第4課時(shí)數(shù)列通項(xiàng)與求和第五章數(shù)列第五章數(shù)列回歸教材回歸教材 夯實(shí)雙基夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1求數(shù)列通項(xiàng)常用方法求數(shù)列通項(xiàng)常用方法(1)疊加法：形如疊加法：形如an1anf(n)(nN*)可用疊加法求通項(xiàng)可用疊加法求通項(xiàng)(3)轉(zhuǎn)化法：通過變換遞推關(guān)系，將非轉(zhuǎn)化法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差等差(等比等比)數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列而求得通項(xiàng)公式常用轉(zhuǎn)化途徑有：而求得通項(xiàng)公式常用轉(zhuǎn)化途徑有：n2(2)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列列anbn的前的前n項(xiàng)和，其中項(xiàng)和，其中an，bn分別是分別是_和和_等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列(3)倒序相加法倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過來排列將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序反序)，當(dāng)它，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，則這樣并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和，它是的數(shù)列可用倒序相加法求和，它是_求和公式的推廣求和公式的推廣等差數(shù)列等差數(shù)列(4)分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并列，即能分別求和，然后再合并思考探究思考探究裂項(xiàng)相消時(shí)的注意事項(xiàng)有哪些？裂項(xiàng)相消時(shí)的注意事項(xiàng)有哪些？2若數(shù)列若數(shù)列an滿足滿足a11，an1an2n，則，則an_.解析：由已知解析：由已知an1an2n；故有故有a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1.答案：答案：2n14數(shù)列數(shù)列9,99,999,9999，的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和等于等于_考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究 講練互動(dòng)講練互動(dòng)根據(jù)下列條件求數(shù)列的通項(xiàng)根據(jù)下列條件求數(shù)列的通項(xiàng)(1)已知已知a15，an2an13(n2)，求，求an；(2)數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，且，且a11，an12Sn，求，求an.例例1考點(diǎn)考點(diǎn)1由簡單的遞推式求通項(xiàng)由簡單的遞推式求通項(xiàng)【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】問題問題(1)中的遞推式中的遞推式anpan1q(n2，nN*)是一類重是一類重要遞推數(shù)列，等差數(shù)列、等比數(shù)列均要遞推數(shù)列，等差數(shù)列、等比數(shù)列均是它的特例當(dāng)是它的特例當(dāng)p1時(shí)，時(shí)，an為等差為等差數(shù)列，當(dāng)數(shù)列，當(dāng)q0而而p0時(shí)時(shí)an為等比數(shù)為等比數(shù)列，對于列，對于p0,1且且q0的情形，的情形，課標(biāo)未作要求，但課本上的分期付款課標(biāo)未作要求，但課本上的分期付款問題的解決，使用的正是此數(shù)學(xué)模型問題的解決，使用的正是此數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)建模的角度來說，這一數(shù)列，從數(shù)學(xué)建模的角度來說，這一數(shù)列還是有研究的必要還是有研究的必要(2)由由(1)得得bn32n1，即，即an1an32n1.分別令分別令n1,2,3，n1，則有則有a2a13，a3a232，a4a3322，anan132n2，以上以上n1個(gè)式子相加得個(gè)式子相加得ana13(12222n2)3(2n11)，an32n11.考點(diǎn)考點(diǎn)2錯(cuò)位相減法求和和分組錯(cuò)位相減法求和和分組(分解分解)法求和法求和例例2【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】(1)把一個(gè)復(fù)雜的問題把一個(gè)復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)簡單問題，從而求得問分解成若干個(gè)簡單問題，從而求得問題的答案，稱之為分解法分解法的題的答案，稱之為分解法分解法的實(shí)質(zhì)是化整為零本題求實(shí)質(zhì)是化整為零本題求Sn時(shí)就是采時(shí)就是采用的分解法用的分解法在寫出在寫出“Sn”與與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一以便下一步準(zhǔn)確寫出步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式的表達(dá)式利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若公比是參數(shù)數(shù)列求和若公比是參數(shù)(字母字母)，則，則應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于等于1和不等于和不等于1兩種情況分別求和兩種情況分別求和【解解】(1)由已知，當(dāng)由已知，當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1，而而a12符合上式，符合上式，所以數(shù)列所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由由bnnann22n1知，知，Sn12223325n22n1，從而從而22Sn123225327n22n1.例例3【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】(1)這是推導(dǎo)等差數(shù)列這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，再把它與原數(shù)一個(gè)數(shù)列倒過來排列，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到列相加，就可以得到n個(gè)個(gè)(a1an)，其，其最簡單的形式為：若數(shù)列最簡單的形式為：若數(shù)列an中有中有a1ana2an1a3an2，就，就可以用此方法求和可以用此方法求和(2)當(dāng)數(shù)列具有當(dāng)數(shù)列具有“首尾配對首尾配對”，“中心中心對稱對稱”特征時(shí)，常用倒序相加法特征時(shí)，常用倒序相加法例例4(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Tn；(2)是否存在正整數(shù)是否存在正整數(shù)m，n(1mn)，使得使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，求出所有的m，n的值；若不存在，的值；若不存在，請說明理由請說明理由使用裂項(xiàng)法，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，使用裂項(xiàng)法，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)；要注消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)；要注意到由于數(shù)列意到由于數(shù)列an中每一項(xiàng)中每一項(xiàng)an均裂成均裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，所以互為相反數(shù)的項(xiàng)一正一負(fù)兩項(xiàng)，所以互為相反數(shù)的項(xiàng)合并為零后，所剩正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)的合并為零后，所剩正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)必是一樣多的，項(xiàng)數(shù)必是一樣多的，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)實(shí)質(zhì)上，正的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)實(shí)質(zhì)上，正負(fù)項(xiàng)相消是此法的目的負(fù)項(xiàng)相消是此法的目的方法技巧方法技巧1求和問題可以利用等差、等比數(shù)列求和問題可以利用等差、等比數(shù)列的前的前n項(xiàng)和公式解決，在具體問題中，項(xiàng)和公式解決，在具體問題中，既要善于從數(shù)列的通項(xiàng)入手觀察數(shù)列既要善于從數(shù)列的通項(xiàng)入手觀察數(shù)列的特點(diǎn)與變化規(guī)律，又要注意項(xiàng)數(shù)的特點(diǎn)與變化規(guī)律，又要注意項(xiàng)數(shù)2非等差非等差(比比)的特殊數(shù)列求和題通常的特殊數(shù)列求和題通常的解題思路是：的解題思路是：(1)設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來完成位相消來完成(2)不能轉(zhuǎn)化為等差不能轉(zhuǎn)化為等差(比比)的特殊數(shù)列，的特殊數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減和倒序往往通過裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減和倒序相加法求和相加法求和一般如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等一般如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列就用公式法；如果數(shù)列項(xiàng)的次比數(shù)列就用公式法；如果數(shù)列項(xiàng)的次數(shù)及系數(shù)有規(guī)律，一般可用錯(cuò)位相減數(shù)及系數(shù)有規(guī)律，一般可用錯(cuò)位相減法；如果每項(xiàng)可寫成兩項(xiàng)之差，一般法；如果每項(xiàng)可寫成兩項(xiàng)之差，一般可用拆項(xiàng)法；如果能求出通項(xiàng)，可用可用拆項(xiàng)法；如果能求出通項(xiàng)，可用拆項(xiàng)分組法拆項(xiàng)分組法3數(shù)列求和的關(guān)鍵在于數(shù)列通項(xiàng)公式數(shù)列求和的關(guān)鍵在于數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)形式，根據(jù)通項(xiàng)公式的形式特的表達(dá)形式，根據(jù)通項(xiàng)公式的形式特點(diǎn)，觀察采用哪種方法是這類題的解點(diǎn)，觀察采用哪種方法是這類題的解題決竅題決竅4通項(xiàng)公式中含有通項(xiàng)公式中含有(1)n的一類數(shù)列的一類數(shù)列，在求，在求Sn時(shí)要注意需分項(xiàng)數(shù)時(shí)要注意需分項(xiàng)數(shù)n的奇偶性的奇偶性討論討論5疊加法和累積法是求數(shù)列通項(xiàng)的兩疊加法和累積法是求數(shù)列通項(xiàng)的兩個(gè)重要方法，如課本推導(dǎo)等差數(shù)列通個(gè)重要方法，如課本推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)用的疊加法，而推導(dǎo)等比數(shù)項(xiàng)公式時(shí)用的疊加法，而推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)時(shí)用的是累積法，因此這兩種列通項(xiàng)時(shí)用的是累積法，因此這兩種方法要給予充分關(guān)注方法要給予充分關(guān)注6非等差非等差(比比)的特殊數(shù)列通項(xiàng)的求法的特殊數(shù)列通項(xiàng)的求法往往都通過湊配換元轉(zhuǎn)化成等差往往都通過湊配換元轉(zhuǎn)化成等差(比比)數(shù)列的通項(xiàng)的求法數(shù)列的通項(xiàng)的求法失誤防范失誤防范1利用裂項(xiàng)相減法求和，裂項(xiàng)能否等利用裂項(xiàng)相減法求和，裂項(xiàng)能否等價(jià)轉(zhuǎn)化及怎樣相消易出錯(cuò)，為避免出價(jià)轉(zhuǎn)化及怎樣相消易出錯(cuò)，為避免出錯(cuò)，在裂項(xiàng)時(shí)，可檢驗(yàn)一下；前錯(cuò)，在裂項(xiàng)時(shí)，可檢驗(yàn)一下；前n項(xiàng)和項(xiàng)和的展開式可以多列舉幾項(xiàng)尋找的展開式可以多列舉幾項(xiàng)尋找“相消相消”的規(guī)律的規(guī)律2數(shù)列求和結(jié)果易化簡出錯(cuò)，若使用數(shù)列求和結(jié)果易化簡出錯(cuò)，若使用方法不只一個(gè)，可以分別求出其中一方法不只一個(gè)，可以分別求出其中一部分的結(jié)果，化簡后再整理，結(jié)果不部分的結(jié)果，化簡后再整理，結(jié)果不一定最簡，但要易于觀察，符合數(shù)學(xué)一定最簡，但要易于觀察，符合數(shù)學(xué)的習(xí)慣即可的習(xí)慣即可3求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)要特別注意下標(biāo)求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)要特別注意下標(biāo)n的起點(diǎn)，求和時(shí)要注意共有多少項(xiàng)的起點(diǎn)，求和時(shí)要注意共有多少項(xiàng)考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測命題預(yù)測從近幾年江蘇高考試題來看，數(shù)列求從近幾年江蘇高考試題來看，數(shù)列求和常常會(huì)涉及，不論是考查等差、等和常常會(huì)涉及，不論是考查等差、等比數(shù)列直接求和，還是錯(cuò)位相減法、比數(shù)列直接求和，還是錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等，都是考查的熱點(diǎn)，題裂項(xiàng)相消法等，都是考查的熱點(diǎn)，題型以解答題為主，又往往與其他知識型以解答題為主，又往往與其他知識相結(jié)合，相結(jié)合，考查綜合運(yùn)用知識的能力江蘇省的數(shù)考查綜合運(yùn)用知識的能力江蘇省的數(shù)列題往往設(shè)計(jì)新穎獨(dú)特，突出考查學(xué)生列題往往設(shè)計(jì)新穎獨(dú)特，突出考查學(xué)生分析問題的能力，題目有一定的難度分析問題的能力，題目有一定的難度預(yù)測在預(yù)測在2013年的江蘇高考中，數(shù)列求和年的江蘇高考中，數(shù)列求和會(huì)以解答題的形式出現(xiàn)，結(jié)合不等式的會(huì)以解答題的形式出現(xiàn)，結(jié)合不等式的有關(guān)知識，成為較為綜合的問題有關(guān)知識，成為較為綜合的問題典例解答典例解答(本題滿分本題滿分12分分)(2011高考山東高考山東卷卷)等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，a1，a2，a3分別分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且，且a1，a2，a3中任何兩個(gè)數(shù)不在下中任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列表的同一列. 例例第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行3210第二行第二行6414第三行第三行9818(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足滿足bnan(1)nlnan，求數(shù)列求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn.【解解】(1)當(dāng)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；時(shí)，不合題意；當(dāng)當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；時(shí)，符合題意；當(dāng)當(dāng)a110時(shí)，不合題意時(shí)，不合題意.2分分因此因此a12，a26，a318，所以公比所以公比q3，故，故an23n1.5分分(2)因?yàn)橐驗(yàn)閎nan(1)nlnan23n1(1)nln(23n1)23n1(1)n(ln2ln3n1)23n1(1)nln2(1)n(n1)ln323n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3.所以所以Sn2(133n1)111(1)n(ln2ln3)123(1)nnln3.9分分【得分技巧得分技巧】本題得分的關(guān)鍵：對本題得分的關(guān)鍵：對于于(1)合理求出合理求出a1，a2，a3進(jìn)而求出公進(jìn)而求出公比比q，對于，對于(2)一是要合理利用對數(shù)的一是要合理利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對運(yùn)算性質(zhì)對bn的表達(dá)式進(jìn)行合理拆分的表達(dá)式進(jìn)行合理拆分；二是求數(shù)列；二是求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和時(shí)，由于項(xiàng)和時(shí)，由于含有含有(1)n，因此要對，因此要對n按奇偶進(jìn)行分按奇偶進(jìn)行分類討論類討論【失分溯源失分溯源】解決本題時(shí)應(yīng)注意解決本題時(shí)應(yīng)注意(1)要對要對bn進(jìn)行合理拆分，從而把求進(jìn)行合理拆分，從而把求Sn問問題轉(zhuǎn)化成求等差數(shù)列和等比數(shù)列之和題轉(zhuǎn)化成求等差數(shù)列和等比數(shù)列之和的問題，的問題，(2)要對要對n按奇偶性進(jìn)行分類討論按奇偶性進(jìn)行分類討論