能充分利用幾何性質(zhì)判定直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，能熟練地分析求解與圓的切線和弦有關(guān)的綜合問題，提升運(yùn)算和推理能力40810 5 dr因?yàn)?，所以直線解析：與圓相交224340100 A BC 1. Dxyxy直線和圓的位置關(guān)系是相交相離相切無(wú)法確定22222222(21)3450 A213 B213C219 D192.2xyxyxyxyxy以點(diǎn) ，為圓心，且與直線相切的圓的方程為22|3 2C.415| 334r 解析： 故選，22122264120142140 A BC 3. DCxyxyCxyxy兩圓：與圓：的位置關(guān)系是相交內(nèi)含外切內(nèi)切22122212321713656 1 D.CxyCxyC C由已知，圓：，圓：，則解，析：故選223,15.|32|552 4 5.CrCldrd由已知，圓心，半徑又圓心 到直線 的距離，則弦長(zhǎng)解析：222062150 4 .xyCxyxy直線被圓：所截得的弦長(zhǎng)等于2221,22150 5. .ACxykxykk過定點(diǎn)可作兩直線與圓：相切，則 的取值范圍是2222441501241508 38 332.33ACkkkkkk 解由已知可知定點(diǎn) 在圓 外，則，析： 解得或 222220(0).1_ () 1 AxByCABxaybrd設(shè)直線的方程為，圓的方程為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系相切圓與直線 相離幾何法 相交 22202()0 0 ()0 AxByCxaybrxy 判別式法：由方程組得關(guān)于 或 的一元二次方程，則判別式代數(shù)法 34直線與圓相離時(shí)，圓上各點(diǎn)到直線的距離中的最大值和最小值的求法可用線心距法直線與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)的求法可利用弦心距、半徑及半弦長(zhǎng)組成的直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解 2220022200222211112222221()_()_.2_()()300 xyrP xyxyrP xylsrdlsCxyD xE yFCxyD xE yF過圓上一點(diǎn)，的切線方程為；過圓外一點(diǎn)，作圓的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在直線的方程為圓的弦長(zhǎng)為弦心距 ；圓的切線長(zhǎng)為點(diǎn)到圓心的距離 公共弦所在直線的方程：圓 ：，圓：121212.0.DDxEEyFF若兩圓相交，公共弦所在直線的方程為 123()1_2_3 _4 _5 _ _.Rr RrC CddRrdRrRrdRr兩個(gè)圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為 、，圓心距，則兩圓的位置關(guān)系如下：外切： ； 內(nèi)切： ；內(nèi)含：； 外離：；相交：2222000022|2AaBbCdrdrABdrx xy yrx xy yrrddRrdRr； ； ；相交；相切；相離； ； ； ； ； 【要點(diǎn)指南】； 2284,01.123CxyPlPkklC已知圓 ：及定點(diǎn)，直線 過定點(diǎn) ，斜率為 ，試問 在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，該直線 與已知圓 ：相切； 相交； 例相離題型一題型一 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 222440.0,02 2.|004 |12 21|004 |22 21.11|01.1104 |21.32lyk xkxykkklCkkklCkkklCkkkkk 由已知得直線 的方程為即又圓心為，半徑為若 與圓 相切，則，得若 與圓 相交，則，得若 與圓 相離，則，解 或得析： 直線與圓的位置關(guān)系的探究，既可利用幾何性質(zhì)，又可運(yùn)用方程思想，問題求解應(yīng)視題設(shè)情境評(píng)析：恰當(dāng)選用 22122(21).1123C xyPPCABPAPBPAB已知圓 ：，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ，過點(diǎn) 作圓 的切線，切點(diǎn)為 、求直線、的方程；求過 點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng)；求直素線材 ：的方程 2212210.1,2|3|221671507010171.Pyk xkxykkxkkkyxykk 如圖，設(shè)過 點(diǎn)的圓的切線方程為，即因?yàn)閳A心到切線的距離為，即，所以，解得或，所以所求的切線方為或程解析： 2222222.8715012 9()1225 5100,112 2.330.2232PCCARt PCAPAPCCAPCxyAxyxyBxyAxyB 連接，在中，所以過 點(diǎn)的圓 的切線長(zhǎng)為由，解得， 又由，解得，所以直線的方程為解析：221222 2124()ABCD2.CCxyCxyC若動(dòng)圓 與圓：及圓：分別相切，且一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切，則動(dòng)圓 的圓心的軌跡是 .兩個(gè)橢圓.一個(gè)橢圓及一個(gè)雙曲線的一支.兩個(gè)雙曲線的各一支.一例個(gè)雙曲線的兩支題型二題型二 圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系12122112121233D.CrC CrC CrC CrC CrC CC CC CC CC解析： 設(shè)動(dòng)圓 的半徑為 ，依題意得，或，所以或，故 點(diǎn)的軌跡為雙曲線的，選兩支22 xy判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去評(píng)，析：項(xiàng)得到22221520(2) .OxyOxmymRABAAB若：與：相交于 、 兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn) 處的切線互相垂直，則線段的長(zhǎng)度是素材112220,0,053 5.( 5)(2 5)255525.024OO mmAOAO AmmAB 由題意知，且因?yàn)閮蓤A在點(diǎn) 處的切線互相垂直，所以，所解以有，所以析： 22 0,5412240.14 3.23PCxyxylPClPC已知點(diǎn)及圓：若直線 過點(diǎn) 且被圓 截得的線段長(zhǎng)為，求 的方程；求過 點(diǎn)的圓 的弦的中點(diǎn)的軌例跡方程題型三題型三 圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題 4 32 3 14 2.ABDABCDABADACRt ACDCD如圖所示，是線段的中點(diǎn)，在中，可得解析：2550.| 265|21334200.40. 034200.llklykxkxykCABkklxylxlxxy當(dāng) 的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線 的斜率為 ，則直線 的方程為，即由點(diǎn) 到直線的距離，得，此時(shí)直線 的方程為又直線 的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為所解析：為以所求直線 的方程或 22()0(26) 211325.)0(00PCD xyCDPDCD PDxyxyxyxy 設(shè)過 點(diǎn)的圓 的弦的中點(diǎn)為， ，則，所以，所以，化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為解析： 1122121222200222111212222121222()()1()02( ) ABA xyB xyOAOB Ox xy yABxyxyrxyryyxxkxxyyxyr在研究弦長(zhǎng)及弦中點(diǎn)問題時(shí)，可設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，、，若為原點(diǎn) ，則可轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系等代數(shù)方法簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，這在解決垂直關(guān)系問題中是常用的；若弦的中點(diǎn)為，圓的方程為，則所以評(píng)析：00 xy，該法叫平方差法，常用來(lái)解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題 223,022312.02.MCxyxylMllCl已知點(diǎn)，圓 ：，直線 過點(diǎn)，在下列條件下，求直線 的方程直線 與圓 相切；直線 被圓截得的弦長(zhǎng)為素材2230112.lkklkxykxy設(shè)所求直線 的斜率為 ，顯然 存在則 的方程為，圓的方程可化為解析： 2222222| 1 2 |621.21| 1 2 |2()( )(66( 1)3( 1)02266( 1)3( 1)0.220431202)2140.32.1llCkkkkkkxyxylyxyk 因?yàn)橹本€ 與圓 相切，所以，解得由已知得，解解析：故直線 的方得或程為或故直線 的方程為或 利用數(shù)形結(jié)合的思想，運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系，依據(jù)待定系數(shù)評(píng)析：法求解 224(0)112132xyyxlABCDADBCl已知半圓，動(dòng)圓與此半圓相切，且與 軸相切求動(dòng)圓圓心的軌跡；是否存在斜率為 的直線備，它與中所得軌跡從左至右順次交于 、 、 、 四點(diǎn)，且滿足？若存在，求出 的方程；若不存在，說(shuō)選例題明理由 222222222222().224441 (0)224441 (0)1M xyMNxNMOMNxyyxyyyxyyMOMNxyyxyyyxyy 設(shè)動(dòng)圓圓心， ，作軸于若兩圓外切，所以，化簡(jiǎn)得，所以 若兩圓內(nèi)切，所以，化簡(jiǎn)得，所以解析：2241 (0)41 (0)xyyxyyx 綜上所述，動(dòng)圓圓心軌跡方程是 及 ，其軌跡為兩條拋物線位于 軸上方的部分作簡(jiǎn)圖如圖所示 222222141341.11334(1)4(1)341212034212120.llyxbxyADxyBCyxbyxbxyxyxxbxxb 假設(shè)直線 存在，可設(shè) 的方程為，依題意，它與曲線交于點(diǎn) 、 ，與曲線交于點(diǎn) ，即由，與得，解析： 2222211311.32244 121244 1212( )4( )333322102.33341(2)(2)ADBCADBCADADxxBCxxADBCxxxxbbbblxxxy 又，因?yàn)椋?，即，解得，把代入方程得，因?yàn)榻馇€中橫坐標(biāo)的取值范析： 所以這樣的直圍為，線，不存在 () 解決與圓有關(guān)的綜合問題時(shí)，一方面充分利用圓與直線的直觀圖形以及平面幾何知識(shí)來(lái)解決問題；另一方面還要注意利用一元二次方程的有關(guān)結(jié)論 判別式，韋達(dá)定理等評(píng)析：來(lái)解題 00000012()10.xyyyk xxkxykxyk處理直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系常用幾何法，即利用圓心到直線的距離，兩圓心連線的長(zhǎng)與半徑和、差的關(guān)系判斷求解求過圓外一點(diǎn)，的圓的切線方程：幾何方法：設(shè)切線方程為，即由圓心到直線的距離等于半徑，可求得 ，切線方程即可求出 000020yyk xxykxkxyxk 代數(shù)方法：設(shè)切線方程為，即，代入圓的方程，得一個(gè)關(guān)于 的一元二次方程，由，求得 ，切線方程即可求出以上兩種方法只能求斜率存在的切線，斜率不存在的切線，可結(jié)合圖形求得 2222312.24 1.4ABABABrdABxxxxk 求直線被圓截得的弦長(zhǎng)幾何方法：運(yùn)用弦心距、半徑及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)注意利用圓的幾何性質(zhì)解題如：圓心在弦的垂直平分線上，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，切割定理等在考查圓的相關(guān)問題時(shí)，常結(jié)合這些性質(zhì)一同考查，因此要注意靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)解題0,1(2)ABmABxm已知兩點(diǎn)，如果經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn) 且與 軸相切的圓有且只有一個(gè)，求 的值及圓的方程222222222222222222121440.044 140250.2500.044052.252()2xaybbabbABambbbm aammmmmm mmmmmmaaabxy 設(shè)所求圓的方程為，把點(diǎn) 、 的坐標(biāo)代入方程得，消去 ，得由，得，整理得因?yàn)椋园汛?，得，所以，得所以圓為錯(cuò)方程解： 的25( ) .210m本題錯(cuò)誤在于忽略了的情況利用一元二次方程根的判別式 求解時(shí)，易忽略應(yīng)用判別式 的條件，該條件是二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，故二次項(xiàng)系數(shù)含字母時(shí)，需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分錯(cuò)解分析：類討論2222222222222(1)(2)()1440.( )144011111.xxxaybbABabbbambbm aammmaabxy由于所求的圓與 軸相切，圓心到 軸的距離等于半徑，所以設(shè)圓的方程為，把 、 的坐標(biāo)代入方程，可得，消去 ，得當(dāng)時(shí)，方程為，所以，圓的方程為正解：2222222222222( )1044 140250.2500.011154402.25152()( ) .225502()( ) .22mmmmm mmmmxymmmmayxaxyab 當(dāng)時(shí)，由，得，整理得因?yàn)椋园汛?，得，所以，正解：故?dāng)時(shí)，所求圓的方得所以圓的方程為程為；當(dāng)時(shí)，所求圓的方程為