二輪數(shù)學(xué)專題三 數(shù)列第一講等差數(shù)列、等比數(shù)列考情分析等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項(xiàng)公式在考查基本運(yùn)算、基本概念的同時(shí)，也注重對(duì)函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的考查；對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考查主要是求解數(shù)列的等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的最大、最小值等問題，主要是中低檔題；等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是高考考查的重點(diǎn).年份卷別考查角度及命題位置2017卷等差數(shù)列的基本運(yùn)算·T4卷數(shù)學(xué)文化中的等比數(shù)列應(yīng)用·T3等差數(shù)列與裂項(xiàng)求和·T15卷等差數(shù)列與等比數(shù)列的運(yùn)算·T9等比數(shù)列的基本運(yùn)算·T142016卷等差數(shù)列的基本運(yùn)算·T3等比數(shù)列的運(yùn)算及二次函數(shù)最值問題·T152015卷等比數(shù)列的性質(zhì)·T4數(shù)列的遞推關(guān)系式、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)·T16真題自檢1(2017·高考全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B2C4 D8解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，d4，故選C.答案：C2(2016·高考全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A100 B99C98 D97解析：法一：an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198.故選C.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a100a5(201)×598.故選C.答案：C3(2015·高考全國(guó)卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21 B42C63 D84解析：a13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142.答案：B4(2016·高考全國(guó)卷改編)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為()A32 B64C48 D128解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)記t(n27n)2，結(jié)合nN*可知n3或4時(shí)，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.答案：B5(2015·高考全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.答案： 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算方法結(jié)論1兩組求和公式(1)等差數(shù)列：Snna1d；(2)等比數(shù)列：Sn(q1)2在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量題組突破1(2017·高考全國(guó)卷)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項(xiàng)的和為()A24B3C3 D8解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，則d2，所以a6a15d9，所以an前6項(xiàng)的和S6×624，故選A.答案：A2(2017·貴陽(yáng)模擬)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3a916，則S11()A88B48C96 D176解析：通解：依題意得S1188，選A.優(yōu)解：依題意，可考慮將題目中的等差數(shù)列特殊化為常數(shù)列(注意慎用此方法)，即an8，因此S1188，選A.答案：A3(2017·陜西模擬)已知數(shù)列an，an0, 它的前n項(xiàng)和為Sn，且2a2是4a1與a3的等差中項(xiàng)若an為等比數(shù)列，a11，則S7_.解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q，依題意有a11,4a24a1a3，即4q4q2，故q2，則S7127.答案：1274(2017·長(zhǎng)沙模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a2a38，a53a2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn中，b11，b22，從數(shù)列an中取出第bn項(xiàng)記為cn，若cn是等比數(shù)列，求bn的前n項(xiàng)和解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意有，解得a11，d2，從而an的通項(xiàng)公式為an2n1，nN*.(2)c1ab1a11，c2ab2a23，從而等比數(shù)列cn的公比為3，因此cn1×3n13n1.另一方面，cnabn2bn1，所以2bn13n1，因此bn.記bn的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn.誤區(qū)警示在運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意判斷公比q是否為1，切忌盲目套用公式導(dǎo)數(shù)失誤 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)方法結(jié)論1等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則am·anap·aq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比數(shù)列(Sm0)2.等差數(shù)列中利用中項(xiàng)求和(1)若n為奇數(shù)，則Sn.(2)若n為偶數(shù)，則S 3在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，有S偶S奇nd，；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí)，有S奇S偶an，.4在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，q.題組突破1(2017·洛陽(yáng)模擬)等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，若aa101，a5a611，則數(shù)列an的公差d等于()A1B2C9 D10解析：依題意得(a1a10)22a1a10(a5a6)22a1a101212a1a10101，a1a1010，又a1a10a5a611，a1a10，a11，a1010，d1，選A.答案：A2(2017·江西紅色七校聯(lián)考)等比數(shù)列an滿足an>0，q>1，a3a520，a2a664，則公比q為()A. B.C2 D4解析：通解：由已知可得aq664，即a1q38，得a48，所以8q20，化簡(jiǎn)得2q25q20，解得q2或q(舍去)，故q2，選C.優(yōu)解：由已知可得，解得或(舍去)，故4q2，故q2，選C.答案：C3(2017·江西高安中學(xué)等九校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1·a6·a113，b1b6b117，則tan的值是()A1 B.C D解析：an是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且a1·a6·a113，b1b6b117，a()3,3b67，a6，b6，tantantantan()tan(2)tan.答案：D誤區(qū)警示在等比數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比數(shù)列的前提是Sm0，易忽視這一條件 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法結(jié)論1證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：(1)利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；(2)利用等差中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)2證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：(1)利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；(2)利用等比中項(xiàng)性質(zhì)，即證明aan1an1(n2，an0)典例(2017·玉溪模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解析：(1)證明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，當(dāng)n1時(shí)，a1S11，a1，a11，又cnan1，cn是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列(2)由(1)可知cn()·()n1()n，ancn11()n.當(dāng)n2時(shí)，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1也符合上式，bn()n.類題通法1等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解決an與Sn關(guān)系問題中的應(yīng)用在已知an與Sn的關(guān)系問題中，通常利用an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an中an與an1或an1與an的關(guān)系，然后再求解其他問題2構(gòu)建新數(shù)列是解決遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式中的一種常用方法如本例(1)問中構(gòu)造an1為等比數(shù)列演練沖關(guān)1(2017·華南師大附中測(cè)試)在數(shù)列an中，a1p，an1qand(nN*，p，q，d是常數(shù))，則d0是數(shù)列an是等比數(shù)列的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)d0，p0時(shí)，an0，數(shù)列an不是等比數(shù)列，所以充分性不成立；當(dāng)q0，pd，d0時(shí)，and，則數(shù)列an為公比為1的等比數(shù)列，所以必要性不成立綜上所述，d0是數(shù)列an是等比數(shù)列的既不充分也不必要條件，故選D.答案：D2(2017·臨川一中模擬)已知數(shù)列an滿足：a13，an1an2n2.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)證明：1.證明：(1)由an1an2n2得2，即2，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，3(n1)×22n1，ann(2n1)，()()()()1，1. 等差、等比數(shù)列與其他知識(shí)的交匯交匯點(diǎn)數(shù)列與其他知識(shí)的交匯數(shù)列在中學(xué)教材中既有相對(duì)獨(dú)立性，又有較強(qiáng)的綜合性，很多數(shù)列問題一般轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求解，一些題目常與函數(shù)、向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯結(jié)合，考查數(shù)列的基本運(yùn)算與應(yīng)用典例1(2017·宜昌月考)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2 016，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)點(diǎn)O)，則S2 016等于()A1 007B1 008C2 015 D2 016解析：A，B，C三點(diǎn)共線，a1a2 0161，S2 0161 008，故選B.答案：B類題通法本題巧妙地將三點(diǎn)共線條件(xy且A，B，C三點(diǎn)共線xy1)與等差數(shù)列的求和公式結(jié)合，解決的關(guān)鍵是抓住整體求值思想演練沖關(guān)1(2017·銅仁質(zhì)檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a3a4a53，則sin(log3a1log3a2log3a7)的值為()A. B.C1 D解析：因?yàn)閍3a4a53a，所以a4，即log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a，所以sin(log3a1log3a2log3a7).答案：B創(chuàng)新點(diǎn)新定義下數(shù)列的創(chuàng)新問題典例2設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列cn是首項(xiàng)為2，公差為d(d0)的等差數(shù)列，且數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，則d_.解析：由題意可知，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，前2n項(xiàng)和為S2n，所以22.因?yàn)閿?shù)列cn是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d4.答案：4類題通法解決新定義下數(shù)列問題一般是直接扣定義進(jìn)行求解本例的關(guān)鍵是抓住為非零常數(shù)來(lái)確定參數(shù)值演練沖關(guān)2在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確判斷的序號(hào)是_解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列0,1,0,1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0，所以正確答案：9 / 9