第第1講導數的概念與運算講導數的概念與運算考點梳理考點梳理 1函數yf(x)在xx0處的導數A (2)幾何意義：函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是過曲線yf(x)上點_的切線的斜率 若f(x)對于區(qū)間(a，b)內任一點都可導，則f(x)在各點的導數也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數該函數稱為f(x)的導函數，記作f(x)2函數函數f(x)的導函數的導函數(x0，f(x0)3基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式原函數原函數導函數導函數f(x)Cf(x)_f(x)x(為常數為常數)f(x)_f(x)sin xf(x)_0 x1cos_xf(x)cos xf(x)_f(x)ax(a0，a1)f(x)_f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，a1)f(x)_f(x)ln xf(x)_sin xaxln aex (1)f(x)g(x)_； (2)f(x)g(x)_； 若yf(u)，uaxb，則yx_，即yxyua.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)4.導數的運算法則導數的運算法則5復合函數的導數復合函數的導數yuux 一個命題規(guī)律 本講知識是高考中的常考內容，尤其是導數的幾何意義及導數的四則運算，更是高考考查的重點以填空題的形式出現(xiàn)，有時也出現(xiàn)在解答題的第一問中導數的運算及復合函數的導數一般不單獨考查，在考查導數應用的同時考查導數的運算【助學助學微博微博】 曲線yf(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別與聯(lián)系 (1)曲線yf(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，切線斜率為kf(x0)的切線，是唯一的一條切線 (2)曲線yf(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經過P點點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條 解析f(1)0，f(x)3x24x，f(1)1，所以切線方程為y(x1)，即xy10. 答案xy10考點自測考點自測1(2012濟南模擬濟南模擬)曲線曲線f(x)x2(x2)1在點在點(1，f(1)處處的切線方程為的切線方程為_2(2012泰州市高三期末考試)設A為奇函數f(x)x3xa(a為常數)圖象上一點，曲線f(x)在A處的切線平行于直線y4x，則A點的坐標為_ 答案(1，2)或(1,2) 5(2012南京模擬)若直線ykx3與曲線y2ln x相切， 則實數k_. 【例1】 (2013泉州月考)求下列函數的導數： (1)yexln x；考向一考向一導數的運算導數的運算 方法總結 (1)求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；(2)有的函數雖然表面形式為函數的商的形式，但在求導前利用代數或三角恒定變形將函數先化簡，然后進行求導，有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量 【訓練1】 求下列函數的導數 (1)y(x1)(x2)(x3)； 【例2】 求下列復合函數的導數 (1)yxe12x； 解(1)因為yxe12x，所以y(xe12x) e12x(12x)xe12x (12x)e12x.考向二考向二求復合函數的導數求復合函數的導數 方法總結 由復合函數的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數的結構，解這類問題的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程 【訓練2】 求下列函數的導數： (2)(2012淮安市第四次調研)已知曲線y(a3)x3ln x存在垂直于y軸切線，函數f(x)x3ax23x1在1,2上單調遞增，則a的取值范圍是_ 解析(1)f(x)ln x1，又f(x0)2，ln x012. 解得x0e，y0e1.故f(x)在點(e，e1)處的切線方程為y(e1)2(xe)，即2xye10.考向三考向三導數的幾何意義及綜合應用導數的幾何意義及綜合應用【例例3】 (1)設設f(x)xln x1，若，若f(x0)2，則，則f(x)在點在點(x0， y0)處的切線方程為處的切線方程為_ 答案(1)2xye10(2)(，0 方法總結 (1)利用導數研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下條件： 函數在切點處的導數值也就是切線的斜率即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點的坐標 切點既在曲線上，又在切線上切線有可能和曲線還有其它的公共點 (2)與導數幾何意義有關的綜合性問題，涉及到三角函數求值、方程和不等式的解，關鍵是要善于進行等價轉化【訓練3】 (1)(2012南通市第一學期調研)曲線c：yxln x在點M(e，e)處的切線方程為_ 求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過P點的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者 (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程； (3)求斜率為1的曲線的切線方程 審題路線圖 求曲線的切線方程方法是通過切點坐標，求出切線的斜率，再通過點斜式得切線方程規(guī)范解答規(guī)范解答3求在點求在點P處的切線與過點處的切線與過點P處的切線處的切線 點評 曲線的切線與曲線的交點個數不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別 解析y3x21，kf(1)2， 所以曲線在點(1,3)處的切線方程為y32(x1)，即2xy10. 答案2xy10高考經典題組訓練高考經典題組訓練1(2012廣東卷廣東卷)曲線曲線yx3x3在點在點(1,3)處的切線方程處的切線方程 為為_ 解析函數f(x)展開式中含x項的系數為a1a2a8(a1a8)484212，所以f(0)a1a2a8212. 答案2122(2010江西卷改編江西卷改編)等比數列等比數列an中，中，a12，a84，函數，函數f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，則，則f(0)_. 答案2