1了解直線的方向向量與平面的法向量的概念；能用向量語言表達(dá)線線、線面、面面的垂直與平行關(guān)系；能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理) 2能用向量法求空間角、空間距離，體會向量法在研究立體幾何中的工具性作用 A / / / B 0C D / /0/ /1. aananaa naanaana已知直 的方向向量 ，平面 的法向量，下列成立的是 ( )若，則若，則若 / ，則若，則C. D0.aaa n由方向向量和平面法向量的定義可知應(yīng)選對于選項 ，直線平面 也滿足解析：C A B C D 其其中中正正確確的的是是 A1212121212/ ;/02.0/ .abnnnna bnnabnnabnna b兩個別為給結(jié)論:則則則則已已知知 、 是是不不重重合合的的平平面面，其其方方向向向向量量分分、 ，出出下下列列若若，若若，；若若，；若若，2,4,01,3,0 A 135 B 90 C 75 D 603.ABCABBCABC 則在在中中，已已知知，( 24,0)1,3,0BABC 因因， ， ，135A.ABC選所所以以，所所以以2122=22 510A4 11sin| cos|33l設(shè)為則n anana解解析析：與與 所所成成角角， ， 21212(1,22)( 2)4.,3llmllm 設(shè)為為則ab的的方方向向向向量量， 的的方方向向向向量量，若若，等等于于.4,1,1( 23, )53lla 個為線個為則為na若若平平面面 的的一一法法向向量量，直直的的一一方方向向向向量量，與與 所所成成角角的的正正弦弦值值4 1133 _()_( )= ,_112lAlllABlPt 線這條線對應(yīng)線顯條線個線應(yīng)線間線線點線點線則對線點線實數(shù)這樣應(yīng)直直的的方方向向向向量量就就是是指指和和直直所所或或共共的的向向量量，然然一一直直的的方方向向向向量量可可以以有有直直方方向向向向量量的的用用利利用用直直的的方方向向向向量量，可可以以確確定定空空中中的的直直和和平平面面若若有有直直，是是直直上上一一，向向量量 是是 方方向向向向量量，在在直直上上取取于于直直上上任任直直的的方方向向向向量量及及其其用用意意一一，一一定定存存在在，使使得得，aa平平行行無數(shù)無數(shù)APtAB Aall點 和向量 不僅可以確定 的位置，還可具體表示出 的任意點( )()_aaOabPaxyOPOabaa 空間中平面 的位置可以由 上兩條相交直線確定，若設(shè)這兩條直線交于點 ，它們的方向向量分別是 和 ， 為平面 上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對， ，使得，這樣，點與方向向量 ， 不僅可以確定平面 的位置，還可以具體表示出 上的任意點xyab 1_2_2_AaaA所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平 面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有 個，它們都是向量在空間中，給定一個點 和一點向量 ，那么以向量 為法向量且平面的法向經(jīng)過點 的平面是量確定的無數(shù) 共線 唯一 111112222212121212()() _ _ _ 3_ labclabcllll直線 的方向向量， ，直線 的方向向量為， ， 如果，直線方向向量與平面法向量那么； 如果，那么在確定直線、平面位置關(guān)系中的；應(yīng)用 uuuuuu111222()()abcabc， ， ，121 21 20a abbc c111222111112222212121()()0 _ _()() _labcaabclalakaabcaabcaauuk 直線 的方向向量為， ，平面 的法向量為， ， 若，則； 若，則； 平面 的法向量為， ，平面的法向 量為， ， 若，則2ununu nununuuuu121212_0 _aa； 若，則uuuu121 21 20a abbc c111222()()abck abc， ， ，111222()()abck abc， ， ，121 21 20a abbc cPACABCABCACEFOPAPBACAC16PAPC10.GOCFG / /BOE. 如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形， ， ， 分別為，的中點，設(shè)是的中點，證明：平面 例1 題型一 利用空間向量證明平行問題要證線面平行，可考慮，直線的方向向量與平面的法向量垂直，且直線不在該平面內(nèi)分析： OPPAPCABBCPOACBOACPACABCOOBOCOPxyzOxyz.如圖，連接，因為，所以，又平面平面，所以可以以點 為坐標(biāo)原點，分別以，所在直線為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系證明： O 0,0,0A(08,0)B 8,0,0C 0,8,0P 0,0,6E(04,3)F 4,0,3G 0,4,0OB= 8,0,0 ,OE(04,3)BOE(xyz)OB0 x04y3z0OE0y3z40,3,4FG( 4,4 nnnn 則，由題意，得因為，設(shè)平面的一個法向量為， ， ，則，即，取，則，所以由， 3)FG0.FGBOEFG / /BOE.n ，得又直線不在平面內(nèi)，所以平面 評析：證明直線與平面平行，轉(zhuǎn)化為驗證直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為零；證明平面與平面平行，轉(zhuǎn)化為驗證這兩個平面的法向量共線11111111 ABCDA B C DMNC CB CMN / /A BD1. 如圖所示，在正方體中，、 分別是、的中點，求證：平面素材11DDADCDDxyz111M(0,1)N(1,1)22D 0,0,0A 1,0,1B 1,1,01 ：如圖所示，以 為原點，、所在直線分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為 ，則可得， ， ， 證明，方法，1111MN(0) DA1,0,1 DB1,1,022A BDn(xyz)xz0DA0DB0 xy0 x1y1z1(111) 于是， ， ，設(shè)平面的法向量是， ， 則，且，可得取，得，所以， ，nnn方法方法2 2：111MN / /DAMNA BDMN / /A BD. 所以，又因為平面，所以平面1111MN(0) (111)0MN.22MNA BDMN / /A BD.nn Z Z又， ， ，所以又因為平面，所以 PABCDABCBCD90ABBCPBPC2CDPBCABCD.PABDPADPAB.12 如圖所示，已知四棱錐的底面是直角梯形，側(cè)面底面證明：；平面平 面 例2題型二 利用空間向量證明垂直問題 BCO.PBCABCDPBCPOABCD.1取的中點因為平面平面，為等邊三角形，所以底面證明： BCOBCxOAByOPzCD1ABBC2PO3.以的中點 為坐標(biāo)原點，以所在直線為 軸，過點 與平行的直線為 軸，直線為 軸，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，則， A(12,0)B 1,0,0D( 11,0)P(0,03)BD1, 2,0 ,PA1, 2,3BD PA21120(3)0PABD.PABD. 所以， ，所以，所以，所以 所以 13PAMDMM( , 1)2233DM(0)(1,03) PB(1,03)2233DM PA102(3)022DMPADMPA.2 取的中點，連接，則，因為， ，所以，所以，即33DM PB100(3)022DMPBDMPB.PAPBPDMPAB.DMPADPADPAB 又，所以，即又因為，所以平面因為平面，所以平面平面評析：直線與直線垂直，只需證明它們的方向向量的數(shù)量積為0；直線與平面垂直，只需證明直線的方向向量和平面的法向量共線，或證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直；平面與平面垂直，只需證這兩個平面的法向量的數(shù)量積為0. 素材2 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點.證明:平面AED平面A1FD1;則DA DE證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xy不妨設(shè)正方體的棱長為2,則D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).設(shè)平面AED的法向量為n1=(x1,y1,z1), n1 =(x1,y1,z1)(2,0,0)=0 n1 =(x1,y1,z1)(2,2,1)=0,11111111112x0,2x2yz0.y1(0,12)A FD0,2,10AEDA FD .122nnnn所以令，得，同理可得平面的法向量因為，所以平面平面 1ABCDA BC DAPBQb 0b1PQEF/ /A DPQGH / /AD .PQEFPQGHPQEFPQGHD EPQEF45D E123PQGH 如圖，在棱長為 的正方體中，截面，截面證明：平面和平面互相垂直；證明：截面和截面的面積之和是定值，并求出這個值；若與平面所成的角為，求與平面所成角的 例3正弦值題型三 用坐標(biāo)法解決立體幾何中的綜合問題 DDADCDDxyzDxyz.DF1bA 1,0,0A 1,0,1D 0,0,0D 0,0,1P(1,0b)Q(1,1b)E 1b,1,0F 1b,0,0G b,1,1H b,0,1 以 為原點，射線、分別為 、 、軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由已知得，故， ， ，解析： PQ0,1,0 PF( b,0b)PHb1,0,1b AD1,0,1A D(11,01) 證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得， EF(01,0)EF/ /PQ,EFPQ .PFPQPQEFPQGHPH2 1bPF2b,PHPF2| PQ| 1PQEFP2QGH 證明：因為，所以又，所以四邊形為矩形同理，四邊形為矩形在所建立的坐標(biāo)系中可求得，所以又，所以截面和截面的面積之和為，是定值 DEAD 45DE(1b,11) AD1,0,1 ,DE ADb22221b 22| DE | AD |2b111b. ,DE(11)221b 22AD( 1,01)D EPQG3H 由已知得與成角，又，可得即解得所以， ，又，所以與平面所成角的正弦值為1122sincos DE,A D3622 評析：(1)利用平面的法向量證明面面垂直；(2)利用空間向量的夾角公式解決線線角、線面角 P-ABCDPAABCDPB45ABCD1ABCBAD90PABCAD.2PACPCDPDECEP12ABE 如圖，四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，求證：平面平面；在棱上是否存在一點 ，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說素材3明理由 PA1.BCPA1AD2.PAABCDPBABCDPBA45AB1.ABCBAD90CDAC2.ACCD.PACDPAACACDP1AC.CDPCDPACPCD. 證明：設(shè)由題意， 因為平面，所以與平面所成的角為，所以 由，易得 由勾股定理逆定理可得 又因為，所以平面 又平面，所以平面平 析：面 解 ECE / /PAB.ABADAPxyzPA1P 0,0,1C 1,1,0D 0,2,0E(0yz)PE(0yz1)PD(0,21) PD / /PEy12 z102 存在點 ，使平面分別以、所在直線為 軸、 軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如右圖設(shè)，所以，設(shè)， ， ，則， ，而，所以，AD0,2,0PABCE( 1y1z)CE / /PABCEAD( 1y1z)0,2,00y1zEPDECE / /PABEPD 因為是平面的法向量，又， ，故由平面，有，所以，所以，代入，得，所以 是的中點所以存在 點使平面，此時 為的中點 PABCDABCDPDABCDPDDCEPCEFPBF.1PA / /EDB2PBEFD3PD1DF. 如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面， 是的中點，作于證明：平面；證備選例題例明：平面；證，求 1PADEB2PBEFD3DF.證內(nèi)條線證內(nèi)兩條線間兩點間明平行于平面的某一直；明垂直于平面的相交直；用空的距離公式求分析： ACBDOOE.APCEPCOACAP / /OEPA / /EDB.1 連連則為點為點接交于 ，接在中，的中，的中，所以，所以平面解析： DDAxDCyDPz| AD| 11 1P 0,0,1B 1,1,0E(0)D 0,0,02 21 1PB DE(1,11) (0)02 2PBDEPBEFDEEFEPBEFD.2 明：以原，建立空直角坐系，且令， ，所以，所以又因，所以平面證為點為 軸為 軸為 軸間標(biāo)則為 222BFtBPF(1t,1tt)PBEFDPBEF.EF(1ttt ) PB EF0112(1,11) (1ttt)0t2231126DF33333 ， 因平面，所以因， ，即，所以，所以設(shè)則為為 1 用向量知明立體幾何有種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的算行判；另一種是用向量的坐表示幾何量，共分三步：識證問題兩運進(jìn)斷標(biāo) 12(3)建立立體形與空向量的系，用空向量或坐表示中所涉及的、面，把立體幾何化向量； 通向量算，研究、面之的位置系； 根據(jù)算果的幾何意解相圖間聯(lián)間標(biāo)問題點線問題轉(zhuǎn)為問題過運點線間關(guān)運結(jié)義來釋關(guān)問題a / /ba() 2 bR識證問題開證線證條線內(nèi)條線歸為證線線證線證線來證線強(qiáng)調(diào)線用向量知明立體幾何，仍然離不立體幾何定理如要明面平行，只需要明平面外的一直和平面的一直平行，即化明平行用向量方法直，只需明向量即可若用直的方向向向量與平面的法向量垂直明面平行，仍需直在平面外.如所示，已知矩形，平面，、 分是、的中，求：ABCDPAABCDMNABPCABaBCbPAcMNAB圖別點設(shè)證0,0,0,0,0(0,0)2()(0)2 2 22 2,0,0 ,(0),0,02 2 因， ，所以， ， 所以，解：aAB aMa b cb cNMNABab cMN ABa為錯間標(biāo)運來證線錯誤現(xiàn)間標(biāo)運錯線上述解法是想利用空向量的坐算明垂直，表在未建立空直角坐系，解分析直接：算000022.，所以bcaMNABAABADAPxyz題應(yīng)開點為標(biāo)點別為 軸軸軸間標(biāo)本在上述解答的一始就要以坐原，、分、建立空直角坐系，以下的部分和上述解正解：答相同