工程中的不確定性統(tǒng)計與概率02 上講回顧 數(shù)據(jù)表示方法直方圖和累積分布均值和標準偏差連續(xù)分布正態(tài)分布及其應用 例 III 回顧 例 III 回顧 某公司入庫250個連桿 抗張強度均值為45ksi kilopoundsquareinch 千磅 平方英寸 標準偏差為5kpsi 假設抗張強度服從正態(tài)分布 a 有多少連桿的抗張強度將低于39 5kpsi 例 III 回顧 由于z 0 我們用公式 F 1 10 1 F 1 10 1 0 8643 0 1357 查表 于是 250 0 1357 3434個連桿的抗張強度將低于39 5kpsi 先進行標準化變換 例 III 回顧 某公司入庫250個連桿 抗張強度均值為45ksi kilopoundsquareinch 千磅 平方英寸 標準偏差為5kpsi 假設抗張強度服從正態(tài)分布 b 有多少連桿的抗張強度位于39 5kpsi和59 5kpsi之間 例 III 回顧 由表 F 2 9 0 9981 所以抗張強度大于的概率為1 0 9981 0 0019 抗張強度位于39 5kpsi和59 5kpsi之間的概率為 1 0 1357 0 0019 0 8624 于是有250 0 8624 216個連桿的抗張強度位于39 5kpsi和59 5kpsi之間 先進行標準化變換 例 III 回顧 課堂練習1 3分鐘 課堂練習1 500根鋼棒的長度服從正態(tài)分布 其均值為11cm 標準偏差為1cm 試估計長度大于13cm的鋼棒的數(shù)量 課堂練習1 F z 1 F z z 500根鋼棒的長度服從正態(tài)分布 其均值為11cm 標準偏差為1cm 試估計長度大于13cm的鋼棒的數(shù)量 F 2 0 9772于是 500 1 0 9772 11根鋼棒的長度大于13cm 先進行標準化變換 課堂練習1 本講內容 復合統(tǒng)計統(tǒng)計過程控制概率回歸 復合統(tǒng)計 假定有兩組數(shù)據(jù) 我們要對兩組數(shù)據(jù)進行復合統(tǒng)計 例如 兩個相互配合的零件的配合尺寸數(shù)據(jù) 或者承載零件的強度與加載零件的加載力之間的關系 如果零件的尺寸 強度或應力有變化 則原本能夠配合的兩個零件可能配合不上 承載零件可能失效斷裂等 記Xi i 1 2 3 N 為分布1的數(shù)據(jù) 記Yi i 1 2 3 N 為分布2的數(shù)據(jù) 令變量Z表示變量X和變量Y的復合 且有 Zi Xi Yi i 1 2 3 N 均值的計算如下 復合統(tǒng)計 從均值的定義可以看出 均值可以進行加減運算 方差為 0 對于獨立或無關聯(lián)變量 復合統(tǒng)計 從方差的定義可以看出 不管均值是加還是減 方差必須要相加 0 0 0 對于連續(xù)分布 均值也能相加減 方差必須相加 標準偏差為 或 復合統(tǒng)計 例 IV 例 IV 從一批軸零件中抽樣1000根 發(fā)現(xiàn)直徑的均值為29 50mm 標準偏差為0 40mm 該軸的配合零件軸套的內徑均值為30 50mm 標準偏差為0 50mm 如果隨機挑選一根軸和一根軸套 它們間隙小于零配合的概率是多大 假設尺寸都是正態(tài)分布的 例 IV 間隙的均值為 30 5 29 5 1 0mm 間隙的方差為 0 42 0 52 0 41 于是間隙的標準偏差為 0 64 需要計算間隙小于零的概率 作以下變換 查表 有 F 1 562 1 F 1 562 1 0 9404 0 0596于是 間隙小于零配合的概率為5 96 例 IV 課堂練習 3分鐘 課堂練習2 桿直徑的均值為Dr 3 99cm 標準偏差為0 01cm 該桿將要與一套子配合 該套子的孔徑的均值為Ds 4 00cm 標準偏差為0 05cm 如果隨機挑選一根桿和一個套子 它們間隙小于零配合的概率是多大 假設直徑服從正態(tài)分布 需要計算間隙 0的概率 先進行如下變換 查表 F 0 1961 0 5793F 0 1961 1 0 5793 0 4207即 間隙小于零配合的概率為 42 07 間隙均值 標準偏差 課堂練習2 統(tǒng)計過程控制 統(tǒng)計過程控制 統(tǒng)計過程控制的概念 在生產(chǎn)過程中 產(chǎn)品的加工尺寸的波動是不可避免的 它是由人 機器 材料 方法和環(huán)境等基本因素的波動影響所致 波動分為兩種 正常波動和異常波動 正常波動是偶然性原因 不可避免因素 造成的 它對產(chǎn)品質量影響較小 在技術上難以消除 在經(jīng)濟上也不值得消除 異常波動是由系統(tǒng)原因 異常因素 造成的 它對產(chǎn)品質量影響很大 但能夠采取措施避免和消除 過程控制的目的就是消除 避免異常波動 使過程處于正常波動狀態(tài) 統(tǒng)計過程控制非常適合于重復性生產(chǎn)過程它能夠幫助我們對過程作出可靠地評估 確定過程的統(tǒng)計控制界限 判斷過程是否失控 為過程提供一個早期警報系統(tǒng) 及時控制過程情況 防止廢品發(fā)生 減少對常規(guī)檢測的依賴性 定時的觀察以及系統(tǒng)的測量方法替代了大量的檢測和驗證工作 實施統(tǒng)計過程控制一般分為兩大步驟 首先是利用統(tǒng)計過程控制工具進行分析第二步是用控制圖對過程進行監(jiān)控 并不需要檢測每一個數(shù)據(jù) 而只要監(jiān)測一個小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性 通過對若干個樣本平均值的比較 就可以判斷過程是否經(jīng)歷系統(tǒng)性的變化 檢測標準偏差 可以估計產(chǎn)品的相關性能是否改變 統(tǒng)計過程控制 通常以圖表形式對檢測結果進行顯示和分析控制圖的基本布局 統(tǒng)計過程控制 圖中的均值由以往測量數(shù)據(jù)進行估計得到控制極限到均值的距離為標準偏差的三倍這意味著一個數(shù)據(jù)落在控制極限外面的概率為0 003 這是一個非常小的概率 圖示的控制圖中 測量值離均值線越來越遠 說明整個過程缺少控制 圖示的控制圖中 測量值呈現(xiàn)周期性變化 體現(xiàn)出了操作者或者環(huán)境因素的影響 概率 概率 概率基礎及其工程應用 當我們已經(jīng)建立好某個加工過程或系統(tǒng)的統(tǒng)計屬性 如高度分布 人體重量分布 加工表面的表面粗糙度分布等 我們就可以運用這些分布規(guī)律來進行預測 如 不適合飛機座椅的乘客比例 機加工零件中尺寸不符合要求的零件比例等 當單個事件發(fā)生的概率確定后 就可以計算多重事件發(fā)生的概率 為了計算多重事件發(fā)生的概率 需要了解這些事件是否是互斥事件或獨立事件 互斥事件 一個事件發(fā)生 另外一個就不會發(fā)生 則稱這兩個事件為互斥事件 例如 投擲硬幣時出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面這兩個事件即為互斥事件 獨立事件 一個事件是否發(fā)生 與另外一個事件的發(fā)生與否沒有關系 則稱這兩個事件為獨立事件 例如 投擲兩次硬幣時 第一個硬幣出現(xiàn)正面與第二個硬幣出現(xiàn)正面是完全獨立的 因此這兩個事件為獨立事件 符號 P E1 事件E1發(fā)生的概率P E2 事件E2發(fā)生的概率P E1 E2 事件E1或E2發(fā)生的概率P E1E2 事件E1和E2都發(fā)生的概率 概率 特別情形 P E1 E2 P E1 P E2 互斥事件P E1E2 P E1 P E2 獨立事件 一般情況下 P E1 E2 P E1 P E2 P E1E2 互斥事件 一個事件發(fā)生 另外一個就不會發(fā)生 獨立事件 一個事件是否發(fā)生 與另外一個事件的發(fā)生與否沒有關系 概率 1 P E1 1 P E2 T事件發(fā)生F事件不發(fā)生 事件E1和E2都發(fā)生 P E1 P E2 事件E1和E2都不發(fā)生 1 P E1 P E2 P E1 P E2 概率 事件E1或事件E2發(fā)生 E1E2FFTFFTTT T事件發(fā)生F事件不發(fā)生 1 bothfail 1 1 P E1 1 P E2 P E1 P E2 P E1 P E2 概率 例 V 例 V 將兩個可靠性為0 9的零件串行連接 則當兩個零件都正常運行時 系統(tǒng)正常運行 系統(tǒng)能夠運行的概率為 P E1E2 0 9 0 9 0 81 例 V 例 VI 例 VI 若兩個零件并行連接 系統(tǒng)能夠運行的概率是多大 并行連接時 兩個零件都失效了 系統(tǒng)才失效 系統(tǒng)能夠運行的概率為 P E1 E2 1 bothfail 1 1 0 9 1 0 9 0 99 例 VI 例 VII 例 VII 現(xiàn)有一種非常廉價但不太可靠的產(chǎn)品 其可靠度為0 3 現(xiàn)欲將這種產(chǎn)品并行連接 問 需要多少個零件并行連接才能使系統(tǒng)達到0 99的可靠度 例 VII P works 1 P allfail 1 1 0 3 n 1 0 7n 0 99于是 1 0 99 0 7nln 1 0 99 ln 0 7n nln 0 7 n ln 1 0 99 ln 0 7 12 9需要13個產(chǎn)品并行連接 0 3 0 3 0 3 課堂練習 3分鐘 課堂練習3 計算如下系統(tǒng)的工作可靠性 兩個并行零件構成的小系統(tǒng)的可靠性為 1 bothfail 1 1 0 8 1 0 9 0 98 0 98 整個系統(tǒng)的可靠性為 0 98 0 95 0 931 每個零件的可靠性如圖上所示 課堂練習3 根據(jù)測量出的散亂數(shù)據(jù) 確定變量間的相互關系 回歸分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法 回歸 通常對于兩個變量x和y 我們會獲得一些數(shù)據(jù) 2 為了直觀地了解變量間的關系 可將這些數(shù)據(jù)繪制在x y平面上 散點圖 3為了更加精確的了解變量間的關系 我們采用回歸方法 即用一條直線或曲線來最佳地擬合這些數(shù)據(jù)點 也就是給出變量之間關系的數(shù)學表達式 x 回歸 一元線性回歸 回歸分析按照涉及的自變量的多少 可分為一元回歸分析和多元回歸分析 按照自變量和因變量之間的關系類型 可分為線性回歸分析和非線性回歸分析 在回歸分析中 只包括一個自變量和一個因變量 且二者的關系可用一條直線近似表示 這種回歸分析稱為一元線性回歸分析 最小距離平方為 通過計算偏導 和 求a和b 使得這些點到最佳直線的豎直距離的平方和最小 回歸 得 即 回歸 內容回顧 了解統(tǒng)計與概率的基本知識數(shù)據(jù)表達方法離散和連續(xù)分布正態(tài)分布及查表單獨事件和多重事件的概率從散亂數(shù)據(jù)中獲得其變化規(guī)律 統(tǒng)計與概率在統(tǒng)計過程控制以及公差上的應用 本講結束 謝謝 團隊活動 準備答辯