2.1.3　超幾何分布 1.理解超幾何分布及其推導(dǎo)過(guò)程.(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 2.能用超幾何分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　超幾何分布 閱讀教材P44～P45例1以上部分，完成下列問(wèn)題. 設(shè)有總數(shù)為N件的兩類(lèi)物品，其中一類(lèi)有M件，從所有物品中任取n件(n≤N)，這n件中所含這類(lèi)物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為P(X＝m)＝(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個(gè))，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱(chēng)X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布. 1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)超幾何分布的模型是不放回抽樣.(√) (2)超幾何分布的總體里可以有兩類(lèi)或三類(lèi)特點(diǎn).(×) (3)超幾何分布中的參數(shù)是N，M，n.(√) (4)超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成.(√) 2.設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，則表示(　　) A.5件產(chǎn)品中有3件次品的概率 B.5件產(chǎn)品中有2件次品的概率 C.5件產(chǎn)品中有2件正品的概率 D.5件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率 【解析】　根據(jù)超幾何分布的定義可知C表示從3件次品中任選2件，C表示從7件正品中任選3件，故選B. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：　 解惑：　 疑問(wèn)2：　 解惑：　 疑問(wèn)3：　 解惑：　 [小組合作型] 超幾何分布概率公式的應(yīng)用 　從放有10個(gè)紅球與15個(gè)白球的暗箱中，隨意摸出5個(gè)球，規(guī)定取到一個(gè)白球得1分，一個(gè)紅球得2分，求某人摸出5個(gè)球，恰好得7分的概率. 【精彩點(diǎn)撥】　摸出5個(gè)球得7分，即摸出2個(gè)紅球，3個(gè)白球，然后利用超幾何分布的概率公式求解即可. 【自主解答】　設(shè)摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5個(gè)球，得7分，僅有兩個(gè)紅球的可能，那么恰好得7分的概率為P(X＝2)＝≈0.385， 即恰好得7分的概率約為0.385. 1.解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布.若滿足，則直接利用公式解決；若不滿足，則應(yīng)借助相應(yīng)概率公式求解. 2.注意公式中M，N，n的含義. [再練一題] 1.在8個(gè)大小相同的球中，有2個(gè)黑球，6個(gè)白球，現(xiàn)從中取3個(gè)，求取出的球中白球個(gè)數(shù)X的分布列. 【解】　X的可能取值是1,2,3. P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 故X的分布列為 X 1 2 3 P 超幾何分布的分布列 　袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機(jī)抽取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球. (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率. 【精彩點(diǎn)撥】　→→ 【自主解答】　(1)從袋中任取4個(gè)球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8. P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝. 故所求分布列為 X 5 6 7 8 P (2)根據(jù)隨機(jī)變量的分布列可以得到大于6分的概率為P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 求超幾何分布的分布列時(shí)，關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量確實(shí)服從超幾何分布及隨機(jī)變量的取值，分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相應(yīng)取值的概率，最后寫(xiě)出分布列. [再練一題] 2.在本例中，設(shè)X1為取得紅球的分?jǐn)?shù)之和，X2為取得黑球的分?jǐn)?shù)之和，X＝|X1－X2|，求X的分布列. 【解】　從袋中任取4個(gè)球的情況為： 1紅3黑，X1＝2，X2＝3，X＝1； 2紅2黑，X1＝4，X2＝2，X＝2； 3紅1黑，X1＝6，X2＝1，X＝5； 4紅，X1＝8，X2＝0，X＝8. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝8)＝＝. 故所求的分布列為： X 1 2 5 8 P [探究共研型] 超幾何分布的綜合應(yīng)用 探究　從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件.這100件產(chǎn)品可分幾類(lèi)？取到的次品數(shù)X的取值有哪些？求次品數(shù)X＝2的概率. 【提示】　產(chǎn)品分兩類(lèi)：次品和非次品；X取值為：0,1,2,3；P(X＝2)＝≈0.006.. 　在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品. (1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列； (2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張， ①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率； ②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列. 【精彩點(diǎn)撥】　(1)從10張獎(jiǎng)券中抽取1張，其結(jié)果有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種，故X～(0,1).(2)從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，其中含有中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券的張數(shù)X(X＝1,2)服從超幾何分布. 【自主解答】　(1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況. P(X＝1)＝＝＝，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列為 X 0 1 P (2)①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類(lèi)事件：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng). 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且 P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝， P(Y＝60)＝＝＝. 因此隨機(jī)變量Y的分布列為 Y 0 10 20 50 60 P 解決超幾何分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問(wèn)題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶. (2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列. [再練一題] 3.現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張1元，2張5元，從中同時(shí)任取3張，求所得金額的分布列. 【解】　設(shè)所得金額為X，X的可能取值為3,7,11. P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝， P(X＝11)＝＝. 故X的分布列為 X 3 7 11 P [構(gòu)建·體系] 1.今有電子元件50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率為(　　) A.　 B. C.1－ D. 【解析】　出現(xiàn)二級(jí)品的情況較多，可以考慮不出現(xiàn)二級(jí)品概率為，故答案為1－. 【答案】　C 2.一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980038】 A. B. C. D. 【解析】　由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P(X＝1)＝＝. 【答案】　B 3.一個(gè)盒子里裝有大小相同的紅球，白球共30個(gè)，其中白球4個(gè).從中任取兩個(gè)，則概率為的事件是(　　) A.沒(méi)有白球 B.至少有一個(gè)白球 C.至少有一個(gè)紅球 D.至多有一個(gè)白球 【解析】?。剑硎救稳〉膬蓚€(gè)球中只有一個(gè)白球和兩個(gè)都是白球的概率，即至少有一個(gè)白球的概率. 【答案】　B 4.某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則P(X＝3)＝________. 【解析】　P(X＝3)＝＝. 【答案】　 5.在一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試中，有備選的10道試題，已知某考生能答對(duì)其中的8道試題，規(guī)定每次考試都從備選題中任選3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題才算合格，求該考生答對(duì)試題數(shù)X的分布列，并求該考生合格的概率. 【解】　X可以取1,2,3.P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為： X＝k 1 2 3 P(X＝k) 該考生合格的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋ P(X＝3)＝＋＝.