第二部分空間與圖形課時(shí)課時(shí)31銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用第六章圖形與變換、坐標(biāo)第六章圖形與變換、坐標(biāo)知識要點(diǎn)梳理知識要點(diǎn)梳理1. 銳角三角函數(shù)的定義：如圖2-6-31-1，在RtABC中，C90，則有（1）正弦：sinA_.（2）余弦：cosA_.（3）正切：tanA_.2. 特殊角的三角函數(shù)值：特殊角的三角函數(shù)值：3. 解直角三角形的關(guān)系公式解直角三角形的關(guān)系公式（如圖2-6-31-2）：（1）三邊關(guān)系：_.（2）角關(guān)系：A+B=_.（3）邊角關(guān)系：sinA=_，sinB=_，cosA=_,cosB=_，tanA=_，tanB=_.a a2 2+ +b b2 2= =c c2 290904. 解直角三角形的應(yīng)用的有關(guān)概念解直角三角形的應(yīng)用的有關(guān)概念: :（1）如圖2-6-31-3,仰角是_，俯角是_.（2）如圖2-6-31-4,方向角：OA：_，OB：_，OC：_，OD：_.BOABOAAOCAOC北偏東北偏東6060東南方向東南方向正東正東南偏西南偏西2020（3）如圖2-6-31-5,AB的坡度iAB=_，叫_，tan=iAB=_.坡角坡角重要方法與思路重要方法與思路解直角三角形的應(yīng)用問題的有關(guān)要點(diǎn)解直角三角形的應(yīng)用問題的有關(guān)要點(diǎn): :（1）應(yīng)用范圍：通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測量問題，如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，解此類問題關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長度.（2）一般步驟：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）;根據(jù)題目的已知條件選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案.中考考點(diǎn)精練中考考點(diǎn)精練考點(diǎn)考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)、解直角三角形銳角三角函數(shù)、解直角三角形1. （2016沈陽）如圖2-6-31-6，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，則BC的長是（）D2. （2014汕尾）在RtABC中，C=90，若sinA=，則cosB的值是（）3. （2014廣州）如圖2-6-31-7，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tanA等于（）BD4. （2015廣州）如圖2-6-31-8，ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點(diǎn)E，連接BE.若BE=9，BC=12，則cosC=_.解題指導(dǎo)：解題指導(dǎo)：本考點(diǎn)的題型一般為選擇題或填空題，難度較低.解此類題的關(guān)鍵在于畫出直角三角形的圖形，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，要熟練掌握銳角三角函數(shù)包括正弦、余弦、正切等概念的定義和計(jì)算公式（注意：相關(guān)要點(diǎn)請查看“知識要點(diǎn)梳理”部分，并認(rèn)真掌握）.考點(diǎn)考點(diǎn)2解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用1.（2014廣東）如圖2-6-31-9，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為30，然后沿AD方向前行10 m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測得樹頂C的仰角高度為60（A，B，D三點(diǎn)在同一直線上）.請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹CD的高度（結(jié)果精確到0.1 m）.（參考數(shù)據(jù)： 1.414， 1.732）解：解：CBDCBD=A A+ACBACB，ACBACB=CBDCBD-A A=60=60-30-30=30=30. .A A=ACBACB. .BCBC= =ABAB=10=10（m m）. .在在RtRtBCDBCD中，中，答：這棵樹答：這棵樹CDCD的高度為的高度為8.78.7米米. .2. （2014珠海）如圖2-6-31-10，一艘漁船位于小島M的北偏東45方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東60方向的B處.（1）求漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號表示）；（2）若漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）.（參考數(shù)據(jù)： ）解：（解：（1 1）如答圖）如答圖2-6-31-12-6-31-1，過點(diǎn)過點(diǎn)M M作作MDMDABAB于點(diǎn)于點(diǎn)D D. .AMEAME=45=45，AMDAMD=MADMAD=45=45. .AMAM=180=180海里，海里，MDMD= =AMAMcos45cos45= = （海里）（海里）. .答：漁船從答：漁船從A A到到B B的航行過程中與小島的航行過程中與小島M M間間的最小距離是的最小距離是 海里海里. .（2 2）在）在RtRtDMBDMB中，中，BMFBMF=60=60，DMBDMB=30=30. .MDMD= = 海里，海里，答：漁船從答：漁船從B B到達(dá)小島到達(dá)小島M M的航行時(shí)間約為的航行時(shí)間約為7.47.4小時(shí)小時(shí). .解題指導(dǎo)：解題指導(dǎo)：本考點(diǎn)的題型一般為解答題，難度中等.解此類題的關(guān)鍵在于借助實(shí)際問題中的俯角、仰角或方向角等構(gòu)造直角三角形并解直角三角形. 熟記以下解直角三角形的應(yīng)用問題的一般過程：（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）；（2）根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案. 考點(diǎn)鞏固訓(xùn)練考點(diǎn)鞏固訓(xùn)練考點(diǎn)考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)、解直角三角形銳角三角函數(shù)、解直角三角形1. 在RtABC中，C=90，AB=13，AC=12，則cosA=（）2. 如圖2-6-31-11，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則ABC的正切值是（）CD3. 如圖2-6-31-13，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA過點(diǎn)（2，1），則sin的值是（）B4. 在RtABC中，C=90，如果AC=4，sinB= ，那么AB=_. 5. 如圖2-6-31-13，ABC中，ACB=90，sinA= ，BC=8，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)E. （1）求線段CD的長；（2）求cosDBE的值. 6考點(diǎn)考點(diǎn)2解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用6. 如圖2-6-31-14，小山崗的斜坡AC的坡度是tan= ，在與山腳C距離200 m的D處，測得山頂A的仰角為26.6，求小山崗的高AB.（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin26.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）解：解：在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，在直角三角形在直角三角形ADBADB中，中，BDBD- -BCBC= =CDCD=200,=200,解得解得ABAB=300=300（m m）. .答：小山崗的高答：小山崗的高ABAB為為300300米米. .7. 如圖2-6-31-15，甲、乙兩條輪船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時(shí)30海里的速度沿著北偏東60的方向航行，乙輪船以每小時(shí)15海里的速度沿著正東方向行進(jìn)，1小時(shí)后，甲船接到命令要與乙船會(huì)和，于是甲船改變了行進(jìn)的方向，沿著東南方向航行，結(jié)果在小島C處與乙船相遇.假設(shè)乙船的速度和航向保持不變，求港口A與小島C之間的距離. 解：如答圖解：如答圖2-6-31-2. 2-6-31-2. 由題意，得由題意，得1=601=60，2=302=30，4=454=45，ABAB=30=30海里海里. . 過點(diǎn)過點(diǎn)B B作作BDBDACAC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，則則1=3=601=3=60. .在在RtRtBCDBCD中，中，4=454=45，CDCD=BD. =BD. 在在RtRtABDABD中，中，2=302=30，ABAB=30=30海里，海里，8. 某國發(fā)生8.1級強(qiáng)烈地震，我國積極組織搶險(xiǎn)隊(duì)赴地震災(zāi)區(qū)參與搶險(xiǎn)工作，如圖2-6-31-16，某探測對在地面A，B兩處均探測出建筑物下方C處有生命跡象，已知探測線與地面的夾角分別是25和60，且AB=4 m，求該生命跡象所在位置C的深度. （結(jié)果精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：sin250.4，cos250.9，tan250.5， 1.7）解：如答圖解：如答圖2-6-31-32-6-31-3，作，作CDCDABAB交交ABAB的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)D D. . 設(shè)設(shè)CDCD為為x x m. m. 在在RtRtADCADC中，中，DACDAC=25=25，在在RtRtBDCBDC中，中，DBCDBC=60=60，而，而ABAB=4 m,=4 m,解得解得x x33（m m）. .答：生命跡象所在位置答：生命跡象所在位置C C的深度約為的深度約為3 m.3 m.