第26講圖形的旋轉(zhuǎn)與位似 考點1圖形的旋轉(zhuǎn)1 旋轉(zhuǎn) 把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度 叫做圖形的旋轉(zhuǎn) 點O叫做旋轉(zhuǎn)中心 轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角 2 旋轉(zhuǎn)的三大要素 旋轉(zhuǎn)中心 和 3 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 1 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等 2 對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角 3 旋轉(zhuǎn)前 后的圖形全等 4 簡單圖形的旋轉(zhuǎn)作圖步驟 1 分析題目要求 找出旋轉(zhuǎn)中心 確定旋轉(zhuǎn)角 2 分析所作圖形 找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點 3 沿一定的方向 按一定的角度 旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中心所連線段 從而作出圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點 4 按原圖形連接方式順次連接各對應(yīng)點 旋轉(zhuǎn)方向 旋轉(zhuǎn)角 考點2圖形的位似1 位似的定義 如果兩個圖形不僅是相似圖形 而且對應(yīng)頂點的連線相交于 那么這樣的兩個圖形叫做 這個點叫做位似中心 2 位似圖形的性質(zhì) 1 位似圖形的對應(yīng)邊成比例 對應(yīng)角相等 它們的周長之比等于相似比 面積之比等于相似比的平方 2 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比 3 對應(yīng)點的連線都經(jīng)過 3 位似圖形與坐標 在平面直角坐標系中 如果以原點為位似中心 相似比為k 那么位似圖形上的對應(yīng)點的坐標的比等于 4 位似圖形的畫法步驟 1 確定位似中心 位似中心可以是平面上任意一點 2 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點和位似中心 并延長 或截取 3 根據(jù)已知位似比 確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點的位置 4 順次連接上述得到的關(guān)鍵點 即可得到一個放大或縮小的圖形 一點 位似圖形 位似中心 k或 k 提示 位似是相似的一種特殊情況 若兩個三角形位似 則這兩個三角形必定相似 命題趨勢 安徽中考近6年有3年考查了在網(wǎng)格中 按要求進行旋轉(zhuǎn)或位似變換作圖的格點作圖 預(yù)測 2019年考查格點中作幾何變換解答題的可能性仍很大 命題點1網(wǎng)格中圖形旋轉(zhuǎn)或位似變換作圖1 2018 安徽 T17 8分 如圖 在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10 10網(wǎng)格中 已知點O A B均為網(wǎng)格線的交點 1 在給定的網(wǎng)格中 以點O為位似中心 將線段AB放大為原來的2倍 得到線段A1B1 點A B的對應(yīng)點分別為A1 B1 畫出線段A1B1 2 將線段A1B1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)90 得到線段A2B1 畫出線段A2B1 3 以A A1 B1 A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積是 個平方單位 解 1 如圖所示 線段A1B1即為所求 2 如圖所示 線段A2B1即為所求 3 由圖可得 四邊形AA1B1A2為正方形 四邊形AA1B1A2的面積是 20 故答案為 20 2 2014 安徽 T17 8分 如圖 在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中 給出了格點 ABC 頂點是網(wǎng)格線的交點 1 將 ABC向上平移3個單位得到 A1B1C1 請畫出 A1B1C1 2 請畫一個格點 A2B2C2 使 A2B2C2 ABC 且相似比不為1 解 1 所求 A1B1C1如圖所示 2 所求 A2B2C2如圖所示 答案不唯一 命題點2圖形變換背景下的規(guī)律探究問題3 2013 安徽 T18 8分 我們把正六邊形的頂點及其對稱中心稱作如圖 1 所示基本圖的特征點 顯然這樣的基本圖共有7個特征點 將此基本圖不斷復(fù)制并平移 使得相鄰兩個基本圖的一邊重合 這樣得到圖 2 圖 3 1 觀察以上圖形并完成下表 猜想 在圖 n 中 特征點的個數(shù)為 用含n式子表示 2 如圖 將圖 n 放在直角坐標系中 設(shè)其中第一個基本圖的對稱中心O1的坐標為 x1 2 則x1 圖 2013 的對稱中心的橫坐標為 解 1 22 5n 2 2 正六邊形的邊長是2 所以邊心距為圖 2 的對稱中心在正六邊形的一邊上 橫坐標為 圖 3 的對稱中心是正中間的正六邊形的中心 橫坐標為 以此類推 圖 2013 的對稱中心的橫坐標為故答案為 類型1中心對稱圖形的識別1 2018 衡陽 下列生態(tài)環(huán)保標志中 是中心對稱圖形的是 2 2018 煙臺 在學(xué)習(xí) 圖形變化的簡單應(yīng)用 這一節(jié)時 老師要求同學(xué)們利用圖形變化設(shè)計圖案 下列設(shè)計的圖案中 是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是 3 2019 預(yù)測 下列圖形中 既是中心對稱圖形 又是軸對稱圖形的是 B C C 類型2利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進行計算及推論4 2018 山西 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 A 60 AC 6 將 ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到 A B C 此時點A 恰好在AB邊上 則點B 與點B之間的距離為 解題要領(lǐng) 圖形變換的有關(guān)計算問題關(guān)鍵是運用圖形變換主要特征 如旋轉(zhuǎn)前 后的兩個三角形全等 利用全等的性質(zhì)就可以求出線段的長或角的度數(shù) D 5 2018 衢州 定義 在平面直角坐標系中 一個圖形先向右平移a個單位 再繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 角度 這樣的圖形運動叫作圖形的 a 變換 如圖 等邊 ABC的邊長為1 點A在第一象限 點B與原點O重合 點C在x軸的正半軸上 A1B1C1就是 ABC經(jīng) 1 180 變換后所得的圖形 若 ABC經(jīng) 1 180 變換后得 A1B1C1 A1B1C1經(jīng) 2 180 變換后得 A2B2C2 A2B2C2經(jīng) 3 180 變換后得 A3B3C3 依此類推 An 1Bn 1Cn 1經(jīng) n 180 變換后得 AnBnCn 則點A1的坐標是 點A2018的坐標是 6 2019 預(yù)測 如圖1 在 ABC中 ACB 90 BC 2 A 30 點E F分別是線段BC AC的中點 連接EF 1 線段BE與AF的位置關(guān)系是 2 如圖2 當(dāng) CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn) 0 180 時 連接AF BE 1 中的結(jié)論是否仍然成立 如果成立 請證明 如果不成立 請說明理由 3 如圖3 當(dāng) CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn) 時 0 180 延長FC交AB于點D 如果AD 6 求旋轉(zhuǎn)角 的度數(shù) 類型3位似變換7 2018 濰坊 在平面直角坐標系中 點P m n 是線段AB上一點 以原點O為位似中心把 AOB放大到原來的兩倍 則點P的對應(yīng)點的坐標為 A 2m 2n B 2m 2n 或 2m 2n 解題要領(lǐng) 已知一個圖形和位似中心作位似圖形時 要注意運用分類討論思想 考慮兩個圖形在位似中心同側(cè)或位似中心兩側(cè)兩種情況 避免出現(xiàn)遺漏 8 2018 邵陽 如圖所示 在平面直角坐標系中 已知點A 2 4 過點A作AB x軸于點B 將 AOB以坐標原點O為位似中心縮小為原圖形的 得到 COD 則CD的長度是 B A 9 2018 撫順 如圖 AOB三個頂點的坐標分別為A 8 0 O 0 0 B 8 6 點M為OB的中點 以點O為位似中心 把 AOB縮小為原來的 得到 A O B 點M 為O B 的中點 則MM 的長為 類型4坐標系下旋轉(zhuǎn)位似變換的作圖10 2018 利辛一模 如圖 在平面直角坐標系中 ABC的三個頂點坐標為A 3 4 B 4 2 C 2 1 ABC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90 得到 A1B1C1 A1B1C1向左平移2個單位 再向下平移5個單位得到 A2B2C2 1 畫出 A1B1C1和 A2B2C2 2 寫出點A的對應(yīng)點A1的坐標 A2的坐標 3 P a b 是 ABC的AC邊上一點 ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn) 平移后點P的對應(yīng)點分別為P1 P2 請寫出點P2的坐標 解 1 如圖所示 A1B1C1和 A2B2C2即為所求 2 點A的對應(yīng)點A1的坐標 4 3 A2的坐標 2 2 故答案為 4 3 2 2 3 由圖可得P1 b a P2 b 2 a 5 解題要領(lǐng) 旋轉(zhuǎn)變換作圖題的關(guān)鍵是根據(jù)平移 旋轉(zhuǎn) 對稱 位似的性質(zhì) 抓住對稱軸 平移的方向 平移的距離 旋轉(zhuǎn)中心 旋轉(zhuǎn)方向 旋轉(zhuǎn)角 位似比等基本要素 才能正確繪制出相應(yīng)圖形的變換圖形 要畫出一個圖形的平移 旋轉(zhuǎn)后的圖形 關(guān)鍵是先確定一些關(guān)鍵點 根據(jù)相應(yīng)頂點的平移方向 平移距離 旋轉(zhuǎn)方向 旋轉(zhuǎn)角度都不變的性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對應(yīng)點 這種以 局部代整體 的作圖方法是平移 旋轉(zhuǎn)作圖中最常用的方法 11 2018 阜新 如圖 ABC在平面直角坐標系內(nèi) 頂點的坐標分別為A 4 4 B 2 5 C 2 1 1 平移 ABC 使點C移到點C1 2 4 畫出平移后的 A1B1C1 并寫出點A1 B1的坐標 2 將 ABC繞點 0 3 旋轉(zhuǎn)180 得到 A2B2C2 畫出旋轉(zhuǎn)后的 A2B2C2 3 求 2 中的點C旋轉(zhuǎn)到點C2時 點C經(jīng)過的路徑長 結(jié)果保留 解 1 如圖所示 A1B1C1即為所求 A1 4 1 B1 2 0 2 如圖所示 A2B2C2即為所求 3 點C經(jīng)過的路徑長是以 0 3 為圓心 以CC2為直徑的半圓長 12 2018 廣西 如圖 在平面直角坐標系中 已知 ABC的三個頂點坐標分別是A 1 1 B 4 1 C 3 3 1 將 ABC向下平移5個單位后得到 A1B1C1 請畫出 A1B1C1 2 將 ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90 后得到 A2B2C2 請畫出 A2B2C2 3 判斷以O(shè) A1 B為頂點的三角形的形狀 無須說明理由 解 1 如圖所示 A1B1C1即為所求 2 如圖所示 A2B2C2即為所求 OB2 OA12 A1B22 以O(shè) A1 B為頂點的三角形的形狀為等腰直角三角形