第第2講勻速圓周運動講勻速圓周運動 知識建構(gòu)技能建構(gòu) 定義及意義公式及單位(1)描述做圓周運動的物體運動快慢的物理量(v)(2)是矢量,方向和半徑垂直,沿圓周切線方向(1)v=.(2)單位:m/slt2 rT一、描述圓周運動的物理量描述圓周運動的常用物理量有:線速度、角速度、周期、轉(zhuǎn)速、向心加速度等.各物理量定義及關(guān)系見下表:知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量()(2)是矢量(但中學(xué)不研究其方向)(1)=(2)單位:rad/s(1)描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(2)周期是物體沿圓周運動一周的時間(T)(3)轉(zhuǎn)速是物體單位時間轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(n)(1)T=(2)n的單位為:r/s或r/mint2T2 rv2知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)描述線速度方向變化快慢的物理量(a)(2)方向指向圓心(1)a=r2(2)單位:m/s2(1)作用效果是產(chǎn)生向心加速度;只改變線速度的方向,不改變線速度的大小(2)方向指向圓心(1)F=mr2=m(2)單位:N2vr2vr知識建構(gòu)技能建構(gòu)(續(xù)表) 定義及意義公式及單位(1)v=r=r=2rf(2)a=r2=v=42f2r(3)F=m=mr2=m=mv=42mf2r2T2vr224rT2vr224rT知識建構(gòu)技能建構(gòu)二、兩種運動的具體比較項目勻速圓周運動非勻速圓周運動定義線速度大小不變的圓周運動線速度大小不斷變化的圓周運動運動特點F向、a向、v均大小不變,方向變化,不變F向、a向、v的大小、方向均發(fā)生變化,發(fā)生變化向心力 F向=F合由F合沿半徑方向的分力提供知識建構(gòu)技能建構(gòu)1.本質(zhì):做圓周運動的物體,由于本身的慣性,總有沿著圓周切線方向飛出去的傾向.三、離心運動2.受力特點(如圖所示)知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)當(dāng)F=mr2時,物體做勻速圓周運動.(2)當(dāng)F=0時,物體沿切線方向飛出.(3)當(dāng)Fmr2時,物體逐漸向圓心靠近.注意:(1)物體做離心運動不是物體受到所謂離心力作用,而是物體慣性的表現(xiàn).知識建構(gòu)技能建構(gòu)1.(2011年德州模擬)如圖所示是一個玩具陀螺,a、b和c是陀螺表面上的三個點.當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時,下列表述正確的是( )A.a、b和c三點的線速度大小相等B.b、c兩點的線速度始終相同C.b、c兩點的角速度比a的大D.b、c兩點的加速度比a點的大知識建構(gòu)技能建構(gòu)【答案】D【解析】當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時,a、b和c三點的角速度相同,a半徑小,線速度要比b、c的小,A、C錯;b、c兩點的線速度大小始終相同,但方向不相同,B錯;由a=2r可得b、c兩點的加速度比a點的大,D對.知識建構(gòu)技能建構(gòu)2.(2011年鐵嶺模擬)小明撐一雨傘站在水平地面上,傘面邊緣點所圍圓形的半徑為R,現(xiàn)將雨傘繞豎直傘桿以角速度勻速旋轉(zhuǎn),傘邊緣上的水滴落到地面,落點形成一半徑為r的圓形,當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊拇笮間,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可推知傘邊緣距地面的高度應(yīng)為( )A. B. C. D. 2222()2g rRR2222()2g rRr222()2g rRR2222grR知識建構(gòu)技能建構(gòu)滴下落時間t=,水滴平拋的水平位移x=vt=R,如圖所示.由幾何關(guān)系,R2+x2=r2,可得:h= ,A對.【答案】A2hg2hg2222()2g rRR【解析】設(shè)傘邊緣距地面的高度為h,傘邊緣水滴的速度v=R,水知識建構(gòu)技能建構(gòu)3.(2011年德州模擬)如圖所示,一光滑輕桿沿水平方向放置,左端O處連接在豎直的轉(zhuǎn)動軸上,a、b為兩個可視為質(zhì)點的小球,穿在桿上,并用細(xì)線分別連接Oa和ab,且Oa=ab,已知b球質(zhì)量為a球質(zhì)量的3倍.當(dāng)輕桿繞O軸在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動時,Oa和ab兩線的拉力之比為( )A.1 3B.1 6C.4 3D.7 6【解析】由牛頓第二定律,對a球:TOa-Tab=m2lOa 對b球:Tab=3m2(lOa+lab)由以上兩式得,Oa和ab兩線的拉力之比為7 6,D對.【答案】D知識建構(gòu)技能建構(gòu)4.( 2011年濟南模擬)如圖所示,長為L的輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球,另一端可繞固定光滑水平轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動,現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動,C為圓周的最高點,若小球通過圓周最低點D的速度大小為,則小球在C點( )A.速度等于 B.速度大于 C.受到輕桿向上的彈力 D.受到輕桿向下的拉力【解析】設(shè)小球在最高點速度為v,由動能定理有:-2mgL=mv2-mv2 把v= 代入,得:v2=2gL,說明小球在C點的速度大于 ,B對.在最高點,假設(shè)桿對球的作用力向下,由牛頓第二定律6gLgLgL12126gLgL知識建構(gòu)技能建構(gòu)F+mg=m 可得:F=mg求得桿對球的作用力為正值,說明小球受到的是輕桿向下的拉力,D對.【答案】BD2 vL知識建構(gòu)技能建構(gòu)例1如圖所示,一種向自行車車燈供電的小發(fā)電機的上端有一半徑r0=1.0 cm的摩擦小輪,小輪與自行車車輪的邊緣接觸.當(dāng)車輪轉(zhuǎn)動時,因摩擦而帶動小輪轉(zhuǎn)動,從而為發(fā)電機提供動力.自行車車輪的半徑R1=35 cm,小齒輪的半徑R2=4.0 cm,大齒輪的半徑R3=10.0 cm.求大齒輪的轉(zhuǎn)速n1和摩擦小輪的轉(zhuǎn)速n2之比.(假定摩擦小輪與自行車輪之間無相對滑動)一、描述圓周運動物理量之間的關(guān)系知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】大小齒輪間、摩擦小輪和車輪之間和皮帶傳動原理相同,兩輪邊緣各點的線速度大小相等,由v=2nr可知轉(zhuǎn)速n和半徑r成反比;小齒輪和車輪同軸轉(zhuǎn)動,兩輪上各點的轉(zhuǎn)速相同.由這三次傳動可以找出大齒輪和摩擦小輪間的轉(zhuǎn)速之比n1 n2=2 175.【答案】2 175【名師點金】求解皮帶傳動和摩擦傳動問題關(guān)鍵是要抓住凡是直接用皮帶傳動(包括鏈條傳動、摩擦傳動)的兩個輪子,兩輪邊緣上各點的線速度大小相等;凡是同一個輪軸上(各個輪都繞同一根軸同步轉(zhuǎn)動)的各點角速度相等(軸上的點除外).知識建構(gòu)技能建構(gòu)1.對公式v=r和a=r2的理解2vr方法概述(1)由v=r知,r一定時,v與成正比;一定時,v與r成正比;v一定時,與r成反比.(2)由a=r2知,在v一定時,a與r成反比;在一定時,a與r成正比.2vr知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)同軸傳動:固定在一起共軸轉(zhuǎn)動的物體上各點角速度相同;2.兩種基本的傳動裝置知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)皮帶傳動:不打滑的摩擦傳動和皮帶(或齒輪)傳動的兩輪邊緣上各點線速度大小相等.注意:在討論v、r三者關(guān)系時,應(yīng)采用控制變量法,即保持其中一個量不變來討論另外兩個量的關(guān)系.在處理傳動裝置中各量間的關(guān)系時,應(yīng)首先明確傳動的方式及傳動的特點.知識建構(gòu)技能建構(gòu)例2如圖所示,在光滑水平桌面ABCD中央固定有一邊長為0.4 m的光滑小方柱abcd.長L=1 m的細(xì)線,一端拴在a上,另一端拴住一個質(zhì)量m=0.5 kg的小球.小球的初始位置在ad連線上a的一側(cè),把細(xì)線拉直,并給小球以v0=2 m/s的垂直于細(xì)線方向的水平速度使它做圓周運動.由于光滑小方柱abcd的存在,使線逐步纏在abcd上.若細(xì)線能承受的最大張力為7 N(即繩所受的拉力大于或等于7 N時繩立即斷開),那么從開始運動到細(xì)線斷裂應(yīng)經(jīng)過多長時間?小球從桌面的哪一邊飛離桌面?二、水平面內(nèi)的圓周運動問題知識建構(gòu)技能建構(gòu)【名師點金】物體在水平面內(nèi)做圓周運動時,在豎直方向所受的合力為零.在解決勻速圓周運動的過程中,弄清物體圓形軌道所在的平面,明確圓心和半徑是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié),同時不可忽視對解題結(jié)果進行動態(tài)分析,明確各變量之間的制約關(guān)系、變化趨勢以及結(jié)果涉及物理量的決定因素.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】當(dāng)繩長為L0時,繩將斷裂.據(jù)向心力公式得:T0=,所以L0=0.29 m繞a點轉(zhuǎn)周的時間t1=0.785 s 繞b點轉(zhuǎn)周的時間t2=0.471 s繩接觸c點后,小球做圓周運動的半徑為r=0.2 m,小于L0=0.29 m,所以繩立即斷裂所以從開始運動到繩斷裂經(jīng)過t=1.256 s,小球從桌面的AD邊飛離桌面.【答案】1.256 s小球從桌面的AD邊飛離桌面200mvL1414知識建構(gòu)技能建構(gòu)1.向心力的來源:向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、彈力、摩擦力等各種力,也可以是幾個力的合力或某個力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加向心力.方法概述知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)確定圓周運動的軌道所在的平面,確定圓心的位置.2.向心力的確定(2)分析物體的受力情況,找出所有的力在沿半徑方向指向圓心的合力,該力就是向心力.3.解決圓周運動問題的主要步驟知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)分析物體的運動情況,即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等;(1)審清題意,確定研究對象;(3)分析物體的受力情況,畫出受力示意圖,確定向心力的來源;(4)據(jù)牛頓運動定律及向心力公式列方程;知識建構(gòu)技能建構(gòu)(5)求解、討論.注意:無論勻速圓周運動還是非勻速圓周運動,沿半徑指向圓心的合力均為向心力.當(dāng)采用正交分解法分析向心力的來源時,做圓周運動的物體在坐標(biāo)原點,一定有一個坐標(biāo)軸沿半徑指向圓心.知識建構(gòu)技能建構(gòu)變式訓(xùn)練如圖所示,在光滑的圓錐頂端,用長L=2 m的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量m=1 kg 的小球,圓錐頂角2=74,g取10 m/s2.求:(1)當(dāng)小球以=1 rad/s的角速度隨圓錐體做勻速圓周運動時,細(xì)繩上的拉力.(2)當(dāng)小球以=5 rad/s的角速度隨圓錐體做勻速圓周運動時,細(xì)繩拉力的大小.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】小球在圓錐面上運動時,受到重力G,細(xì)繩的拉力T和斜面的支持力FN.將這些力分解在水平方向和豎直方向上,有:Tsin -FNcos =m2Lsin Tcos +FNsin =mg設(shè)小球以角速度0轉(zhuǎn)動時,小球剛好離開斜面,此時,將FN=0代入上述兩式得:0= = rad/s=2.5 rad/sgLcos6.25知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)當(dāng)小球以=1 rad/s轉(zhuǎn)動時,由小球在斜面上運動解得:T= =26 N2mLtan sinmgtan sincos知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)當(dāng)小球以=5 rad/s轉(zhuǎn)動時,小球?qū)㈦x開斜面,此時受到拉力和重力,設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為,則Tsin =m2Lsin ,代入數(shù)據(jù)解得:T=50 N.【答案】(1)26 N (2)50 N知識建構(gòu)技能建構(gòu)例3如圖所示,半徑為R,內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置,兩個質(zhì)量均為m的小球A、B以不同速率進入管內(nèi),A通過最高點C時,對管壁上部的壓力為3mg,B通過最高點C時,對管壁下部的壓力為0.75mg.求A、B兩球落地點間的距離.三、在豎直平面內(nèi)的圓周運動知識建構(gòu)技能建構(gòu)【名師點金】豎直面內(nèi)的非勻速圓周運動往往與其他知識點結(jié)合起來進行考查,本題是與平拋運動相結(jié)合,解這類題時一定要先分析出物體的運動模型,將它轉(zhuǎn)化成若干個比較熟悉的問題,一個一個問題求解,從而使難題轉(zhuǎn)化為基本題.本題中還要注意豎直面內(nèi)的非勻速圓周運動在最高點的兩個模型:輕桿模型和輕繩模型,它們的區(qū)別在于在最高點時提供的力有所不同,輕桿可提供拉力和支持力,而輕繩只能提供拉力.本題屬于輕桿模型.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】兩個小球在最高點時,受重力和管壁的作用力,這兩個力的合力作為向心力,離開軌道后兩球均做平拋運動,A、B兩球落地點間的距離等于它們平拋運動的水平位移之差.對A球:3mg+mg=m 則vA= 對B球:mg-0.75mg=m 則vB= sA=vAt=vA=4RsB=vBt=vB=R2AvR4gR2BvR14gR4Rg4Rg則sA-sB=3R.【答案】3R知識建構(gòu)技能建構(gòu) 輕繩模型輕桿模型常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過最高點的臨界條件由mg=m得v臨=由小球能運動即可得v臨=02vrgr方法概述知識建構(gòu)技能建構(gòu)討論分析(1)過最高點時,v,FN+mg=m,繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN.(2)當(dāng)v時,不能過最高點,在到達(dá)最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當(dāng)v=0時,FN=mg,FN為支持力,沿半徑背離圓心.(2)當(dāng)0v時,FN+mg=m,FN指向圓心并隨v的增大而增大gr2vrgrgr2vrgrgr2vr知識建構(gòu)技能建構(gòu)在最高點的FN-v2圖線取豎直向下為正方向取豎直向下為正方向知識建構(gòu)技能建構(gòu)注意:輕繩模型和輕桿模型不同的原因在于輕繩只能對小球產(chǎn)生拉力,而輕桿既可對小球產(chǎn)生拉力也可對小球產(chǎn)生支持力.解答豎直面內(nèi)的圓周運動問題時,首先要搞清是輕繩模型還是輕桿模型,在最高點輕繩模型和輕桿模型的臨界速度是不同的.知識建構(gòu)技能建構(gòu)例4為了測定子彈的飛行速度,在一根水平放置的軸桿上固定著兩個薄圓盤a、b,a、b平行且相距2 m,軸桿的轉(zhuǎn)速為3600 r/min,子彈穿過兩盤留下兩個彈孔a、b,測得兩孔所在的半徑間的夾角為30,如圖所示.該子彈的速度是( )A.360 m/s B.720 m/sC.1440 m/sD.1080 m/s四、勻速圓周運動的周期性問題知識建構(gòu)技能建構(gòu)【名師點金】與勻速圓周運動結(jié)合的問題,要對兩個物體分別進行研究,列出兩個物體各自滿足的物理規(guī)律方程,找出它們之間的關(guān)系,聯(lián)立求解.對于勻速圓周運動,還要考慮到周期性,根據(jù)題目的意思來確定是否需要求周期性存在的解.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】30=,轉(zhuǎn)速n=60 r/s子彈從a運動到b的時間t=,圓盤轉(zhuǎn)動的時間t=(k=0,1,2,)即= 得:v= 即v=(k=0,1,2,)當(dāng)k=0時,v=1440 m/s將其他答案代入,k不為整數(shù).故答案為C.【答案】C6ablv2k6ablv2k62k62 nab2 nl2k6240126k 知識建構(gòu)技能建構(gòu)高考真題1 (2010年高考上海物理卷)如圖所示,三個質(zhì)點a、b、c的質(zhì)量分別為m1、m2、M(Mm1,Mm2),在c的萬有引力作用下,a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動,軌道半徑之比為ra rb=1 4,則它們的周期之比Ta Tb= ;從圖示位置開始,在b轉(zhuǎn)動一周的過程中,a、b、c共線了 次.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【解析提示】衛(wèi)星、行星繞中心天體做圓周運動,萬有引力提供向心力,線速度、角速度、向心加速度和周期等運動參量都是中心天體的質(zhì)量和軌道半徑的函數(shù).【命題分析】本題以填空題形式考查萬有引力和圓周運動,難度為中等.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】根據(jù)G=mr,得T=,所以=.在b運動一周的過程中,a運動了8周,因起始位置a、b有夾角,所以a、b、c共線了14次.【答案】1 8 142Mmr224T2 34rGMabTT18知識建構(gòu)技能建構(gòu)考向預(yù)測1如圖所示,在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上,沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩個物體A和B,它們與盤間的摩擦因數(shù)相同,當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動到兩個物體剛好還未發(fā)生滑動時,燒斷細(xì)線,兩個物體的運動情況是( )A.兩物體沿切向方向滑動B.兩物體均沿半徑方向滑動,離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)C.兩物體仍隨圓盤一起做圓周運動,不發(fā)生滑動D.物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,物體A發(fā)生滑動,離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)知識建構(gòu)技能建構(gòu)靜摩擦力,物體A做圓周運動所需要的向心力大于最大靜摩擦力,即物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,物體A發(fā)生滑動,離圓盤圓心越來越遠(yuǎn),D選項正確.【答案】D【解析】當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動到兩個物體剛好還未發(fā)生滑動時,細(xì)線的拉力大于零,燒斷細(xì)線時,物體B做圓周運動所需要的向心力小于最大知識建構(gòu)技能建構(gòu)高考真題2 (2011年高考福建理綜卷)如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖,其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管,上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管,管口沿水平方向、AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧.投餌時,每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定,在彈簧上端放置一粒魚餌,解除鎖定,彈簧可將魚餌彈射出去.設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時,對管壁的作用力恰好為零.不計魚餌在運動過程中的機械能損失,且鎖定和解除鎖定時,均不改變彈簧的彈性勢能.已知重力加速度為g.求:知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能Ep.(1)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時的速度大小v1.(3)已知地面與水面相距1.5R,若使該投餌管繞AB管的中軸線OO在90角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動,每次彈射時只放置一粒魚餌,魚餌的質(zhì)量在m到m之間變化,且均能落到水面.持續(xù)投放足夠長時間后,魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少?23知識建構(gòu)技能建構(gòu)【命題分析】本題考查物體在豎直平面內(nèi)的圓周運動、平拋運動和能量守恒,本題屬于中等難度試題.【解析提示】當(dāng)魚餌到達(dá)管口C時,對管壁的作用力恰好為零,重力提供向心力.當(dāng)魚餌質(zhì)量變化時,魚餌到達(dá)C點的初速度不同,平拋運動的水平距離不同.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】(1)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供,則:mg=m 解得:v1=.21vRgR(2)彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機械能,由機械能守恒定律,有:Ep=mg(1.5R+R)+m 聯(lián)立解得:Ep=3mgR.1221v知識建構(gòu)技能建構(gòu)(3)不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響,質(zhì)量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動,設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上,離OO的水平距離為x1,由平拋運動規(guī)律,有:4.5R=gt2 x1=v1t+R聯(lián)立解得:x1=4R當(dāng)魚餌的質(zhì)量為m時,設(shè)其到達(dá)管口C時速度大小為v2,由機械能守恒定律,有:Ep=mg(1.5R+R)+(m) 聯(lián)立解得:v2=2 122323122322vgR知識建構(gòu)技能建構(gòu)質(zhì)量為m的魚餌落到水面上時,設(shè)離OO的水平距離為x2,則:x2=v2t+R聯(lián)立解得:x2=7R魚餌能夠落到水面的最大面積為:S= (-)=R2(或8.25R2).【答案】(1) (2)3mgR (3)R2或8.25R2 231422x21x334gR334知識建構(gòu)技能建構(gòu)考向預(yù)測2如圖,豎直環(huán)A半徑為r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上,B不能左右運動,在環(huán)的最低點靜放有一小球C,A、B、C的質(zhì)量均為m,給小球一水平向右的瞬時速度v,小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動,為保證小球能通過環(huán)的最高點,且不會使環(huán)在豎直方向上跳起(不計小球與環(huán)的摩擦阻力),瞬時速度必須滿足( )A.最小值為 B.最大值為 C.最小值為 D.最大值為 4gr6gr5gr7gr知識建構(gòu)技能建構(gòu)解得:vmax= ,即D正確.【答案】CD7gr【解析】小球在最高點的最小速度為v1=,根據(jù)機械能守恒定律可得: m =2mgr+ m ,解得:vmin= ,即C正確;小球在最高點的最大速度為v2= ,根據(jù)機械能守恒定律可得: m =2mgr+m,gr122minv1221v5gr3gr122maxv1222v知識建構(gòu)技能建構(gòu)