第十九講第十九講三角恒等變換三角恒等變換回歸課本回歸課本1.三角恒等變換主要包括三角恒等變換主要包括角的角的變換變換 函數(shù)名稱函數(shù)名稱的變換的變換 常數(shù)常數(shù)的變換的變換 冪冪的變換和的變換和式式子結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)的變換的變換. 2222222.1cossincostansi1,;222ntan2211;.2221coscoscoscoscos半角公式用表示 ,2222111;.222 221cossincostansincoscoscoscostancos 用表示 1.223sin ,cos1tansincostancossin用表示3.萬能公式萬能公式22222122;2;2.111tantantansincostantantantan4.積化和差公式積化和差公式(1)sincos= sin(+)+sin(-);(2)cossin= sin(+)-sin(-);(3)coscos= cos(+)+cos(-);(4)sinsin=- cos(+)-cos(-).121212125.和差化積公式和差化積公式(1)sin+sin=2sin(2)sin-sin=2cos(3)cos+cos=2cos(4)cos-cos=-2sin;22cos;22cos;22cos;22cos考點陪練考點陪練 2221.122A.tanB.tan2C.121D.sincoscoscos等于22222121221222:tan2 .sincossincoscoscoscoscos解析答案答案:B 12,263371.9317.392.sincosABCD若則等于2222367221.669:coscoscossin 解析答案答案:A 3.co22,2471.2217.si2sn2cossinABCD 若則的值為2222,22()42:cossinC.1,2coscossinsinsincos 解析得故選答案答案:C4.若若f(sinx)=3-cos2x,則則f(cosx)等于等于()A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析解析:f(sinx)=2+2sin2x,f(x)=2+2x2.f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.答案答案:C5.cot20 cos10in10 tan702cos40_3_.s :tan70 cos10sin10 tan702cos40tan70 (cos10sin10 )2cos402tan733702404070704040702701107020 sin402cos4022.7070sinsincoscossinsincoscoscoscoscoscoscos 解析 原式答案答案:2類型一類型一三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:化簡三角函數(shù)式常有兩種思路化簡三角函數(shù)式常有兩種思路:一是角的變換一是角的變換(即即將多種形式的角盡量統(tǒng)一將多種形式的角盡量統(tǒng)一 減少角的個數(shù)減少角的個數(shù));二是三角函數(shù)二是三角函數(shù)名稱的變換名稱的變換(即盡量減少即盡量減少 統(tǒng)一函數(shù)名稱統(tǒng)一函數(shù)名稱,如如“切化弦切化弦”).具體問題中可雙管齊下具體問題中可雙管齊下,整體變換整體變換.3,211.11:111sinsincoscoscoscos【典例 】已知化簡2233,.2224122 |2,222122.22coscoscoscoscossinsin 解因為所以2211222222222222222222.222222sinsincossinsincoscossinsincoscossinsincossincossincoscos 所以原式 反思感悟反思感悟三角函數(shù)式的化簡原則三角函數(shù)式的化簡原則:盡量使函數(shù)種類最少盡量使函數(shù)種類最少,次次數(shù)相對較低數(shù)相對較低,項數(shù)最少項數(shù)最少,盡量使分母不含三角函數(shù)盡量使分母不含三角函數(shù),盡量去掉盡量去掉根號或減少根號的層次根號或減少根號的層次,能求出具體值的應(yīng)求出其值能求出具體值的應(yīng)求出其值.類型二類型二三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)式的求值解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)的求值主要有三種類型三角函數(shù)的求值主要有三種類型,即給角求值即給角求值 給值求值給值求值 給值求角給值求角.給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式,以便把非特殊角的三以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消角函數(shù)相約或相消,從而化為特殊角的三角函數(shù)從而化為特殊角的三角函數(shù).給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與欲求式之間的聯(lián)系及函給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與欲求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異數(shù)的差異,一般可以適當(dāng)變換已知式一般可以適當(dāng)變換已知式,求得另外函數(shù)式的值求得另外函數(shù)式的值,以備應(yīng)用以備應(yīng)用.同時也要注意變換欲求式同時也要注意變換欲求式,便于將已知式求得的便于將已知式求得的函數(shù)值代入函數(shù)值代入,從而達到解題的目的從而達到解題的目的.給值求角關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)式的值給值求角關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)式的值,其次其次判斷該角在對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性判斷該角在對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性,從而達到解題的目的從而達到解題的目的. 22310.4358118222222,tancot1tan;2.2sinsincoscossin 【典例 】已知求的值求的值 2 1tancot3tan10tan30,t10313,341an3tan,t.3an 解由得即或又所以為所求 115411822255811 11162 286865 2.62 22 22coscossincoscossincoscossincostancos 原式 反思感悟反思感悟給值求值問題是給出某個角給值求值問題是給出某個角(或兩個角或兩個角)的三角函的三角函數(shù)數(shù)(式式)的值的值,要求其他角的三角函數(shù)值要求其他角的三角函數(shù)值.解決此類問題的關(guān)解決此類問題的關(guān)鍵是利用角的變換鍵是利用角的變換,把待求角用已知角表示出來把待求角用已知角表示出來,利用兩角利用兩角和和 差或倍角公式把待求角的三角函數(shù)值求出差或倍角公式把待求角的三角函數(shù)值求出,如果條件如果條件所給的式子比較復(fù)雜所給的式子比較復(fù)雜,則需先將其化簡則需先將其化簡.在三角函數(shù)求值過在三角函數(shù)求值過程中程中,同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角和與差的三角函數(shù)公式同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角和與差的三角函數(shù)公式是常用工具是常用工具.類型三類型三已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角,一般可分以下三個步驟一般可分以下三個步驟:第一第一,定角的范圍定角的范圍,很多時候我們需要根據(jù)題中給出的三角函數(shù)很多時候我們需要根據(jù)題中給出的三角函數(shù)值或中間結(jié)果中的三角函數(shù)值進一步縮小角的范圍值或中間結(jié)果中的三角函數(shù)值進一步縮小角的范圍;第二第二,求角的某一個三角函數(shù)值求角的某一個三角函數(shù)值(要求該三角函數(shù)應(yīng)在角的范圍要求該三角函數(shù)應(yīng)在角的范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào));第三第三,根據(jù)角的范圍寫出所求的角根據(jù)角的范圍寫出所求的角.其中在第其中在第二步中二步中,具體選用哪個三角函數(shù)具體選用哪個三角函數(shù),一般可由條件中的函數(shù)確一般可由條件中的函數(shù)確定定,一般已知正切函數(shù)值一般已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù)選正切函數(shù);已知正已知正 余弦函數(shù)值余弦函數(shù)值,選正選正 余弦函數(shù)余弦函數(shù); 若角的范圍是若角的范圍是 正正 余弦函數(shù)均可余弦函數(shù)均可;若角的范圍是若角的范圍是(0,),一般選余弦函數(shù)一般選余弦函數(shù);若角的范圍是若角的范圍是 則一般則一般選正弦函數(shù)等選正弦函數(shù)等.0,2,2 2 3 (2010)A B CsinAsinCsinB,cosAcosCcosB0,2.36,BA.33( )3ABCD【典例 】江西五校聯(lián)考 設(shè) 且則等于或1,2sinAsinBsinC,cosAcosBcosC,1 2sinAsinB2cosAcosB 11,cos ABA BBABAsinAsinBsin0,C0,BA23A23,.2 解析已知兩式平方相加得由于 所以又所以故選答案答案A類型四類型四三角函數(shù)式的證明三角函數(shù)式的證明解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:三角恒等式的證明主要有兩種類型三角恒等式的證明主要有兩種類型:絕對恒等式與絕對恒等式與條件恒等式條件恒等式.證明絕對恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征證明絕對恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征,化繁為簡化繁為簡,左右歸左右歸一一,變更論證變更論證,通過三角恒等式變換通過三角恒等式變換,使等式的兩邊化異為同使等式的兩邊化異為同.條件恒等式的證明則要認(rèn)真觀察條件恒等式的證明則要認(rèn)真觀察,比較已知條件與求證等比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系式之間的聯(lián)系,選擇適當(dāng)途徑對條件等式進行變形選擇適當(dāng)途徑對條件等式進行變形,直到得直到得到所證等式到所證等式,或者將欲證等式及條件進行變式或者將欲證等式及條件進行變式,創(chuàng)造機會代創(chuàng)造機會代入條件入條件,最終推導(dǎo)出所證等式最終推導(dǎo)出所證等式.21.(1)4:(1)sin xcosxsinxcosxsinxcosxsinx【典例 】求證2222222(1)(1)22(1)212(1)221(1)(1)(1.)1sinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin xcosxsin xcos xcosxsinxcosxsinxsinxcosxcos xcosxcosxcosxcosxsinxcosxcosxsin xsinx證明 左邊右邊故原等式.成立錯源一錯源一合理運用公式的能力差合理運用公式的能力差10,sincosco1,277.4471.44s2( )C.ABD【典例 】設(shè)則的值為錯解錯解由由sin+cos= 得得(sin+cos)2=1+sin2=所以所以sin2= .因為因為0,所以所以022.由由sin22+cos22=1得得cos2=故選故選C. 剖析剖析由于選擇了由于選擇了sin22+cos22=1,求求cos2的值時符號不的值時符號不能確定能確定,造成解題錯誤造成解題錯誤.121,4342371.44 正解正解由由sin+cos= 得得(sin+cos)2=1+sin2= 所以所以sin2= .因為因為sin2=2sincos0,且且0,所以所以 0.因為因為(sin-cos)2=1-sin2= ,所以所以sin-cos= 121,43427472由由得得:sin2-cos2= ,即即cos2=cos2-sin2= 故選故選B.答案答案B747.4錯源二錯源二忽視角的范圍忽視角的范圍【典例典例2】若若、是銳角是銳角,且且sin-sin=- ,cos-cos= ,求求tan(-).121211,221,213,2sinsincoscos:22cos cos2sin sin22cos(),cos(),sin()t47,224()7.an()()3sincos 錯解兩邊平方相加得即、 是銳角故,sinsinsinsi1n ,.0,cossin0.,0,2222 剖析 本題錯誤在于的范圍分析得不對由于 、 是銳角 所以但還應(yīng)注意從而故由的值只能得到的值2sinsincoscos:22cos cos2sin sin22cos()cos(),sinsin00.sin()ta11,221,213,.2410,22271(),4()7.(3n()cossincos 正解兩式平方相加得即、 是銳角且技法技法 三角恒等變換的六種意識三角恒等變換的六種意識一一 降冪意識降冪意識主要針對主要針對sinx,cosx出現(xiàn)高次冪的情況出現(xiàn)高次冪的情況,常常通過配方或者利常常通過配方或者利用倍角公式進行求解用倍角公式進行求解.【典例典例1】當(dāng)當(dāng)+=30時時,求求sin2+cos2+cossin的值的值.22sincos1cos21212,22121cos2cos sin1 sin()s21in()sinsi51.44ncoscos 解題切入點由得原式二二 統(tǒng)一意識統(tǒng)一意識三角變換的實質(zhì)歸結(jié)到一點就是化異為同三角變換的實質(zhì)歸結(jié)到一點就是化異為同.解三角題時解三角題時,應(yīng)敏應(yīng)敏銳地觀察題目中角銳地觀察題目中角 名稱名稱 運算等之間的差異運算等之間的差異,然后設(shè)法然后設(shè)法消除差異消除差異 實現(xiàn)統(tǒng)一實現(xiàn)統(tǒng)一.【典例典例2】已知已知sin(2+)+2sin=0,且且coscos(+)0,求求證證:tan=3tan(+).證明證明因為因為2+=+,=+-,所以所以sin(+)+2sin(+-)=0,即即sin(+)cos+cos(+)sin+2sin(+)cos-2cos(+)sin=0,所以所以3sin(+)cos=cos(+)sin,又因為又因為coscos(+)0,可兩邊同時除以可兩邊同時除以coscos(+)即即可得證可得證.三三 整體意識整體意識如果所涉及的三角問題中已知式和待求式的結(jié)構(gòu)類似如果所涉及的三角問題中已知式和待求式的結(jié)構(gòu)類似,則可則可用整體代換用整體代換,即把已知式或待求式視為一個整體進行變形即把已知式或待求式視為一個整體進行變形替換替換.【典例典例3】化簡化簡:cos2(+15)+cos2(-15)- cos2. 解題切入點解題切入點由于觀察到此式中的角出現(xiàn)由于觀察到此式中的角出現(xiàn)+15,-15與與2,要達到角的統(tǒng)一要達到角的統(tǒng)一,需將角需將角+15,-15向角向角2進行轉(zhuǎn)進行轉(zhuǎn)化化,因此因此,可考慮二倍角的變形公式可考慮二倍角的變形公式.3212(15 )12(15 )22312221cos(230 )cos(230 )21 cos2 cos30cos2c332233122os2cos21.coscoscoscos 解 原式四四 代換意識代換意識代換是解三角題經(jīng)常用到的技巧代換是解三角題經(jīng)常用到的技巧,如特殊值與三角函數(shù)的代如特殊值與三角函數(shù)的代換換 1的代換等的代換等,恰當(dāng)?shù)剡M行代換有利于迅速解題恰當(dāng)?shù)剡M行代換有利于迅速解題,又如在一又如在一個函數(shù)式中同時出現(xiàn)個函數(shù)式中同時出現(xiàn)sinxcosx與與sinx cosx,可考慮設(shè)可考慮設(shè)t=sinxcosx等等. 4f x1.sinxcosxsinxcosx【典例 】求的值域 2tsinxcosx,sinxcosxtt1 sinxcosx0,1,22,2,2.4242, 1)1.t( 1f x,2.1(1).2tsin xsin xt 解 令則且所以又由知所以所以1221, 11,.22故所求函數(shù)的值域為五五 消元意識消元意識消元法在解三角題中有著廣泛的應(yīng)用消元法在解三角題中有著廣泛的應(yīng)用,如給角求值時如給角求值時,消去非消去非特殊角特殊角;證明條件等式時證明條件等式時,消去結(jié)論中不含的角或函數(shù)等消去結(jié)論中不含的角或函數(shù)等.3225.22:xxsinxtantancosxcos x【典例 】化簡 解題切入點解題切入點此題各式間的差異較大此題各式間的差異較大,不僅角之間有差異不僅角之間有差異,而而且函數(shù)名及結(jié)構(gòu)之間也存在較大的差異且函數(shù)名及結(jié)構(gòu)之間也存在較大的差異,為此為此,我們要重點抓我們要重點抓住某一特征差異進行分析住某一特征差異進行分析,以求突破以求突破.3222322233222223222233322222220.3322222xxsinsinsinxxxcosxcos xcoscosxxxxsincoscossinsinxxxcosxcos xcoscossinxsinxxxxxxxcoscoscoscossinxsinxxxxxcoscoscoscos解 原式六六 配湊意識配湊意識為利用公式而配因子為利用公式而配因子,為利用已知角而湊角為利用已知角而湊角,這些都是解三角這些都是解三角題的常用手段題的常用手段.50,4134462.sinxxcos xcosx【典例 】已知求的值224224242,44cosxcosxsinxcosxsinx解 原式2,444121.44131224220 x.413130 xcosxsinxcosx因為所以所以所以原式