1專題六 解析幾何2 1高考考點 直線與圓錐曲線的位置關系及其應用高考對直線與圓錐曲線的位置關系的考查在選擇題、填空題、解答題中均有出現(xiàn)，直線與圓錐曲線的位置關系是高考考查的重點之一，往往是試卷的“重頭戲”，這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)、直線的基本知識，以及線段的中點、弦長等問題，結合平面向量、導數(shù)、數(shù)列、不等式等是考查的熱點3 2易錯易漏 (1)求解直線與圓錐曲線的位置關系問題時，忽視判別式的作用； (2)未能充分發(fā)揮數(shù)形結合的作用，導致繁雜的計算和低效的解題； (3)對于綜合問題有畏難情緒，解題的步驟不規(guī)范、不完整造成丟分； (4)未能有效地利用數(shù)學思想方法指導解題4 3歸納總結 數(shù)形結合、函數(shù)與方程、待定系數(shù)法、整體化歸等是解題的指導思想一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)這“三個二次”是解題的重要工具在解題過程中要特別注意用等價轉化的方法把幾何問題轉化為代數(shù)(坐標)問題，涉及中點弦可以考慮利用“點差法”5【解析】應注意到點(2,4)在曲線上，所以所求直線為過點(2,4)與對稱軸平行的直線和拋物線的切線，共兩條，因此應選B.1. 過點(2,4)作直線與拋物線y2=8x只有一個公共點，這樣的直線有()A. 1條 B. 2條C. 3條 D. 4條628()1 1A. 2 B. 2,2 2 2C. 1,1 .D . 4,4yxxQQll設拋物線的準線與 軸交于點 ，若過點 的直線 與拋物線有公共點，則直線 的斜率的取值范圍是 ，72222222242182,0 ()(2)82(48)40(48)16011.yxQQxQlyk xlyxyk xk xkxkkkkk 因為，所以為準線與 軸的交點設過 點的直線 的方程為因為直線 與拋物線有公共點，所以方程組有解，即有解，所以，即，【解析】所以828()A. 43. (20113 B. 8C. 8 3 16)D. yxFlPPAlAAFPF廣東增城模擬 設拋物線的焦點為 ，準線為 ， 為拋物線上一點， 為垂足如果直線的斜率為，那么9282,02()( 2)034 366.28B22AFyxFlxP xyAyykyxPFPA 拋物線的焦點為，準線為 ：設， ，則， ，所以；所以析】，故選【解1022 1452_4. _xylABOOA OB 經(jīng)過橢圓的一個焦點作傾斜角為的直線 ，交橢圓于 、 兩點設 為坐標原點，則等于22211221212121211340.2()()411013.33lyxxyxxA xyB xyxxyyOA OBx xy y 依題意知直線 的方程為，代入橢圓，整理得設，則，所以，所以【解析】112222161320()5_.(2011_.)xypypx pABOAB Op若雙曲線的漸近線與拋物線的準線相交于 ， 兩點，且為原點 為哈爾濱六中模擬等邊三角形，則12222242424220216131212()28 38 3()3312228.38 3OApypx pxxyppppppyAOAB OpABxkppp 拋物線的準線方程代入，解得：，所以，由且為原點 為等邊三角形，所以點 、 關于軸對稱且，所以，解得：【解析】13 lClC(y) 1 xax2bxc0a0D0lCD0lCD0l Ca0lCC 1Cl l2判斷直線 與圓錐曲線 的位置關系時，可將直線 代入曲線 的方程，消去一個字母 如得到一個關于 的一元二次方程，則當時，則有， 與 相交；當時，與 相切；當時， 與 相離當時，得到一個一元一次方程，則 與 相交，且只有一個交點，此時，若 為雙曲線，則 平行于雙曲線的漸近線；若 為拋物線，則平行于拋物線的對稱軸需要注意的是，當直線與雙曲線或拋物線只有一個交點時，直線與雙曲線或拋物線可能相切也可能相交14 2122212121221 141 1“” 1 2. 2ABkxxkxxx xyyk 直線與圓錐曲線相交的弦長計算要熟練利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長弦長公式：；對焦點弦要懂得用焦半徑公式處理；對中點弦問題，還要掌握 點差法 15 3. 圓錐曲線方程的求法有兩種類型：一種是已知曲線形狀，可以用待定系數(shù)法求解；另一種是根據(jù)動點的幾何性質(zhì)，通過建立適當?shù)淖鴺讼祦砬蠼猓话闶乔€的類型未知主要方法有：直接法、定義法、相關點法、參數(shù)法、幾何法、交軌法等在求軌跡方程中要仔細檢查“遺漏”和“多余”16 4圓錐曲線是用代數(shù)方法來研究幾何問題，也就是說，它是處于代數(shù)與幾何的交匯處，因此要處理好其綜合問題，不僅要理解和掌握圓錐曲線的有關概念、定理、公式，達到靈活、綜合運用，還要善于綜合運用代數(shù)的知識和方法來解決問題，并注意解析法、數(shù)形結合和等價化歸等數(shù)學思想的應用17題型一 直線與圓錐曲線的位置關系【例1】點A、B分別是橢圓 長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PAPF.(1)求點P的坐標；(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值2213620 xy18 22226,00,4()(6)(4)136206403291806.230253 5 3()2213.2AFP xyAPxy FPPxyxyxxyxxxxyxy 由已知可得點，設點， ，則， ， 由已知可得，則，解得或由于，故只能取，于【解析】所以點是的坐標是，19 222222360.|6|,0.2|6|6662.2()54924420(15)15.992966.22APxymM mMAPmmmmxyMddxyxxxxmxd直線的方程是設點，則到直線的距離是于是，又，故解得橢圓上的點 ， 到點的距離 滿足由于，所以當時， 取得最小值20【點評】直線與圓錐曲線的位置關系最為常用的方法就是函數(shù)與方程、消元轉化的方法，而準確的計算能力是成功的保證21題型二 對稱問題1,02212lxCAByxABCllC過點的直線 與中心在原點， 焦點在 軸上且離心率為的橢圓 相交于 、 兩點,直線過線段的中點,同時橢圓 上存在一點與右焦點關于直線 對稱，試求直線 與橢圓【例2】的方程22222222221122222222112222221212121212120000021222.22()()2222()2()0.2)21(.(ABcabeaaabcbxybA xyB xyxybxybyyxxxxyyxxyyxABxykyxy ：由，得，從而，設橢圓的方程為，在橢圓上則，兩式相減得，即設線【解法段的中點為，則又析】 ，解0000011)1222xyxyxy 在直線上，所以，于是，2322222211.,0()11.11221,112 1298919169. 1168ABklyxblxyyxxbybxyxbbbbalyyxbC 故，所以直線 的方程為設右焦點關于直線 的對稱點為，則， 解得由點在橢圓上，得，則，故所以橢圓 的方程為，直線 的方程為2422222222222222122121212221222.2211242204121122.122cabeaaabcbCxyblyk xlCkxk xkbkxxkyyk xk xkk xxkk ：由，得，從而，設橢圓 的方程為，直線 的方程為將直線 的方程代入橢圓 的方程，得，解，則故法2512122221()2221201.2121200( ,0)01(11)1.xxyylyxABkkkkkkyklyF clFCkklyxx 直線 ：過線段的中點，則，解得或若，則直線 的方程為，焦點關于直線 的對稱點就是點 本身，不可能在橢圓 上，所以舍去，從而，故直線 的方程為，即以下同法，26【點評】解決對稱問題要抓住“一中一垂”，即一個中心、一個垂直條件來解題法1、法2是對稱問題常用的解題方法和技巧，應細致研讀和認真體會解題中還要注意的是設直線方程時要對直線的斜率是否存在進行討論27題型三 最值與范圍問題 22222(12)21 0123AxyCabbaBDCBDABDCABDABAD如圖，已知點，是離心率為的橢圓 ：上的一點斜率為的直線交橢圓 于 、 兩點，且 、 、 三點不重合求橢圓 的方程；的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，【例請說明理由問：直線、直線的斜率之和是否為定值？說3】明理由28 22222222(12)212112.42212.ceACaabcbaabcxy因為，點，在橢圓 上【解析】，即，且，所以，所以 22222222442 24086402 22 2. 2BDyxbyxbxyxbxbbb 設直線的方程為，所以，化簡得，所以，解得291122212122221222()()24. 2( 2 2 2 2)22464861238.42|23128224.ABDB xyD xybxxbx xbBDxxbbdAyxbdSBD dbbABDb 設，則， 所以設 為點 到直線的距離，所以，所以，當且僅當時，的面積最大，最大值為，30 112212121212121212121212()()221122221122 2*12*22 2010.3ADABADABD xyB xyyykkxxxbxbxxxxbx xxxxxbx xxxkkABAD設， 將中式代入式整理，得，即故直線與的斜率之和是定值31【點評】建立適當?shù)哪繕撕瘮?shù)是求解最值和不等關系問題的關鍵本題求解中對圖形面積的巧妙分解簡潔地建立起關于m，x0，y0的目標函數(shù)，并通過整體消元和均值不等式即可得解32 221,0351122CxyCABABABxMMA MBM 已知定點及橢圓，過點 的動直線與橢圓相交于 、 兩點若線段的中點的橫坐標是，求直線的方程；在 軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請【備選例題】說明理由33 2222221122422212221221135316350.()()364 31 350.63112313.223311ABAByk xyk xxyykxk xkA xyB xykkkkxxkABxxkkk 依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，將代入，消去 整理得設，則由線段的中點的橫坐【解析標是，得，解得，滿足條件】所以310310.ABxyxy 直線的方程為或34 2212122212122121222221212,01635. 313211.( )11xM mMA MBABxkkxxx xkkMA MBxmxmy yxmxmkxxkx xkmxxkm 假設在 軸上存在點，使為常數(shù)當直線與 軸不垂直時，由，所以知352222222261531114231233 311614 2.33 31746140.39mkMA MBmkmkmmkmmmkMA MBkmmMA MB 將代入，整理得又因為是與 無關的常數(shù)，所以，此時3622( 1) ( 1)3374.37(0)93(ABxABmMxMMA MBA MB 當直線與 軸垂直綜上，在 軸上存在定點，時，此時點 、 的坐標分別為，、 ，當時，亦有使為常數(shù)