專題九數(shù)學(xué)思想方法高考數(shù)學(xué)以能力立意，一是考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，基本技能；二是考查基本數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和寬度，數(shù)學(xué)思想方法是指從數(shù)學(xué)的角度來認(rèn)識、處理和解決問題，是數(shù)學(xué)意識，是數(shù)學(xué)技能的升華和提高，中學(xué)數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想欄目索引 函數(shù)與方程思想一一 數(shù)形結(jié)合思想二二 分類與整合思想三三 轉(zhuǎn)化與化歸思想四四 一、函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決方程思想的實(shí)質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，以求得問題的解決函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的函數(shù)思想重在對問題進(jìn)行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求解，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系例1(1)已知正四棱錐SABCD中，SA ，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為()A.1 B.C.2 D.3解析解析解析設(shè)正四棱錐SABCD的底面邊長為a (a0)，令y0，得0a4；令y4.故函數(shù)y在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4，)上單調(diào)遞減.可知當(dāng)a4時，y取得最大值，即體積V取得最大值，解析思維升華解析解析設(shè)F(c,0)，A(m，n)，所以b2c23a2c24a2b2，所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，所以c48a2c24a40，解析思維升華思維升華函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式.(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要.(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)有關(guān)理論.(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.思維升華跟蹤演練1(1)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)xf(x)，則()A.2f(1)f(2)C.2f(1)f(2) D.f(1)f(2)解析解析由于f(x)0，0，)在一個周期內(nèi)的圖象，則此函數(shù)的解析式是()解析返回解析解析依函數(shù)圖象，知y的最大值為2，所以A2.二、數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合例2(1)(2015湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_.(0,2)解析解析由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示.則當(dāng)0b2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點(diǎn).解析答案答案解析思維升華思維升華思維升華數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍或解不等式.(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的范圍.(3)構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍.(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系.跟蹤演練2(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是x|x0，xR，且在(0，)上單調(diào)遞增，若f(1)0，則滿足xf(x)0的x的取值范圍是_.解析解析作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可，由圖可知xf(x)0(n1,2,3，)，則q的取值范圍是_.解析解析因?yàn)閍n是等比數(shù)列，Sn0，可得a1S10，q0.當(dāng)q1時，Snna10；由，得1q1.故q的取值范圍是(1,0)(0，).(1,0)(0，)返回解析答案轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想解析解析解析依題意，問題等價于f(x1)ming(x2)max.由f(x)0，解得1x3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3)，同理得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)和(3，)，故在區(qū)間(0,2)上，x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，這個極小值點(diǎn)是唯一的，解析當(dāng)b2時，g(x2)maxg(2)4b8.故問題等價于解第一個不等式組得b1，解析第三個不等式組無解，(2)定義運(yùn)算：(ab)xax2bx2，若關(guān)于x的不等式(ab)x0的解集為x|1x2，則關(guān)于x的不等式(ba)x0的解集為()解析思維升華解析解析1,2是方程ax2bx20的兩實(shí)根，由(31)x3x2x20，思維升華轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用(1)在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等.(2)換元法：是將一個復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法.(3)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化.思維升華思維升華(4)在解決數(shù)列問題時，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.(5)在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f(x)構(gòu)成的方程、不等式問題求解.(6)在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.答案解析解析解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立.由得3x2(m4)x20，則m41，即m5；解析所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為4答案解析返回所以a(t1)2min4，故a的最大值是4.返回