高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第七節(jié)雙曲線考綱傳真1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單的幾何性質(zhì)3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用4.理解數(shù)形結(jié)合的思想1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線，定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中ca，b，c的關(guān)系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2B.C.D1D依題意，e2，2a，則a21，a1.3(20xx·福州質(zhì)檢)若雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于() 【導(dǎo)學(xué)號：57962406】A11B9C5D3B由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4(20xx·全國卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)A原方程表示雙曲線，且兩焦點(diǎn)間的距離為4.則因此1<n<3.5(20xx·北京高考)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)若正方形OABC的邊長為2，則a_.2雙曲線1的漸近線方程為y±x，易得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性知1.又正方形OABC的邊長為2，所以c2，所以a2b2c28，因此a2.雙曲線的定義及應(yīng)用(20xx·全國卷改編)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)則APF周長的最小值為_ 32由雙曲線方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F(xiàn)1(3,0)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF|PF1|2.所以|PF|PF1|2，從而APF的周長|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因?yàn)閨AF|15為定值，所以當(dāng)(|AP|PF1|)最小時(shí)，APF的周長最小，A，F(xiàn)1，P三點(diǎn)共線又因?yàn)閨AP|PF1|AF1|AF|15.所以APF周長的最小值為1515232.規(guī)律方法1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題：在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”若定義中的“絕對值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用2在焦點(diǎn)三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將|PF1|PF2|2a平方，建立|PF1|·|PF2|間的聯(lián)系變式訓(xùn)練1已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1()A.BC.DA由e2得c2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)(20xx·廣州模擬)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為() 【導(dǎo)學(xué)號：57962407】A.1B1C.1D1(2)(20xx·天津高考)已知雙曲線1(b0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1B1C.1D1(1)C(2)D(1)由焦點(diǎn)F2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或 即第一象限的交點(diǎn)為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.規(guī)律方法1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個(gè)“定位”條件，兩個(gè)“定量”條件“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法若雙曲線的焦點(diǎn)不能確定時(shí)，可設(shè)其方程為Ax2By21(AB<0)2對于共焦點(diǎn)、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設(shè)出恰當(dāng)?shù)男问角蠼馊粢阎獫u近線方程為mxny0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2n2y2(0)變式訓(xùn)練2(1)(20xx·全國卷)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)y21(2)1(1)雙曲線的漸近線方程為y±x，可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4，)，164×()24，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知：a4，b3.故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即1.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)(20xx·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A.B.C.D2(2)(20xx·石家莊調(diào)研)設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線為_. 【導(dǎo)學(xué)號：57962408】 (1)A(2)x±y0(1)如圖，因?yàn)镸F1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)(2)由題設(shè)易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因?yàn)锳1BA2C，所以·1，整理得ab.因此該雙曲線的漸近線為y±x，即x±y0.規(guī)律方法1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置的影響；(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件2雙曲線中c2a2b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系.抓住雙曲線中“六點(diǎn)”、“四線”、“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化，簡化解題過程變式訓(xùn)練3(20xx·全國卷)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A.B2C.DD不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則|BM|AB|2a，MBx180°120°60°，M點(diǎn)的坐標(biāo)為.M點(diǎn)在雙曲線上，1，ab，ca，e.故選D.思想與方法1求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法：(1)定義法：由條件判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡化討論若已知雙曲線過兩點(diǎn)，焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2By21(AB<0)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程bx±ay0，求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為b2x2a2y2(0)與雙曲線1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)2已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”改為“0”即可易錯(cuò)與防范1區(qū)分雙曲線中a，b，c的關(guān)系與橢圓中a，b，c的關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.2雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率e(0,1)求它們的離心率，不要忽視這一前提條件，否則會(huì)產(chǎn)生增解或擴(kuò)大取值范圍3直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不一定相切，也可能直線與漸近線平行