解難點三、破解難點利用不等式求函數(shù)的最值利用不等式求函數(shù)的最值.聚焦重點：含絕對值不等式的解法基礎(chǔ)知識(0),(0).x xxx x 常用結(jié)論：常用結(jié)論：設(shè)設(shè)a0，則，則基礎(chǔ)知識常見形式常見形式問題研究如何解含絕對值的不等式？經(jīng)典例題1思路分析思路一： 利用整體意識思路二：|34|134141.xxx 或或 3 3|34|66346.xx 分解意識思路三：運算較繁兩邊同時平方，34(340),|34|(34)(340).xxxxx 求解過程解解 （根據(jù)思路一）（根據(jù)思路一）340,1346;xx 解之，得解之，得21051.333xx , 或, 或故原不等式的解集為故原不等式的解集為 1052,)( 1, .333 340,1(34)6.xx 或或原不等式等價于原不等式等價于 求求“交交”？求求“并并”？求解過程解解 （根據(jù)思路二）（根據(jù)思路二）回顧反思基本策略基本策略: 去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不等式（組）去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不等式（組）求解求解.通法通法簡捷簡捷 思想方法：思想方法：等價轉(zhuǎn)化等價轉(zhuǎn)化.常用方法常用方法:（1）零點分段討論法）零點分段討論法（2）利用等價關(guān)系直接轉(zhuǎn)化法）利用等價關(guān)系直接轉(zhuǎn)化法（3）平方法）平方法拓展延伸220.abab 12 .xx 解解不不等等式式22(1)4, xx思路分析：思路分析：原不等式兩邊同時平方，可得原不等式兩邊同時平方，可得 21xx 即即3-23-20.0.11.3 xx所以不等式的解集為所以不等式的解集為12xx 22./ abab錯因分析：錯因分析：22.abab 錯錯也也 ! !思路分析思路一：思路一：通過零點分段討論法，轉(zhuǎn)化為通過零點分段討論法，轉(zhuǎn)化為 兩個不等式組兩個不等式組12 .xx 解解不不等等式式思路二：思路二：借助絕對值的等價關(guān)系式，直借助絕對值的等價關(guān)系式，直 接轉(zhuǎn)化為兩個不等式接轉(zhuǎn)化為兩個不等式思維經(jīng)濟(jì)思維經(jīng)濟(jì)運算簡捷運算簡捷求解過程解（按思路二）解（按思路二）原不等式等價于原不等式等價于1212xxxx或或不等式的解集為不等式的解集為1.x x 12 .xx 解解不不等等式式經(jīng)典例題2思路分析原不等式可化為原不等式可化為(1)(2)5.xx或或- -(1)(2)5,xx 由此得原不等式的解集為由此得原不等式的解集為(, 32,+).思路一：思路一：(1)(2)5xx此法不妥！此法不妥！(1)(2)5;xx (1)(2)5;xx (1)(2)5.xx 2,x 21,x 1,x思路思路二：二： 零點分段討論法零點分段討論法.思路分析原不等式等價于原不等式等價于2,(1)(1)(2)5;xxx 21,(2)(1)(2)5;xxx 或或1,(3)(1)(2)5.xxx 或或解解求解過程求求“交交”？求求“并并”？思維碰撞原不等式可化為原不等式可化為(1)(2)5.xx或或- -(1)(2)5,xx 所以，原不等式的解集為所以，原不等式的解集為(, 32,+).思路一：思路一：為什么？為什么？思路分析 x12-2-3ABA1B1設(shè)數(shù)軸上與設(shè)數(shù)軸上與2、1、x對應(yīng)的點分別是對應(yīng)的點分別是A、B、P 115.B AB B 所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是 , 32,. 則則3AB ,115.A AA B0 5.PAPB 以形助數(shù)以形助數(shù)直觀簡捷直觀簡捷!思路三：思路三：利用絕對值的幾何意義求解利用絕對值的幾何意義求解解析解析思路分析可作出其圖象可作出其圖象(如右圖所示如右圖所示). -3-22yO-21x思路四思路四： 利用函數(shù)圖象求解利用函數(shù)圖象求解解析解析回顧反思 利用絕對值的意義，通過找利用絕對值的意義，通過找零點分區(qū)間討論，零點分區(qū)間討論， 去絕對值轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式（組）求解去絕對值轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式（組）求解.借助數(shù)軸，借助數(shù)軸，利用絕對值的幾何意義求解利用絕對值的幾何意義求解.構(gòu)造函數(shù)，利用其圖象求解構(gòu)造函數(shù)，利用其圖象求解.通性通法通性通法特殊手段特殊手段思想方法思想方法等價轉(zhuǎn)化，分類討論，數(shù)形結(jié)合等價轉(zhuǎn)化，分類討論，數(shù)形結(jié)合.廓清疑點: 如何選擇重要不等式問題研究如何證明不等式?方法回顧常用的證明不等式的方法常用的證明不等式的方法（1）比較法比較法：作差：作差 變形變形判斷判斷作商作商 變形變形判斷判斷（2）分析法分析法：執(zhí)果索因：執(zhí)果索因（3）綜合法綜合法：由因?qū)Ч河梢驅(qū)Ч?jīng)典例題3222()() abcabbcca由于由于2221()()() 2abbcca0,（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c 時等號成立）時等號成立） 2222221(2)(2)(2)2aabbbbccccaa222.abcabbcca 所以所以思路一：思路一： 左式右式左式右式比較法比較法通法之一通法之一思路分析思路分析思路二思路二：222,abab 222 2.2abcabc 由基本不等式由基本不等式從而左式從而左式思路三思路三：22222233,abca b c22233.abbccaa b c由基本不等式，可得由基本不等式，可得此法錯矣此法錯矣！典型錯誤典型錯誤！求解過程證明證明 由基本不等式，可得由基本不等式，可得上述三式相加，可得上述三式相加，可得222. abcabbcca即即（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c 時等號成立）時等號成立） 2222(2),abcabbcca ) ) ( (222, bcbc (2)從兩項的基本不等式出發(fā)證明結(jié)論-綜合法通法之二通法之二思路四思路四：基礎(chǔ)知識柯西不等式的一般形式1212,;,(1,2, ).nniia aab bbba in 當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)組組不不全全為為零零時時, ,等等號號當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時時成成立立222222121221122()()() .nnnnaaabbba ba ba b基礎(chǔ)知識排序不等式排序不等式22222221231231 12233()()() .aaabbba ba ba b柯西不等式的三維形式：即可直接利用柯西不等式.思路分析解題關(guān)鍵：解題關(guān)鍵：思路五：思路五：求解過程222. 亦亦即即abcabbcca由柯西不等式，可得由柯西不等式，可得,abbccaabbcca由由2.aa 關(guān)鍵：關(guān)鍵：合理準(zhǔn)確地構(gòu)造兩個元素個數(shù)相同的數(shù)組合理準(zhǔn)確地構(gòu)造兩個元素個數(shù)相同的數(shù)組.2() ,abbcca 易錯點易錯點證明證明步步有據(jù)步步有據(jù)思路分析不難得證不難得證.排序不等式的三維形排序不等式的三維形式式解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵：思路六思路六：abcabcabbcca 求解過程 由排序不等式，可得由排序不等式，可得 不妨設(shè)不妨設(shè) .abc 對兩組數(shù)對兩組數(shù) a，b，c；a，b，c ，222 abc是其順序和，是其順序和，（ b，c， a，是該數(shù)組的一個排列），是該數(shù)組的一個排列）.解題關(guān)鍵：解題關(guān)鍵：恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造兩個元素個數(shù)相同的有序數(shù)組恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造兩個元素個數(shù)相同的有序數(shù)組.證明：證明：思路分析 思路七思路七： 要證原式成立，即證要證原式成立，即證 222()()0. abcabbcca 亦即證亦即證222()()0. abc abcbc 設(shè)設(shè) 222( )()(), f aabc abcbc解題關(guān)鍵：解題關(guān)鍵：函數(shù)思想在證明不等式中的應(yīng)用函數(shù)思想在證明不等式中的應(yīng)用即證即證 ( )0.f a 回顧反思 (2)解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵: 選擇柯西不等式或排序不等式證明選擇柯西不等式或排序不等式證明 不等式的關(guān)鍵是抓住不等式特征，合理構(gòu)造數(shù)組，不等式的關(guān)鍵是抓住不等式特征，合理構(gòu)造數(shù)組， 準(zhǔn)確使用公式準(zhǔn)確使用公式. (1)方法掃描方法掃描: 比較法、分析法、綜合法、比較法、分析法、綜合法、 放縮法，放縮法，函數(shù)法等函數(shù)法等.(3)思想方法：思想方法：分析比較，合理聯(lián)想，主元意識，分析比較，合理聯(lián)想，主元意識，函數(shù)思想函數(shù)思想回顧反思(1) 注意各重要不等式的適用條件以及等號注意各重要不等式的適用條件以及等號 成立條件成立條件. (2) 一般地，柯西不等式和排序不等式用于一般地，柯西不等式和排序不等式用于 理科選學(xué)部分中的不等式問題的處理理科選學(xué)部分中的不等式問題的處理.特別提醒特別提醒破解難點： 利用不等式求函數(shù)最值問題研究如何靈活運用均值不等式求函數(shù)的最值？如何靈活運用均值不等式求函數(shù)的最值？基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識平均值定理平均值定理經(jīng)典例題433min32 62 18.2y 思路一：思路一：思路分析若若a，b為正數(shù)為正數(shù)，則則 ，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，時，“=”成立成立.2abab 并非定值并非定值,此法錯誤！此法錯誤！思路調(diào)整若若a，b，c為正數(shù)為正數(shù)，則則33abcabc 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，“=”成立成立abc想法一：想法一： 將將 2x2 拆成拆成 x2 + x2.思路二：思路二：“積積”非定值非定值,此路不通此路不通!223yxxx 思路分析 2231222yxxxxx233123 23 4.xxx3min3 4.y 所以所以 想法二想法二： 將將 拆成兩項拆成兩項.3x“=”不成立，不成立，此法錯誤！此法錯誤！求解過程則則 223332222yxxxxx2333393 23.222xxx2333224xxx當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)即即時時33min93336.22y回顧反思 利用均值不等式求函數(shù)的最值問題時需注意利用均值不等式求函數(shù)的最值問題時需注意: (1) “一正、二定、三相等一正、二定、三相等”這三者缺一不可這三者缺一不可. (2) 注重等價變形，合理注重等價變形，合理“配項、湊項配項、湊項”, 正確正確 使用均值不等式使用均值不等式.總結(jié)提練一、聚焦重點：一、聚焦重點： 含絕對值不等式的解法含絕對值不等式的解法.二、廓清疑點：二、廓清疑點：證明不等式中，如何選擇合適的重要不等式證明不等式中，如何選擇合適的重要不等式三、破解難點：三、破解難點：利用不等式求函數(shù)的最值利用不等式求函數(shù)的最值.總結(jié)提練（2）倡導(dǎo)通性通法，力求簡捷手段）倡導(dǎo)通性通法，力求簡捷手段（3）增強目標(biāo)意識，適時調(diào)整思路）增強目標(biāo)意識，適時調(diào)整思路（1）深刻領(lǐng)會知識，確保步步有據(jù)）深刻領(lǐng)會知識，確保步步有據(jù)（4）強化數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化解題思路）強化數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化解題思路同步練習(xí)答案答案參考答案“為什么為什么”答案：當(dāng)答案：當(dāng)2x 1時，不等式無解時，不等式無解.