第二篇重點(diǎn)專題分層練 中高檔題得高分 第11練數(shù)列 小題提速練 明晰考情1 命題角度 考查等差數(shù)列 等比數(shù)列基本量的計(jì)算 考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和 2 題目難度 選擇題中等偏下 填空題中檔難度 核心考點(diǎn)突破練 欄目索引 易錯(cuò)易混專項(xiàng)練 高考押題沖刺練 考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列 要點(diǎn)重組 1 在等差數(shù)列中 若m n p q m n p q N 則am an ap aq 核心考點(diǎn)突破練 3 在等差數(shù)列 an 中 Sn S2n Sn S3n S2n也成等差數(shù)列 4 在等比數(shù)列中 若m n p q m n p q N 則am an ap aq 5 在等比數(shù)列中 Sn S2n Sn S3n S2n也成等比數(shù)列 n為偶數(shù)且q 1除外 解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由3S3 S2 S4 1 2018 全國 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若3S3 S2 S4 a1 2 則a5等于A 12B 10C 10D 12 將a1 2代入上式 解得d 3 故a5 a1 5 1 d 2 4 3 10 故選B 答案 解析 2 已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 a7 64 a1a5 a3 20 則S5等于A 31B 63C 16D 127 答案 解析 解析設(shè)公比為q q 0 a1a5 a3 20 a3 20 0 即 a3 5 a3 4 0 a3 0 a3 4 a7 a3q4 64 q 2 a1 1 3 在數(shù)列 an 中 若a1 2 且對任意正整數(shù)m k 總有am k am ak 則 an 的前n項(xiàng)和Sn等于 解析依題意得an 1 an a1 即有an 1 an a1 2 所以數(shù)列 an 是以2為首項(xiàng) 2為公差的等差數(shù)列 答案 解析 4 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 q 1 令bn an 1 n 1 2 若數(shù)列 bn 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 53 23 19 37 82 中 則6q 解析由題意知 數(shù)列 bn 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 53 23 19 37 82 中 說明 an 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 54 24 18 36 81 中 由于 an 中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù) q1 an 的連續(xù)四項(xiàng)為 24 36 54 81 答案 解析 9 考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和 方法技巧 1 已知數(shù)列的遞推關(guān)系 求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí) 通常利用累加法 累乘法 構(gòu)造法求解 答案 解析 答案 解析 解析 數(shù)列 an 滿足a1a2a3 an n N 當(dāng)n 1時(shí) a1 2 當(dāng)n 2時(shí) a1a2a3 an 1 2 n 1 2 可得an 22n 1 n 2 當(dāng)n 1時(shí) a1 2滿足上式 7 2018 全國 記Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若Sn 2an 1 則S6 解析 Sn 2an 1 當(dāng)n 2時(shí) Sn 1 2an 1 1 an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 2a1 1 得a1 1 數(shù)列 an 是首項(xiàng)a1 1 公比q 2的等比數(shù)列 63 S6 1 26 63 答案 解析 答案 解析 2n 1 2 n 解析依題意 3an 1an 1 anan 1 2anan 1 即2an 1an 1 2anan 1 anan 1 an 1an 1 考點(diǎn)三數(shù)列的綜合應(yīng)用 方法技巧 1 以函數(shù)為背景的數(shù)列問題 可以利用函數(shù)的性質(zhì)等確定數(shù)列的通項(xiàng)an 前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系 2 和不等式有關(guān)的數(shù)列問題 可以利用不等式的性質(zhì) 基本不等式 函數(shù)的單調(diào)性等求最值來解決 答案 解析 解析因?yàn)閒 x x2 ax 所以f x 2x a 又函數(shù)f x x2 ax的圖象在點(diǎn)A 0 f 0 處的切線l與直線2x y 2 0平行 所以f 0 a 2 所以f x x2 2x 10 2017 全國 幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召 開發(fā)了一款應(yīng)用軟件 為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 他們推出了 解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼 的活動(dòng) 這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案 已知數(shù)列1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一項(xiàng)是20 接下來的兩項(xiàng)是20 21 再接下來的三項(xiàng)是20 21 22 依此類推 求滿足如下條件的最小整數(shù)N N 100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪 那么該款軟件的激活碼是A 440B 330C 220D 110 答案 解析 解析設(shè)首項(xiàng)為第1組 接下來的兩項(xiàng)為第2組 再接下來的三項(xiàng)為第3組 依此類推 則第n組的項(xiàng)數(shù)為n 前n組的項(xiàng)數(shù)和為 n 14且n N 即N出現(xiàn)在第13組之后 設(shè)N是第n 1組的第k項(xiàng) 若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪 則N 項(xiàng)的和即第n 1組的前k項(xiàng)的和2k 1應(yīng)與 2 n互為相反數(shù) 即2k 1 2 n k N n 14 k log2 n 3 答案 解析 11 設(shè)等比數(shù)列 an 滿足a1 a3 10 a2 a4 5 則a1a2 an的最大值為 64 解析由已知a1 a3 10 a2 a4 a1q a3q 5 方法一 a2 4 a3 2 a4 1 a1a2a3 a1a2a3a4 a1a2 an的最大值為64 又n N 所以當(dāng)n 3或4時(shí) a1a2 an取最大值26 64 12 已知函數(shù)f x 3 x 5 2 x 2 數(shù)列 an 滿足a1 2 an 1 f an n N 若要使數(shù)列 an 成等差數(shù)列 則a1的取值集合為 答案 解析 所以若數(shù)列 an 成等差數(shù)列 則當(dāng)a1為直線y x 11與直線y x 11的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 即a1 11時(shí) 數(shù)列 an 是以 11為首項(xiàng) 11為公差的等差數(shù)列 當(dāng)f a1 a1 即5a1 19 a1或 a1 11 a1 1 在數(shù)列 an 中 a1 1 a2 2 當(dāng)整數(shù)n 1時(shí) Sn 1 Sn 1 2 Sn S1 都成立 則S15等于A 210B 211C 224D 225 易錯(cuò)易混專項(xiàng)練 解析當(dāng)n 1時(shí) Sn 1 Sn Sn Sn 1 2 an 1 an 2 n 2 an 1 an 2 n 2 數(shù)列 an 從第二項(xiàng)開始組成公差為2的等差數(shù)列 答案 解析 2 已知數(shù)列 an 滿足 an 1 an 1 2an 1 a1 1 數(shù)列 bn 滿足 bn an an 1 則數(shù)列 bn 的前2017項(xiàng)的和S2017 答案 解析 答案 解析 解析由題意 得a2 a1 2 a3 a2 4 an an 1 2 n 1 n 2 累加整理可得an n2 n 33 n 2 當(dāng)n 1時(shí) a1 33也滿足 解題秘籍 1 利用an Sn Sn 1尋找數(shù)列的關(guān)系 一定要注意n 2這個(gè)條件 2 數(shù)列的最值問題可以利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解 但要考慮最值取到的條件 高考押題沖刺練 1 等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為1 公差不為0 若a2 a3 a6成等比數(shù)列 則 an 的前6項(xiàng)和為A 24B 3C 3D 8 解得d 2 解析由已知條件可得a1 1 d 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即a1q2 a1 2a1q 又 a1 0 q2 1 2q 3 已知數(shù)列 an 滿足an 1 an 2 a1 5 則 a1 a2 a6 等于A 9B 15C 18D 30 解析由an 1 an 2可得數(shù)列 an 是等差數(shù)列 公差d 2 又a1 5 所以an 2n 7 所以 a1 a2 a3 a4 a5 a6 5 3 1 1 3 5 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 2B 3C 4D 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析設(shè)Sn為 an 的前n項(xiàng)和 Sn a1 a2 an 2n 1 當(dāng)n 2時(shí) Sn 1 2n 1 1 an 2n 1 2n 1 1 2n 1 4n 1 解析設(shè)S2 k 則S4 3k 由數(shù)列 an 為等比數(shù)列 易知數(shù)列 an 的公比q 1 得S2 S4 S2 S6 S4為等比數(shù)列 又S2 k S4 S2 2k S6 S4 4k S6 7k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 7 2018 唐山模擬 設(shè) an 是任意等差數(shù)列 它的前n項(xiàng)和 前2n項(xiàng)和與前4n項(xiàng)和分別為X Y Z 則下列等式中恒成立的是A 2X Z 3YB 4X Z 4YC 2X 3Z 7YD 8X Z 6Y 解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)X Y X S3n Y Z S3n成等差數(shù)列 S3n 3Y 3X 又2 S3n Y Y X Z S3n 4Y 6X Y X Z 3Y 3X 8X Z 6Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)n 1時(shí) 上式也成立 故選A 9 公差不為0的等差數(shù)列 an 的部分項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列 且k1 1 k2 2 k3 6 則k4 解析根據(jù)題意可知 等差數(shù)列的a1 a2 a6項(xiàng)成等比數(shù)列 設(shè)等差數(shù)列的公差為d 則有 a1 d 2 a1 a1 5d 解得d 3a1 故a2 4a1 a6 16a1 所以 a1 k4 1 3a1 64a1 解得k4 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 22 10 已知數(shù)列 an 滿足a1 0 an 1 an 2 1 則a13等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 168 11 古代數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 有如下問題 今有女子善織 日自倍 五日織五尺 問日織幾何 意思是 一女子善于織布 每天織的布都是前一天的2倍 已知她5天共織布5尺 問這個(gè)女子每天分別織布多少 根據(jù)上題的已知條件 可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為 解析設(shè)這個(gè)女子每天分別織布an尺 則數(shù)列 an 是等比數(shù)列 公比q 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12