4 1.816.ABCDBCBACADCACBCCD 如圖，在中，點(diǎn) 在線段上，那么V2644.16CCBACADCACCDADCBACBCCAACCDBC 因?yàn)?，所以，所以，所以解析：VV4 cm9 cm2.直角三角形中，兩直角邊在斜邊上的射影分別為和，求它的較短的直角邊的長2904 cm9 cm4913 cm4 132 13 cmABCACBCDABADBDABACAD ABAC設(shè)中，則 由射影定理得， 所以解析：V3.356ABCDEBCDFACAE ACDEBFVPP如圖，中，求的長度635101064.DEAEBCACBCBCBF依題意得，即，所以，所以解析：212.14cm. ABCDAE EBAEFCDF如圖，平行四邊形中， 若的面積等于，則的面積等于多少？VV22131 cm9 cm .AEFCDFAE CDAEFCDFVVVV顯然，與為相似三角形又，且的面積為，所以的面積等于解析：25.DEBCEFDCADAF AB如圖，求證：PP2.ADAEDEBCABACAFAEEFDCADACADAFADAF ABABAD因?yàn)?，所以又因?yàn)椋越?，所以，即析：PP平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理定理:.1ABCDDEBFCDPDCQPQ如圖，中，求證【例】 【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以FDBC，BEDQ， 所以 ， 因?yàn)?, 所以 ,即 ，即 .又因?yàn)镈E=BF, 所以 , 所以 .CDBFCQBQ PEPBPDPQ PEPBPDPQ PEPDPQPBPDPQ EDBQPDPQ PDEDPQEQ PDBFPQBQ CDPDCQPQ 由于條件中有平行線，故考慮平行線分線段成比例定理及其推論，利用相等線段和等比性質(zhì)，證明線段成比例.AABC.1D如圖，已知是的內(nèi)角平分線求證【式練習(xí) 】：變ABBDACCDCCEADBAE.CEAD.EBADCADACEBADCADEACEACAE.過點(diǎn) 作，交的延長線于點(diǎn)因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以，所以【證】明ABBDAECDABBDACCD 相似三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)性質(zhì) .( ):;( )2.FCDABCDBCADACDEBCDEABEECADFABCFCDSBCDE12510如圖，已知中，【例 】是邊的中點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn) ，與相交于點(diǎn)求證若，求的長 【解析】(1)證明：因?yàn)镈EBC，D是BC的中點(diǎn)，所以EB=EC，所以ABC=ECB. 又因?yàn)锳D=AC，所以ADC=ACB.所以ABCFCD. (2)過點(diǎn)A作AMBC， 垂足為點(diǎn)M. 因?yàn)锳BCFCD， BC=2CD，所以 2()4ABCFCDSBCSCD 又因?yàn)镾FCD =5，所以SABC =20.因?yàn)镾ABC = BC AM , BC=10,所以 20= 10 AM , 所以 AM=4.又因?yàn)镈EAM，所以 .因?yàn)?,所以 , 所以 .1212DEBDAMBM 151,5222DMDCBMBDDM BDBC 55452DE 83DE 本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)滿足定理的條件.第(1)問是利用“有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”，找出兩角對應(yīng)相等；第(2)問是首先利用相似三角形的性質(zhì)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及中點(diǎn)求出DE的長度. 【變式練習(xí)2】如圖，AE、AF分別為ABC的內(nèi)、外角平分線，O為EF的中點(diǎn). 求證：OB OC=AB2 AC2.【解析】因?yàn)锳E、AF分別為ABC的內(nèi)、外角平分線，所以AEAF. 又因?yàn)镺為EF的中點(diǎn), 所以O(shè)EA=OAE. 因?yàn)镺AE=CAE+OAC，OEA=ABE+BAE， 而BAE=CAE，所以O(shè)AC=ABE. 因?yàn)锳OB為公共角, 所以O(shè)ACOBA. 所以SOBA SOAC =AB2 AC2. 又因?yàn)镺AB與OCA有一條公共邊OA, 所以SOBA SOAC =OB OC， 所以O(shè)B OC=AB2 AC2.相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用【例3】小明欲測量一座古塔的高度，他站在影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m已知小明的身高是1.6 m，他的影子長度是2 m. 12圖中與是否相似？為什么？求古塔的高度BDEBACAC 1BDEBAC.DEBCBCBED=BCA=9.B=BBDEBAC.21.BE=2 mBC=2+18=2 mDE1.6 mAC=16 m.AC16 m.ACBCACBEDEAC002021 6因?yàn)?，所以又因?yàn)椋杂芍驗(yàn)?，【解析，所以，所以，即】古塔的高度?實(shí)際生活中有很多類似的測量題，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形知識求解后再回到實(shí)際問題中4.8 m4 m2 m3某路燈的高度是，一同學(xué)由路燈的正下方向前步行，發(fā)現(xiàn)自己的影子長，求這個同【變式練習(xí) 】學(xué)的身高DEAC如圖，表示該同學(xué)的身高，表示路燈【解析】的高度DE/AC.BE=2 mBC=2+4=6 mAC=4.8 m64.8DE=1.6 m21.6 m.BCACBEDEDE因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，所以，即這個同學(xué)的身高是【解析】直角三角形射影定理直角三角形射影定理的應(yīng)用的應(yīng)用 334Rt ABCACBCDABDDEACEDFACAEBCFBCBF90如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn) ，于點(diǎn) ，求證:=【例 】：222222423423 BDBF BC .,ACAD ABBCBD AB ADAE ACBCADBDACACADAE ACACAEBF BCBFBCBDBC由直角三角形射影定理，知，所以所以所以【解析】 題目符合直角三角形射影定理的條件，選擇合適的直角三角形是解決問題的關(guān)鍵. 【變式練習(xí)4】如圖，已知BD、CE是ABC的兩條高，過點(diǎn)D的直線交BC和BA的延長線于G、H ， 交 C E 于 F ， 且 H = B C F . 求 證 ：GD2=GF GH. 【變式練習(xí)4】因?yàn)镃EAB，所以H+HFE=90.又因?yàn)锽CF=H, HFE=CFG，所以BCF+CFG=90.所以FGGC，所以BGHFGC.所以 , 即BG GC=GF GH. 又因?yàn)镈G2=BG GC(直角三角形射影定理)，所以DG2=GF GH.BCGHGFGC 1. ABC中，AD是角平分線，AB=5，AC=4，BC=7，求BD的長度.7547353599設(shè) ，則 因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，所以，解得 所以的長度為【解析】BDxDCxADABBDxACDCxxBD 2.如圖，E是 ABCD的邊BC的中點(diǎn)，若BD=9,求BF的長度. 【解析】因?yàn)锽EAD, 所以 . 設(shè)BF=x, 則 FD=9-x, , 所以 ，解得 x=3. 所以 BF 的長度為3.1122BEBCAD 192xx BFBEFDAD 2Rt.3.(2011)ABCCDABCEBCDABEAEAD ABV已知中，為斜邊上的高，平分，交徐州期中卷于點(diǎn)求證：22.ABCCDABACAD ABBACDCEBCDDCEECBACEACDDCEAECBECBACEAECACAEAEAD AB V因?yàn)闉橹苯侨切?，且，所以，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以因?yàn)椋?，：所以所以解? / /144.ADEEFCDABCABDEBCACEEFABBCFSSBFED如圖，已知點(diǎn) 是中邊上的一點(diǎn)，且交于點(diǎn) ，且交于點(diǎn) ，又， ，求四邊形的面積.141213194.ADEEFCADEABCADEEFCSSAE ECAE ACSSBFED由題意易知又，所以，所以，所以四邊形的面【】積是解析 5.如圖，在ABC中，AB=AC， BDAC，點(diǎn)D是垂足. 求證： BC2=2CD AC. 【解析】過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E， 則CE=BE= BC. 由BDAC，AEBC, 得AEC=BDC=90. 又因?yàn)镃=C， 所以AECBDC, 所以 ，所以 , 即BC2=2CD AC.12ECACDCBC 12BCACCDBC 1利用平行線等分線段定理解題時要注意弄清題目所給的條件常見的題型中，多與三角形的中位線、梯形的中位線相聯(lián)系，因此取中點(diǎn)、作平行線是常用技巧另外，要注意靈活運(yùn)用三角形、平行四邊形、等腰梯形的有關(guān)定理及性質(zhì) 2.相似三角形的性質(zhì)把相似三角形的高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角的平分線，以及周長、面積都與相似三角形的對應(yīng)邊的比(相似比)聯(lián)系起來.利用相似三角形的性質(zhì)可得到線段的比例、線段的平方比或角相等，有時還可用來計(jì)算三角形的面積、周長和邊長. 3.運(yùn)用直角三角形射影定理時，要注意其成立的條件，要結(jié)合圖形去記憶定理.當(dāng)所給條件具備定理的條件時，可直接運(yùn)用定理，有時也可通過作垂線使之滿足定理的條件，再運(yùn)用定理.在處理一些綜合問題時，常常與三角形的相似相聯(lián)系，要注意它們的綜合運(yùn)用.