第四節(jié)第四節(jié) 基本不等式：基本不等式： (a，bR)第六章第六章【例1】若ab1，P ，Q (ln a ln b)，Rln ，試比較P，Q，R的大小利用基本不等式比較數(shù)(或式)的大小自主解答：解析：ab1，ln aln b0，點(diǎn)評(píng)：如果兩個(gè)數(shù)(式)的關(guān)系符合基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，則可以用基本不等式比較大小，如果兩個(gè)數(shù)(式)的關(guān)系通過(guò)變形可以變成基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，則可以用基本不等式比較大小1已知ma (a2)，n x22(x0)，則m，n之間的大小關(guān)系是()Amn Bm2，xn.故選A.答案：A利用基本不等式判定不等式的正誤【例2】給出以下四個(gè)不等式：(ab)24ab(a，bR)；|a| 4；sin x其中正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析：(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab，正確錯(cuò)誤當(dāng)sin x 時(shí)，sin x2，顯然等號(hào)取不到，事實(shí)上，設(shè)tsin x，則t(0,1，yt 在(0,1上為減函數(shù)，故當(dāng)t1時(shí)，y取最小值5，錯(cuò)誤故選B.答案：B點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式判斷一個(gè)不等式的正誤，主要看該不等式是否滿(mǎn)足基本不等式成立的條件 變式探究變式探究2(2012廣東執(zhí)信中學(xué)檢測(cè))“ab0”是“ab ”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：a2b22ab中參數(shù)的取值不只是可以取正數(shù)均值不等式 才需滿(mǎn)足a0，b0.故選A.答案：A【例3】(1)(2012蚌埠質(zhì)檢)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿(mǎn)足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得 ，則的最小值為()A1 B3C9 D不存在利用最值定理求最值(2)(2012佛山一中期中)下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)x0且x1時(shí)，lg x 2B當(dāng)x0時(shí)， 2C當(dāng)x2時(shí)，x 的最小值為2D當(dāng)0 x2時(shí)，x 無(wú)最大值思路點(diǎn)撥：對(duì)于(1)，根據(jù)等比數(shù)列所給的等式，找出m，n的關(guān)系mn3，將所找的關(guān)系與 結(jié)合，再用基本不等式求最值，關(guān)鍵的一步是對(duì)于(2)，用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，可得到結(jié)論解析：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由a7a62a5得q2q2，解得q2(舍去負(fù)值q1)，amanaqmn22a，得2mn22.mn3.故選B.(2)對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)0 x1時(shí)，lg x0，A錯(cuò)；對(duì)選項(xiàng)B，由基本不等式可知正確；對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)x2時(shí)，yx 是增函數(shù)，最小值為 C錯(cuò)；對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)0 x2時(shí)，yx 是增函數(shù)，有最大值2 ，D錯(cuò)故選B.答案：(1)B(2)B點(diǎn)評(píng)：在使用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意其中的等號(hào)能不能成立，是否符合使用基本不等式的條件如果根據(jù)限制條件等號(hào)不能成立，則應(yīng)該通過(guò)其他方法解決(如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等)使用基本不等式求最值，其基本的技巧是變換，通過(guò)變換出現(xiàn)兩式之和為常數(shù)或者兩式之積為常數(shù)，達(dá)到使用基本不等式的目的使用基本不等式求最值時(shí)，要注意三個(gè)條件，即“一正、二定、三相等”變式探究變式探究3(1)設(shè)a0，b0.若 是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)(2)已知x，yR，且滿(mǎn)足 1，則xy的最大值為_(kāi)解析：(1)由題有()23a3bab1，又a0，b0，(2)因?yàn)閤0，y0，所以 可化為4x3y12， 所以(4x)(3y) 236(當(dāng)且僅當(dāng)4x3y時(shí)等號(hào)成立)，即12xy36，所以xy3.所以xy的最大值為3.答案：(1)4(2)3利用基本不等式證明其他不等式【例4】若x0，y0，xy1，求證： 9.思路點(diǎn)撥：本題要求根據(jù)條件求最值，xy為常數(shù)，xy可有最大值，如何合理利用條件xy1是解答本題的關(guān)鍵，可在要求的式子上乘以(xy)，也可通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題. 點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題變式探究4已知a0，b0且ab1.求證： 原不等式成立基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例5】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系： 若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元設(shè)f為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解析：(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x) ，再由C(0)8，得k40，因此C(x)而建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)20(2)由(1)知f(x) 6x(0 x10)，10801070，當(dāng)且僅當(dāng) 2(3x5)時(shí)，等號(hào)成立，即(3x5)2400,3x520，x5或x (舍去)時(shí)，上式中的等號(hào)成立，即f(x)min70(萬(wàn)元)，當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元點(diǎn)評(píng)：(1)解實(shí)際應(yīng)用題的基本思路是：設(shè)變量時(shí)一般把要求的變量定義為函數(shù)；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解(2)利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是使用變量表示求解目標(biāo)，可以建立一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，也可以建立滿(mǎn)足一定條件的二元函數(shù)關(guān)系變式探究5.(2013三明模擬)某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計(jì)劃建一個(gè)正八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200 m2的十字型區(qū)域現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價(jià)為4 200 元/m2，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210 元/m2，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為80 元/m2.(1)設(shè)總造價(jià)為S元，AD的長(zhǎng)為xm，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)劃至少投入多少元，才能建造這個(gè)休閑小區(qū)解析：(1)設(shè)DQy，則x24xy200，y S4 200 x22104xy804 y238 0004 000 x2 (0 x10)當(dāng)且僅當(dāng)4 000 x2 即x 或x (舍去)時(shí)，Smin118 000(元)，即計(jì)劃至少要投入11.8萬(wàn)元才能建造這個(gè)休閑小區(qū)