1 2013 全國各地高考理科數(shù)學試題及詳解匯編（二） 目 錄 1四川卷2 2湖南卷26 3安徽卷45 4江西卷51 4浙江卷59 5江蘇卷68 6福建卷78 7廣東卷 87 8海南卷 92 2 2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學（理工類） 本試題卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題） 第卷 1 至 2 頁，第卷 3 至 4 頁，共 4 頁考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上大題無 效滿分 150 分考試時間 120 分鐘考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡上一并交回 第卷 （選擇題 共 50 分） 注意事項： 必須使用 2B 鉛筆在答題卡上將所選答案對應的標號涂黑 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只 有一個是符合題目要求的 1設(shè)集合 ，集合 ，則 （ ）|20Ax2|40BxAB （A） （B ） （C） （D）, 2如圖，在復平面內(nèi)，點 表示復數(shù) ，則圖中表示 的共軛復數(shù)的點是（ zz ） （A） （B） （C） （D） 3一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（ ） 4設(shè) ，集合 是奇數(shù)集，集合 是偶數(shù)集若命題 ，則（ xZAB:,2pxAB ） （A） （B）:,2px （C） （D）,xB 5函數(shù) 的部分圖象如圖所示，()sin()0,)2fx 則 的值分別是（ ）, （A） （B） （C） 23,64,6 （D） 4, 6拋物線 的焦點到雙曲線 的漸近線的距離是（ ）2yx213yx （A） （B） （C） （D）1 3 7函數(shù) 的圖象大致是（ ） 23xy yxDBAOC 3 8從 這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為 ，共可得到 的不1,3579 ,ablgab 同值的個數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D ）101820 9節(jié)日 家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的 4 秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi) 4 秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電 后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）14 378 10設(shè)函數(shù) （ ， 為自然對數(shù)的底數(shù)） 若曲線 上存在()xfeaResinyx 使得 ，則 的取值范圍是（ ）0(,xy0y （A） （B） （C） （D）11,1,e1,e 第二部分 （非選擇題 共 100 分） 注意事項： 必須使用 0.5 毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答作圖題可先 用鉛筆繪出，確認后再用 0.5 毫米黑色墨跡簽字筆描清楚答在試題卷上無效 二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分 11二項式 的展開式中，含 的項的系數(shù)是_ （用數(shù)字作答）()xy23xy 12在平行四邊形 中，對角線 與 交于點 ， ，則ABCDABDOABDO _ 13設(shè) ， ，則 的值是_sin2si(,)2tan 14已知 是定義域為 的偶函數(shù)，當 時， ，那么，不等式()fxRx02()4fx 的解集是_5f 15設(shè) 為平面 內(nèi)的 個點，在平面 內(nèi)的所有點中，若點 到12,nP P 點的距離之和最小，則稱點 為 點的一個“中位點” 例如，線 P12,n 段 上的任意點都是端點 的中位點則有下列命題：AB,AB 若 三個點共線， 在線段上，則 是 的中位點；,CC,AB 直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點； 若四個點 共線，則它們的中位點存在且唯一；,D 梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點 其中的真命題是_ （寫出所有真命題的序號） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 16(本小題滿分 12 分) 在等差數(shù)列 中， ，且 為 和 的等比中項，求na2184a23 數(shù)列 的首項、公差及前 項和na 4 17(本小題滿分 12 分) 在 中，角 的對邊分別為 ，且ABC, ,abc 2 3cossin()si5ABAB （）求 的值； （）若 ， ，求向量 在 方向上的投影4a5b 18(本小題滿分 12 分) 某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量 在x 這 個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生1,23,4 （）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出 的值為 的概率 ；yi(1,23)iP （）甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行 次后，統(tǒng)計記n 錄了輸出 的值為 的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)y(1,23)i 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分） 乙的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分） 當 時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出 的值為210n y 的頻率（用分數(shù)表示） ，并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的(,3)i 可能性較大； （）按程序框圖正確編寫的程序運行 3 次，求輸出 的值為 2 的次數(shù) 的分布列及數(shù)學y運行次數(shù) n輸出 的值為 的頻數(shù)1輸出 的值為 的頻數(shù) 輸出 的值y為 的頻數(shù)304610 2797運行次數(shù) n輸出 的值y為 的頻數(shù)1輸出 的值y為 的頻數(shù)2輸出 的值y為 的頻數(shù)3317 205695 5 期望 19(本小題滿分 12 分) 如圖，在三棱柱 中，側(cè)棱 底面 ，1ABC1ABC ， ， 分別是線段 的中點， 是線段12ABC20BA1,D1,P 的中點D （）在平面 內(nèi)，試作出過點 與平面 平行的直線 ，說明理由，并證明直線Pl 平面 ；l1 （）設(shè)（）中的直線 交 于點 ，交 于點 ，求二面角 的余l(xiāng)MACN1AMN 弦值 20(本小題滿分 13 分) 已知橢圓 ： 的兩個焦點分別為C 21,(0)xyab ，且橢圓 經(jīng)過點 12,0)(,F41(,)3P （）求橢圓 的離心率；C （）設(shè)過點 的直線 與橢圓 交于 、 兩點，點 是線段 上的點，且,)AlMNQMN ，求點 的軌跡方程2221|QMNQ 21(本小題滿分 14 分)已知函數(shù) ，其中 是實數(shù)設(shè) 2,0()ln,xafa ， 為該函數(shù)圖象上的兩點，且 1,)Axf2(,Bxf 12x （）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；) （）若函數(shù) 的圖象在點 處的切線互相垂直，且 ，求 的最小值；,AB021x （）若函數(shù) 的圖象在點 處的切線重合，求 的取值范圍(f a D1DC BA 1 B1C1AP 6 10 11 12 13 14 解析 1. 2. 3. 4. 15 5. 6. 16 7. 8. 9. 17 10. 11. 18 12 .1 3 14. 15. 19 16. 20 17. 21 18. 22 19. 23 24 25 20. 26 21 27 28 21. 29 30 2013 年湖南省高考數(shù)學試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在答題卡上. 1 （5 分）i 是虛數(shù)單位，復數(shù) =（ ） A 2+i B 2i C 1+2i D 12i 2 （5 分）若 M=直線，N=拋物線，則 MN 的元素個數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 不能確定 3 （5 分）如圖為一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖中曲線部分為 半圓，尺寸如圖，則該幾何體的體積為（ ） A +2 B C 2+2 D 2 4 （5 分）高三某班團支部換屆進行差額選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中 選出三人分別擔任書記、組織委員和宣傳委員，并且要求乙是上屆組織委員不能連任原職， 則換屆后不同的任職結(jié)果有（ ） A 16 種 B 18 種 C 20 種 D 22 種 5 （5 分）若在區(qū)域 內(nèi)任取一點 P，則點 P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概率 為（ ） A B C D 6 （5 分）設(shè)直線 l 的方程為： x+ysin2013=0（ R） ，則直線 l 的傾斜角 的范圍是（ ） A 0， ） B C D 7 （5 分）下列命題正確的有 用相關(guān)指數(shù) R2 來刻畫回歸效果越小，說明模型的擬合效果越好； 命題 p：“x 0R，x 02x010”的否定¬ p：“ xR，x 2x10”； 31 設(shè)隨機變量 服從正態(tài)分布 N（0，1） ，若 P（ 1）=p，則 ； 回歸直線一定過樣本中心（ ） （ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 8 （5 分）在平面直角坐標系中，定義點 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）之間的“ 理想距離”為： d（P，Q）=|x 1x2|+|y1y2|；若 C（x，y）到點 A（2，3） 、B（8，8）的“理想距離”相等，其 中實數(shù) x、y 滿足 0x8、0y8，則所有滿足條件的點 C 的軌跡的長度之和是（ ） A 3+ B C 10 D 5 二、填空題：本大題共 8 小題，考生作答 7 小題，每小題 0 分，共 35 分，把答案填在答題 卡中對應號后的橫線上 （一）選做題（請考生在第 9，10，11 三題中任選兩題作答，如果 全做，則按前兩題記分） （二）必做題（1216 題） 9計算 的值等于 _ 10 （5 分）如圖，點 A，B，C 是圓 O 上的點，且 ， ，則圓 O 的面積 等于 _ 11 （5 分）若曲線 C 的極坐標方程為 cos2=2sin，則曲線 C 的普通方程為 _ 12 （5 分）看圖程序運行后的輸出結(jié)果 s= _ 13 （5 分）已知 、 是不同的兩個平面，直線 a，直線 b，命題 p：a 與 b 沒有公共 點；命題 q： ，則 p 是 q 的 _ 條件 14 （5 分）為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如 下：明文 密文 密文 明文現(xiàn)在加密密鑰為 y=loga（x+2） ，如 上所示，明文“6” 通過加密后得到密文“ 3”，再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得到明文 “6”若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文為 _ 32 15 （5 分）已知 a，b，c 成等差數(shù)列，則直線 axby+c=0 被曲線 x2+y22x2y=0 截得的弦長 的最小值為 _ 16 （5 分）已知 x，yN *，且 1+2+3+4+y=1+9+92+9x1，當 x=2 時，y= _ ；若把 y 表示成 x 的函數(shù)，其解析式是 y= _ 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17 （12 分）已知 ，設(shè) 0， ， ，若 f（x）圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距 離等于 （1）求 的值； （2）在ABC 中，a ，b，c 分別為角 A，B ，C 的對邊， 當 f（A） =1 時，求 b，c 的值 18 （12 分）在一次考試中共有 8 道選擇題，每道選擇題都有 4 個選項，其中有且只有一 個選項是正確的某考生有 4 道題已選對正確答案，其余題中有兩道只能分別判斷 2 個選 項是錯誤的，還有兩道題因不理解題意只好亂猜 （）求該考生 8 道題全答對的概率； （）若評分標準規(guī)定：“每題只選一個選項，選對得 5 分，不選或選錯得 0 分” ，求該考 生所得分數(shù)的分布列 19 （12 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面邊長是 ，側(cè)棱長是 3，點 E、F 分別在 BB1、DD 1 上，且 AEA1B，AFA 1D （1）求證：A 1C面 AEF； （2）求截面 AEF 與底面 ABCD 所成二面角 的正切值 20 （13 分）京廣高鐵于 2012 年 12 月 26 日全線開通運營，G808 次列車在平直的鐵軌上 勻速行駛，由于遇到緊急情況，緊急剎車時列車行駛的路程 S（t） （單位：m ）和時間 t（單位：s）的關(guān)系為： （1）求從開始緊急剎車至列車完全停止所經(jīng)過的時間； （2）求列車正常行駛的速度； （3）求緊急剎車后列車加速度絕對值的最大值 21 （13 分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點 M（1，2） ，它們在 x 軸上有共同焦點， 橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點 33 （1）求這三條曲線的方程； （2）對于拋物線上任意一點 Q，點 P（a ，0）都滿足|PQ| |a|，求 a 的取值范圍 22 （13 分）已知二次函數(shù) f（x）=x 2ax+a（xR）同時滿足： 不等式 f（x） 0 的解集有且只有一個元素； 在定義域內(nèi)存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f（x 2）成立 設(shè)數(shù)列a n的前 n 項和 Sn=f（n） ， （1）求數(shù)列a n的通項公式； （2）數(shù)列b n中，令 ，T n= ，求 Tn； （3）設(shè)各項均不為零的數(shù)列c n中，所有滿足 cici+10 的正整數(shù) i 的個數(shù)稱為這個數(shù)列 cn的變號數(shù)令 （n 為正整數(shù)） ，求數(shù)列c n的變號數(shù) 34 2013 年湖南省高考數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在答題卡上. 1 （5 分）i 是虛數(shù)單位，復數(shù) =（ ） A 2+i B 2i C 1+2i D 12i 考點： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算407442 專題： 計算題 分析： 要求兩個復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，分子和分母上進行 復數(shù)的乘法運算，最后結(jié)果要化簡成最簡形式 解答： 解：復數(shù) = = =2i 故選 B 點評： 本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是一個基礎(chǔ)題，這種題目運算量不大，解題 應用的原理也比較簡單，是一個送分題目 2 （5 分）若 M=直線，N=拋物線，則 MN 的元素個數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 不能確定 考點： 函數(shù)的零點407442 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用 分析： 根據(jù)兩個集合的意義，兩個集合的交集的定義，求得 MN 的元素個數(shù) 解答： 解：由于 M=直線，表示所有直線構(gòu)成的集合，N=拋物線 ，表示所有的拋物線 構(gòu)成的集合， 故 MN=，故 MN 的元素個數(shù)是 0， 故選 A 點評： 本題主要考查兩個集合的交集的定義和求法，集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題 3 （5 分）如圖為一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖中曲線部分為 半圓，尺寸如圖，則該幾何體的體積為（ ） A +2 B C 2+2 D 2 35 考點： 由三視圖求面積、體積407442 專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離 分析： 由三視圖知，幾何體是一個組合體，包括一個三棱柱和半個圓柱，再利用體積公式， 即可得到結(jié)論 解答： 解：由三視圖知，幾何體是一個組合體，包括一個三棱柱和半個圓柱， 三棱柱的是一個底面是斜邊為 2 的等腰直角三角形，高是 2，圓柱的底面半徑是 1， 高是 2， 所以該幾何體的體積為 =+2 故選 A 點評： 本題考查由三視圖還原幾何體的直觀圖，考查幾何體體積的計算，屬于基礎(chǔ)題 4 （5 分）高三某班團支部換屆進行差額選舉，從已產(chǎn)生的甲、乙、丙、丁四名候選人中 選出三人分別擔任書記、組織委員和宣傳委員，并且要求乙是上屆組織委員不能連任原職， 則換屆后不同的任職結(jié)果有（ ） A 16 種 B 18 種 C 20 種 D 22 種 考點： 排列、組合及簡單計數(shù)問題407442 專題： 概率與統(tǒng)計 分析： 利用兩個計數(shù)原理及排列和組合的計算公式即可得出 解答： 解：分為以下兩類： 一類：若選出的 3 人中有乙，還得選出另外 2 人有 ，又乙只能從書記、宣傳委員 中選出一個職位，可有 ， 因此，共有 =12 種不同的結(jié)果； 另一類：若選出的 3 人中沒有乙，則可有 =6 種不同的結(jié)果 綜上共有：12+6=18 種不同的結(jié)果 故選 B， 點評： 熟練掌握兩個計數(shù)原理及排列和組合的計算公式是解題的關(guān)鍵 5 （5 分）若在區(qū)域 內(nèi)任取一點 P，則點 P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概率 為（ ） A B C D 考點： 簡單線性規(guī)劃的應用；幾何概型407442 專題： 計算題；不等式的解法及應用 36 分析： 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的AB0 及其內(nèi)部單位圓 x2+y2=1 位于 AB0 內(nèi)的部分為一個圓心角為 的扇形，由此結(jié)合幾何概型計算公式和面積公式， 即可算出所求的概率 解答： 解：作出不等式組 表示的平面區(qū)域， 得到如圖的AB0 及其內(nèi)部，其中 A（1，0） ，B（0，1） ，0 為坐標原點 單位圓 x2+y2=1 位于AB0 內(nèi)的部分為一個扇形，其圓心角為 在區(qū)域 內(nèi)任取一點 P， 點 P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概率為 P= = = 故選：A 點評： 本題給出不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)一點，求點 P 恰好在單位圓 x2+y2=1 內(nèi)的概 率著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型等知識，屬于基礎(chǔ) 題 6 （5 分）設(shè)直線 l 的方程為： x+ysin2013=0（ R） ，則直線 l 的傾斜角 的范圍是（ ） A 0， ） B C D 考點： 直線的一般式方程407442 專題： 直線與圓 分析： 當 sin=0 時，直線 l 的斜率不存在，傾斜角 = ，當 sin0 時，直線 l 的斜率 k= 結(jié)合正弦函數(shù)的值域及反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以分析出直線 l 的斜率 k 的 取值范圍，進而得到傾斜角的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案 解答： 解：當 sin=0 時，直線 l 的方程為：x 2013=0 此時傾斜角 = 當 sin0 時，直線 l 的方程為：y= x+2013 37 直線 l 的斜率 k= （，1 1，+） 直線 l 的傾斜角 綜上所述：直線 l 的傾斜角 故選 C 點評： 本題考查的知識點是直線的方程，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，解答時易忽略直線 l 的 斜率不存在，傾斜角 = ，而錯選 D 7 （5 分）下列命題正確的有 用相關(guān)指數(shù) R2 來刻畫回歸效果越小，說明模型的擬合效果越好； 命題 p：“x 0R，x 02x010”的否定¬ p：“ xR，x 2x10”； 設(shè)隨機變量 服從正態(tài)分布 N（0，1） ，若 P（ 1）=p，則 ； 回歸直線一定過樣本中心（ ） （ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 考點： 命題的真假判斷與應用；命題的否定；線性回歸方程；正態(tài)分布曲線的特點及曲線 所表示的意義407442 專題： 證明題 分析： 相關(guān)指數(shù)表示擬合效果的好壞，指數(shù)越大，相關(guān)性越強存在性命題的否定是 全稱命題正態(tài)分布函數(shù)曲線的特點是：關(guān)于 x=對稱，在 x=處達到最大值 性回歸方程一定過樣本中心點，在一組模型中殘差平方和越小，擬合效果越好， 解答： 解：R 2 越大擬合效果越好，故不正確， 由存在性命題的否定是全稱命題得 正確， 正態(tài)分布函數(shù)曲線的特點是：關(guān)于 x=0 對稱，在 x=0 處達到最大值，且 p（0 ）= ，若 P（1） =p 則若 P（1）=p 所 以 故正確 樣本中心點在直線上，故 正確 故選 C 點評： 本題考查衡量兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的方法，要想知道兩個變量之間的有關(guān)或無關(guān) 的精確的可信程度，只有利用獨立性檢驗的有關(guān)計算，才能做出判斷大于 0.75 時， 表示兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系 8 （5 分）在平面直角坐標系中，定義點 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2）之間的“ 理想距離”為： d（P，Q）=|x 1x2|+|y1y2|；若 C（x，y）到點 A（2，3） 、B（8，8）的“理想距離”相等，其 中實數(shù) x、y 滿足 0x8、0y8，則所有滿足條件的點 C 的軌跡的長度之和是（ ） A 3+ B C 10 D 5 考點： 兩點間的距離公式407442 專題： 新定義 38 分析： 利用新定義對 x、y 分類討論即可得出 解答： 解： d（C，A ）=|x 2|+|y3|，d（C ，B）=|x 8|+|y8|，d（C，A）=d（C，B） ， |x2|+|y3|=|x8|+|y8|， （*） 實數(shù) x、y 滿足 0x8、0 y8，則可以分以下 4 種情況： 當 0x2， 0y3 時， （*）化為 2x+3y=8x+8y，即 11=0，矛盾，此種情況不可 能； 當 0x2， 3y8 時， （*）化為 2x+y3=8x+8y，得到 y= 8，此時矛盾，此 種情況不可能； 當 2x8，0y 3 時， （*）化為 x2+3y=8x+8y，得到 x= ，此時滿足條件的點 C（x，y）的軌跡的長度為 3； 當 2x8，3y8 時， （*）化為 x2+y3=8x+8y，得到 x+y=10.5，令 y=8，得 x=2.5，點（2.5，8） ； 令 y=3，得 x=7.5，點（7.5，3） 此時滿足條件的點 C（x，y）的軌跡的長度 = = 綜上可知：所有滿足條件的點 C 的軌跡的長度之和是 3+5 故選 A 點評： 正確理解新定義、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵 二、填空題：本大題共 8 小題，考生作答 7 小題，每小題 0 分，共 35 分，把答案填在答題 卡中對應號后的橫線上 （一）選做題（請考生在第 9，10，11 三題中任選兩題作答，如果 全做，則按前兩題記分） （二）必做題（1216 題） 9計算 的值等于 2 考點： 定積分407442 專題： 計算題 分析： 根據(jù)定積分的計算法則進行計算，求出 3x2 的原函數(shù)即可； 解答： 解： = =13（1） 3=2， 故答案為 2 點評： 此題主要考查定積分的計算，這是高考新增的知識點，此題是一道基礎(chǔ)題 10 （5 分）如圖，點 A，B，C 是圓 O 上的點，且 ， ，則圓 O 的面積 等于 4 39 考點： 正弦定理407442 專題： 計算題 分析： 設(shè)圓的半徑為 R，由正弦定理可得， 可求圓的半徑，進而可求圓的面 積 解答： 解：設(shè)圓的半徑為 R 由正弦定理可得， ， 2R= R=2，S=4 故答案為：4 點評： 本題主要考查了正弦定理的簡單應用，屬于基礎(chǔ)試題 11 （5 分）若曲線 C 的極坐標方程為 cos2=2sin，則曲線 C 的普通方程為 x 2=2y 考點： 簡單曲線的極坐標方程407442 專題： 直線與圓 分析： 曲線的方程即 2cos2=2sin，根據(jù)極坐標和直角坐標之間的互化公式，求出它的 直角坐標方程 解答： 解：曲線 C 的極坐標方程為 cos2=2sin，即 2cos2=2sin，化為直角坐標方程 為 x2=2y， 故答案為 x2=2y 點評： 本題主要考查曲線的極坐標方程和直角坐標方程之間的互化，屬于基礎(chǔ)題 12 （5 分）看圖程序運行后的輸出結(jié)果 s= 21 考點： 偽代碼407442 專題： 圖表型 分析： 先讀懂程序的算法，再據(jù)算法規(guī)則依次算出結(jié)果可以看出這是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)依 其特點求解即可 解答： 解：程序是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，步長是 2，每循環(huán)一次 i 就加進 2，初始 i=1， 40 可循環(huán) 4 次，第 4 次進入循環(huán)體后 i=9，故 S=9×2+3=21 故答案為：21 點評： 考查算法語言的結(jié)構(gòu)，此類題的做法通常是把值代入，根據(jù)其運算過程求出值 13 （5 分）已知 、 是不同的兩個平面，直線 a，直線 b，命題 p：a 與 b 沒有公共 點；命題 q： ，則 p 是 q 的 必要不充分 條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷407442 分析： a 與 b 沒有公共點，則 a 與 b 所在的平面 可能平行，也可能相交（交點不在直線 b 上） ；但 ，則面面平行的性質(zhì)定理，我們易得 a 與 b 平行或異面結(jié)合充要條件 定義即可得到結(jié)論 解答： 解： a 與 b 沒有公共點時，a 與 b 所在的平面 可能平行，也可能相交（交點不在 直線 b 上） ； 命題 p：a 與 b 沒有公共點命題 q： ，為假命題； 又 時，a 與 b 平行或異面，即 a 與 b 沒有公共點 命題 q：命題 p：a 與 b 沒有公共點，為真命題； 故 p 是 q 的必要不充分條件 故答案：必要不充分 點評： 本題考查的知識點是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，我們先判斷 pq 與 qp 的真假，再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論 14 （5 分）為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如 下：明文 密文 密文 明文現(xiàn)在加密密鑰為 y=loga（x+2） ，如 上所示，明文“6” 通過加密后得到密文“ 3”，再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得到明文 “6”若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文為 14 考點： 通訊安全中的基本問題407442 專題： 計算題 分析： 根據(jù)題意中給出的解密密鑰為 y=loga（x+2） ，及明文“6” 通過加密后得到密文“ 3”，可 求出底數(shù) a 的值，若接受方接到密文為“4”，不妨解密后得明文為 b，構(gòu)造方程，解 方程即可解答 解答： 解： 加密密鑰為 y=loga（x+2） ， 由其加密、解密原理可知，當 x=6 時，y=3，從而 a=2； 不妨設(shè)接受方接到密文為“4”的“ 明文”為 b，則有 4=log2（ b+2） ，從而有 b=242=14 即解密后得明文為 14 故答案為：14 點評： 本題考查新運算，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)新運算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進行運 算，易得最終結(jié)果 15 （5 分）已知 a，b，c 成等差數(shù)列，則直線 axby+c=0 被曲線 x2+y22x2y=0 截得的弦長 的最小值為 2 考點： 直線與圓錐曲線的關(guān)系407442 專題： 計算題 41 分析： 利用等差數(shù)列的定義得到 2b=a+c，求出圓心坐標及半徑，求出圓心到直線的距離 d，利用勾股定理求出弦長，求出最小值 解答： 解：因為 a，b，c 成等差數(shù)列， 所以 2b=a+c 因為 x2+y22x2y=0 表示以（1，1）為圓心，以 為半徑的圓， 則圓心到直線的距離為 d= = 則直線 axby+c=0 被曲線 x2+y22x2y=0 截得的弦長 l= 2 所以 0 截得的弦長的最小值為 2， 故答案為 2 點評： 求直線與圓相交的弦長問題，一般通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出弦長 16 （5 分）已知 x，yN *，且 1+2+3+4+y=1+9+92+9x1，當 x=2 時，y= 4 ；若把 y 表示成 x 的函數(shù)，其解析式是 y= 考點： 等比數(shù)列的前 n 項和；等差數(shù)列的前 n 項和407442 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列 分析： 把 x=2 代入已知可得 =10，解之即可；由又求和公式可得 = ，解之可得答案 解答： 解：由題意可得 x=2 時，1+2+3+4+y=1+9， 故可得 =10，解得 y=4， 又由 1+2+3+4+y=1+9+92+9x1 可得 = ，即 y（y+1）= ， 故 y= ， 故答案為：4； 點評： 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17 （12 分）已知 ，設(shè) 0， ， ，若 f（x）圖象中相鄰的兩條對稱軸間的距 離等于 42 （1）求 的值； （2）在ABC 中，a ，b，c 分別為角 A，B ，C 的對邊， 當 f（A） =1 時，求 b，c 的值 考點： 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算407442 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形；平面向量及應用 分析： （1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的公式可得 f（x）= ，又可得 ，由周期公式可得； （2）由題意可得 ，由余弦定理和面積可得 b，c 的方程組，解之即可 解答： 解：（1） = = ， 又 ，解得 =1； （2）f （A）=1 ， ， 由 0A 得 ， 又 解得 或 點評： 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，以及余弦定理的應用，屬中檔題 18 （12 分）在一次考試中共有 8 道選擇題，每道選擇題都有 4 個選項，其中有且只有一 個選項是正確的某考生有 4 道題已選對正確答案，其余題中有兩道只能分別判斷 2 個選 項是錯誤的，還有兩道題因不理解題意只好亂猜 （）求該考生 8 道題全答對的概率； （）若評分標準規(guī)定：“每題只選一個選項，選對得 5 分，不選或選錯得 0 分” ，求該考 生所得分數(shù)的分布列 考點： 相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量及其分布列407442 專題： 應用題 分析： （）根據(jù)題意，該考生 8 道題全答對即另四道題也全答對，根據(jù)相互獨立事件概 率的乘法公式，計算可得答案 （）根據(jù)題意，分析可得，該生答對題的個數(shù)可能為 4，5，6，7，8，分別求出其 概率，進而可得其分布列 43 解答： 解：（）根據(jù)題意，該考生 8 道題全答對即另四道題也全答對， 即相互獨立事件同時發(fā)生，故其概率為：P= （5 分） （）根據(jù)題意，分析可得，該生答對題的個數(shù)可能為 4，5，6，7，8， 其概率分別為： P（=8）= 分布列為： （13 分） 點評： 本題考查相互獨立事件概率的乘法公式與隨機變量的分布列，兩者經(jīng)常一起考查， 平時要加強這方面的訓練 19 （12 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面邊長是 ，側(cè)棱長是 3，點 E、F 分別在 BB1、DD 1 上，且 AEA1B，AFA 1D （1）求證：A 1C面 AEF； （2）求截面 AEF 與底面 ABCD 所成二面角 的正切值 考點： 直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法407442 專題： 計算題；證明題；空間角 分析： （1）連接 A1C，證明 AEA1C，AFA 1C，利用直線與平面垂直的判定定理證明 A1C面 AEF； （2）如圖說明NAO= 就是截面 AEF 與底面 ABCD 所成二面角 ，通過解三角形， 求出 AC，BE，即可求解 的正切值 解答： 證明：（1）連接 A1C 正四棱柱CB平面 ABB1A1CBAE 又 AEA1B AE平面 A1BCAEA1C 同理可得：AF A1C 44 A1C平面 AEF （2）AE A1BRtABA1RtABEABA1=BEA， 如圖 EF 的中點為 N，AC 的中點為 O，連結(jié) NO，則NAO= ， 又 底面邊長是 ，側(cè)棱長是 3 ， 得 ，BE=1 同理 DF=1 又 ， 點評： 本題考查直線與平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能 力 20 （13 分）京廣高鐵于 2012 年 12 月 26 日全線開通運營，G808 次列車在平直的鐵軌上 勻速行駛，由于遇到緊急情況，緊急剎車時列車行駛的路程 S（t） （單位：m ）和時間 t（單位：s）的關(guān)系為： （1）求從開始緊急剎車至列車完全停止所經(jīng)過的時間； （2）求列車正常行駛的速度； （3）求緊急剎車后列車加速度絕對值的最大值 考點： 函數(shù)模型的選擇與應用；導數(shù)的運算407442 專題： 導數(shù)的綜合應用 分析： （1）利用導數(shù)求出列車的速度關(guān)于 t 的表達式，令 v（t ） =0 解出即可； （2）利用（1） ，令 t=0，解出即可； （3）因為加速度 a（t）=V' （ t） ，利用導數(shù)求出即可 解答： 解：（1）緊急剎車后列車的速度 V（t ）=S'（t） ， ， 當列車完全停止時 V（t）=0m/s， t24t60=0， 解得 t=10 或 t=6（舍去） 即從開始緊急剎車至列車完全停止所經(jīng)過的時間為 10s （2）由（1）知，從開始緊急剎車至列車完全停止所經(jīng)過的時間為 10 s， 45 又由列車的速度 火車正常行駛的速度當 t=0 時，V （0）=90m/s （3）緊急剎車后列車運行的加速度 a（t ）=V' （t ） |a（t） |= |a（0）|最大， |a（t）| max=84m/s2 點評： 熟練掌握 v（t）=s （t） ，a（t）=v （t）是解題的關(guān)鍵 21 （13 分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點 M（1，2） ，它們在 x 軸上有共同焦點， 橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點 （1）求這三條曲線的方程； （2）對于拋物線上任意一點 Q，點 P（a ，0）都滿足|PQ| |a|，求 a 的取值范圍 考點： 圓錐曲線的共同特征；拋物線的簡單性質(zhì)407442 專題： 計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 分析： （1）由題意求出平行方程，得到橢圓與雙曲線的焦點坐標，求出橢圓與雙曲線中 a，b，然后求橢圓與雙曲線的方程； （2）設(shè)出拋物線上任意一點 Q 的坐標，點 P（a ，0）求出|PQ|，利用|PQ| |a|恒成立， 求 a 的取值范圍 解答： 解：（1）設(shè)拋物線方程為 y2=2px（p0） ， 將 M（1，2）代入方程得 p=2 拋物線方程為：y 2=4x 由題意知橢圓、雙曲線的焦點為 F（1，0） 1，F(xiàn) 2（1，0） ， c=1 對于橢圓， ， 所以橢圓方程為 對于雙曲線， ， 所以雙曲線方程為 （2）設(shè) 由|PQ|a|得 ， t2+168a0，t 28a16 恒成立 則 8a160，a 2 a（，2 點評： 本題考查圓錐曲線的共同特征，三種曲線的求法，兩點間的距離公式的應用，考查 46 學生分析問題與解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想 22 （13 分）已知二次函數(shù) f（x）=x 2ax+a（xR）同時滿足： 不等式 f（x） 0 的解集有且只有一個元素； 在定義域內(nèi)存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f（x 2）成立 設(shè)數(shù)列a n的前 n 項和 Sn=f（n） ， （1）求數(shù)列a n的通項公式； （2）數(shù)列b n中，令 ，T n= ，求 Tn； （3）設(shè)各項均不為零的數(shù)列c n中，所有滿足 cici+10 的正整數(shù) i 的個數(shù)稱為這個數(shù)列 cn的變號數(shù)令 （n 為正整數(shù)） ，求數(shù)列c n的變號數(shù) 考點： 數(shù)列與函數(shù)的綜合407442 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列 分析： （1）由 f（x）0 的解集有且只有一個元素可知=a 24a=0，從而可求得 a 值，又定 義域內(nèi)存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f （x 2）成立，對 a 進行檢驗取舍，可 確定 a 值，利用 Sn 與 an 的關(guān)系即可求得 an （2）由（1）求得 bn，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征利用錯位相減法即可求得 Tn； （3）先求出 Cn，判斷 n3 時數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)變號數(shù)的定義可得 n3 時的變號數(shù)， 根據(jù) c1=3，c 2=5，c 3=3，可得此處變號數(shù)，從而可求得數(shù)列c n的變號數(shù) 解答： 解：（1）f （x） 0 的解集有且只有一個元素， =a24a=0a=0 或 a=4， 當 a=0 時，函數(shù) f（x）=x 2 在（0，+）上遞增， 故不存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f （x 2）成立， 當 a=4 時，函數(shù) f（x）=x 24x+4 在（0，2）上遞減， 故存在 0x 1x 2，使得不等式 f（x 1）f （x 2）成立 綜上，得 a=4，f（x）=x 24x+4， ， ； （2） = ， bn=n， ， ， 得，T n=2+22+2nn2n+1= n2n+1， ； 47 （3）由題設(shè) n3 時， ， n3 時，數(shù)列c n遞增， ，由 ， 可知 a4a50，即 n3 時，有且只有 1 個變號數(shù)； 又 c1=3，c 2=5，c 3=3， 即 c1c20，c 2c30， 此處變號數(shù)有 2 個 綜上得 數(shù)列c n共有 3 個變號數(shù)，即變號數(shù)為 3； 點評： 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力， 考查學生解決新問題的能力，綜合性強，難度大，對能力要求高 2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷） 數(shù)學（理科） 本試卷分第卷和第 II 卷（非選擇題）兩部分，第卷第 1 至第 2 頁，第 II 卷第 3 至第 4 頁。全卷滿分 150 分，考試時間為 120 分鐘。 參考公式： 如果事件 A 與 B 互斥，那么()()PP 如果事件 A 與 B 相互獨立，那么 第卷（選擇題 共 50 分） 48 一選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分，在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的。 （1） 設(shè) 是虛數(shù)單位， 是復數(shù) 的共軛復數(shù)，若 ，則 =i_z|()0Ixf+2ziA （A） （B）+1i （C） （D）1- （2） 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是 （A） （B）6254 （C） （D）341 版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)( ) （3）在下列命題中，不是公理的是 （A）平行于同一個平面的兩個平面相互平行 （B）過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 （C）如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上 所有的點都在此平面內(nèi) （D）如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么他們有且只有一條過該點的公共直線 （4） “是函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增”的“0a()=-1fxa(0,+) （A） 充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （5）某班級有 50 名學生，其中有 30 名男生和 20 名女生，隨機詢問了該班五名男生和五 名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為 86,94,88,92,90，五名女生的成績 分別為 88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是 （A）這種抽樣方法是一種分層抽樣 （B）這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣 （C）這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差 （D）該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù) （6）已知一元二次不等式 的解集為 ，則 的解集為()xf （A） （B）|lg2x或 |-1lg （C） （D ） （7）在極坐標系中，圓 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為=cosp （A） （B）=0()R和 =()cos=22R和 （C） （D）s12和 01和 （8）函數(shù) 的圖像如圖所示，在區(qū)間 上可找到()yfx,ab()n 49 個不同的數(shù) 使得 則 的取值范圍是12,.,nx12()()=,nfxfxf （A） （B）34,34 （C） （D）,5 （9）在平面直角坐標系中， 是坐標原點，兩定點 滿足 則o,AB2,OAB 點集 所表示的區(qū)域的面積是,1,|POAR （A） （B ）223 （C） （D）44 （10）若函數(shù) 有極值點 ， ，且 ，則關(guān)于 的方程3()=+bfxc1x21()=fxx 的不同實根個數(shù)是213()0f （A）3 （B）4 （C） 5 （D）6 第卷（非選擇題 共 100 分） 考生注意事項： 請用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。 二.填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。把答案填在答題卡的相應位置。 （11）若 的展開式中 的系數(shù)為 7，則實數(shù) _。 83ax4xa （12）設(shè) 的內(nèi)角 所對邊的長分別為 。若 ，則ABC, ,bc2a 則角 _.3sin5i, （13）已知直線 交拋物線 于 兩點。若該拋物線上存在點 ，使得ya2yx,ABC 為直角，則 的取值范圍為_。 （14）如圖，互不相同的點 和 分別在角 O 的兩條邊上，12,nX 12,n 所有 相互平行，且所有梯形 的面積均相等。設(shè) 若nAB .nAa 則數(shù)列 的通項公式是_。12,ana （15）如圖，正方體 的棱長為 1，P 為 BC1CDAB 的中點，Q 為線段 上的動點，過點 A,P,Q 的平面截該正方1 體所得的截面記為 S。則下列命題正確的是_（寫出所 有正確命題的編號） 。 當 時，S 為四邊形02 當 時，S 為等腰梯形1C 當 時，S 與 的交點 R 滿足34Q1D13C 當 時，S 為六邊形 當 時，S 的面積為C62 三.解答題：本大題共 6 小題，共 75 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解 答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)。 50 （16） （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 的最小正周期為 。()4cosin(0)4fxx （）求 的值； （）討論 在區(qū)間 上的單調(diào)性。f0,2 （17） （本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) ，其中 ，區(qū)間()(1)xax0a|()0Ixf （）求的長度（注：區(qū)間 的長度定義為 ） ；, （）給定常數(shù) ，當時，求 長度的最小值。0,kl （18） （本小題滿分 12 分） 設(shè)橢圓 的焦點在 軸上 22:1xyEax （）若橢圓 的焦距為 1，求橢圓 的方程；E （）設(shè) 分別是橢圓的左、右焦點， 為橢圓 上的第一象限內(nèi)的點，直線 交1,FP2FP 軸與點 ，并且 ，證明：當 變化時，點 在某定直線上。yQPap （19） （本小題滿分 13 分） 如圖，圓錐頂點為 。底面圓心為 ，其母線與底面所成的角為 22.5°。 和 是底poABCD 面圓 上的兩條平行的弦，軸 與平面 所成的角為 60°，OOCD （）證明：平面 與平面 的交線平行于底面；PABCD （）求 。cosO （20） （本小題滿分 13 分） 設(shè)函數(shù) ，證明： 22()1(,)3nnnxxfxRN （）對每個 ，存在唯一的 ，滿足 ；nN1n(0nfx （）對任意 ，由（）中 構(gòu)成的數(shù)列 滿足 。px1np （21） （本小題滿分 13 分） 某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張 老師負責，已知該系共有 位學生，每次活動均需該系 位學生參加（ 和 都是固定的nkk 正整數(shù)） 。假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系 位學生， 且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為 x （）求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率； （）求使 取得最大值的整數(shù) 。()PXmm 51 52 53 54 絕密啟用前 2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷) 數(shù)學(理科) 第卷（選擇題 共 50 分） 一、選擇題：本大題共 10 小題。每小題 5 分，共 50 分。在每個小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的。 1.設(shè)集合 M=1，2，zi,i 為虛數(shù)單位，N=3，4 ，MN=4 ，則復數(shù) z= （ ） A. -2i B. 2i C. -4i D.4i 2.函數(shù) y= ln（1-x）的定義域為 （ ） A.(0,1) B.0,1) C.(0,1 D.0,1 3.等比數(shù)列 x，3x+3，6x+6，的的第四項等于 （ ） A.-24 B.0 C.12 D.24 4.總體由編號為 01，02，19，20 的 20 個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取 5 個個體，選取方法從隨機數(shù)表第 1 行的第 5 列和第 6 列數(shù)字開始由左到右一次選 取兩個數(shù)字，則選出來的第 5 個個體的編號為 （ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 5.（x 2- ） 5展開式中的常數(shù)項為 （ ） A80 B.-80 C.40 D.- 40 6.若 ，則 s1,s2,s3 的大小關(guān)系為 A. s1s 2s 3 B. s2s 1s 3 C. s2s 3s 1 D. s3s 2 s1 7.閱讀如下程序框圖，如果輸出 i=5，那么在空白矩形框中應填入的語句為 A.S=2i-2 B.S=2i-1 C.S=2I D.S=2i+4 8.如果，正方體的底面與正四面體的底面 在同一平面 上，且 AB/CD，正方體的 六個面所在的平面與直線