文數(shù)課標版第八節(jié)直線與圓錐曲線第八節(jié)直線與圓錐曲線1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷判斷直線l與圓錐曲線r的位置關(guān)系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓錐曲線r的方程F(x,y)=0聯(lián)立,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的方程,即聯(lián)立消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).0,( , )0,AxByCF x y教材研讀教材研讀(1)當a0時,若0,則直線l與曲線r相交;若=0,則直線l與曲線r相切;若0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的兩個根.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-,x1x2=,以此結(jié)合弦長公式可整體代入求值.A、B兩點間的距離|AB|=|x1-x2|=(其中k為直線l的斜率),也可以寫成關(guān)于y的形式,即|AB|=|y1-y2|=(k0).特殊地,如果( , )0,( , )0f x yF x ybaca1212,bcyyy yaa 或21k21k21212()4xxx x211k211k21212()4yyy y2.直線與圓錐曲線相交的弦長問題直線與圓錐曲線相交的弦長問題直線l過拋物線的焦點,拋物線方程以y2=2px(p0)為例,那么|AB|=x1+x2+p.3.弦弦AB的中點與直線的中點與直線AB斜率的關(guān)系斜率的關(guān)系(1)已知AB是橢圓+=1(ab0)的一條弦,其中點M的坐標為(x0,y0).運用點差法求直線AB的斜率,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在橢圓上,兩式相減得+=0,+=0,=-=-,故kAB=-.(2)已知AB是雙曲線-=1(a0,b0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x22xa22yb2211222222221,1,xyabxyab22122xxa22122yyb12122()()xxxxa12122()()yyyyb1212yyxx212212()()bxxayy2020b xa y2020b xa y22xa22yb2,弦中點M(x0,y0),則與(1)同理可知kAB=.(3)已知AB是拋物線y2=2px(p0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中點M(x0,y0).則兩式相減得-=2p(x1-x2),(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),=,即kAB=.2020b xa y2112222,2,ypxypx21y22y1212yyxx122pyy0py0py判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)直線l與拋物線y2=2px只有一個公共點,則l與拋物線相切.()(2)若直線l與拋物線y2=2px相交,則一定有兩個公共點.()(3)直線y=kx(k0)與雙曲線x2-y2=1一定相交.()(4)若直線與雙曲線相交,則一定有兩個公共點.()(5)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個交點.()(6)直線與橢圓只有一個交點直線與橢圓相切.()1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關(guān)系為()A.相交B.相切C.相離D.不確定答案答案A由于直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過定點(1,1),又(1,1)在橢圓內(nèi),故直線與橢圓必相交.29x24y2.直線y=x+3與雙曲線-=1的交點個數(shù)是()A.1B.2C.1或2D.0答案答案 A因為直線y=x+3與雙曲線的漸近線y=x平行,所以它與雙曲線只有1個交點.ba22xa22ybbaba3.雙曲線C:-=1(a0,b0)的右焦點為F,直線l過焦點F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左,右兩支都相交的充要條件是()A.k-B.k或k-D.-k答案答案 D由雙曲線的漸近線的幾何意義知-kb0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.解析解析(1)由題意得a2-b2=1,b=1,則a=,橢圓C1的方程為+y2=1.(2)易得直線l的斜率存在且不為零,則可設(shè)l的方程為y=kx+b(k0).22xa22yb222x考點突破考點突破由消去y整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1.由消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,221,2,xyykxb24 ,yxykxb2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1,2221,1.bkkb由得b=,代入得=2k2+1,即2k4+k2-1=0.令t=k2,則2t2+t-1=0,解得t1=或t2=-1(舍),或l的方程為y=x+或y=-x-.1k21k122,22kb2,22.kb 222222方法技巧方法技巧(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時,可直接求解相應(yīng)方程組得到交點坐標,也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.(2)依據(jù)直線與圓錐曲線的交點個數(shù)求參數(shù)時,聯(lián)立方程并消元,得到一元方程,此時注意觀察方程的二次項系數(shù)是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.1-1若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點,那么k的取值范圍為()A.B.C.D.1515,33150,315,0315, 13答案答案 D由消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0,直線與雙曲線右支交于不同的兩點,解得-k0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MANA.(1)當|AM|=|AN|時,求AMN的面積;(2)當2|AM|=|AN|時,證明:k0.由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為.又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.24x23y34將x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此AMN的面積SAMN=2=.(2)證明:將直線AM的方程y=k(x+2)(k0)代入+=1得24x23y127127121271271444924x23y(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由題設(shè),直線AN的方程為y=-(x+2),故同理可得|AN|=.22161234kk222(34)34kk21k2212 134kk1k2212134kkk設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.又f()=15-260,因此f(t)在(0,+)內(nèi)有唯一的零點,且零點k在(,2)內(nèi),所以kb0)的離心率為,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB的斜率為0時,AB=4.(1)求橢圓的方程;(2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程.22xa22yb12487斜率不存在,由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件.當兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線CD的方程為y=-(x-1).1k解析解析(1)由題意知e=,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,所以橢圓方程為+=1.(2)當兩條弦中的一條弦所在直線的斜率為0時,另一條弦所在直線的ca12324x23y將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=.同理,|CD|=,所以|AB|+|CD|=+=,解得k=1,所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.22834kk2241234kk21k 21k 21212()4xxx x2212(1)34kk22112143kk2212(1)34kk2212(1)34kk2212(1)34kk222284(1)(34)(34)kkk487考點三中點弦問題考點三中點弦問題典例典例3(2016福建福州質(zhì)檢)拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點,若P(1,1)為線段AB的中點,則拋物線C的方程為()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案答案 B解析解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px(p0),則兩式相減可得2p=(y1+y2)=kAB2=2,可得p=1,拋物線C的方程為y2=2x.2112222,2,ypxypx1212yyxx方法技巧方法技巧處理中點弦問題的常用方法(1)點差法:即設(shè)出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.1212yyxx3-1已知拋物線y=x2上存在兩個不同的點M,N關(guān)于直線l:y=-kx+對稱,求k的取值范圍.解析解析解法一:由題意知k0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的方程為y=x+b(b0),代入y=x2,得x2-x-b=0,所以=+4b0,x1+x2=.設(shè)MN中點的坐標為(x0,y0),則x0=,y0=+b,因為(x0,y0)在直線l:y=-kx+上,所以+b=-k+,所以b=4-.921k1k21k1k12k212k92212k12k92212k將代入,得+16-0,所以,所以k或k,即4,21k22k21k11614141,4 1,421x22x221212xxxx1k1k22122xx122xx9212k9222122xx2122xx212k所以k2,即k或k-,故k的取值范圍為.11614141,4 1,4