不定積分 微分法 積分法 互逆運(yùn)算 第四章 二 不定積分的性質(zhì) 一 原函數(shù)與不定積分的概念 三 基本積分表 第22講不定積分的概念 第4章 一 原函數(shù)與不定積分的概念 1 引例 一質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)量為m 沿直線運(yùn)動(dòng) 問(wèn)題 已知 求 在變力 求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度 由牛頓第二定律 加速度 2 原函數(shù)定義 定義1若函數(shù)F x 及f x 在區(qū)間I上滿足 在區(qū)間I上的原函數(shù) 則稱F x 為f x 3 原函數(shù)的個(gè)數(shù)及原函數(shù)之間的關(guān)系 1 若 F x 為f x 的原函數(shù) 2 若 F x G x 均為f x 的原函數(shù) G x F x C 則 證 結(jié)論 問(wèn)題 原函數(shù)存在的條件 定理 存在原函數(shù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 則必有原函數(shù) 4 原函數(shù)存在定理 5 不定積分定義 的含有任意常數(shù)項(xiàng)的 上的不定積分 記作 在區(qū)間I上 定義2 原函數(shù) 即 被積函數(shù) 積分號(hào) 積分變量 被積表達(dá)式 C為任意常數(shù) 積分常數(shù) 注 如 即若 則 6 不定積分的幾何意義 原函數(shù)的圖形 的圖形 所有積分曲線組成的平行曲線族 的積分曲線族 的積分 注 的積分曲線 曲線族是f x 的 例1 解 例2 解 例3 解 x 0時(shí) 在 0 內(nèi) 有 x 0時(shí) 在 0 內(nèi) 有 例4 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn) 1 2 且其上任一點(diǎn)處的切線 斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍 求此曲線的方程 解 所求曲線過(guò)點(diǎn) 1 2 故有 因此所求曲線為 質(zhì)點(diǎn)在距地面 處以初速 取x軸 向上 運(yùn)動(dòng)軌跡處 初時(shí)刻 初位移 初速 設(shè)時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)位置 則 運(yùn)動(dòng)速度 加速度 垂直上拋 不計(jì)阻 解 2 建坐標(biāo)系 再由此求 例5 力 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 由 知 故運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 由 知 故 2 求 二 不定積分的性質(zhì) 1 不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù) 性質(zhì)1 互逆運(yùn)算 或微分 運(yùn)算的互逆關(guān)系 2 線性運(yùn)算性質(zhì) 性質(zhì)2 線性運(yùn)算推論 則 若 例6 解 k為常數(shù) 三 基本積分表 積分表 續(xù)1 或 或 積分表 續(xù)2 例7 由線性性 例8 小結(jié) 2 套用基本積分公式 基本積分法 1 拆項(xiàng) 整理 用分配律 線性性 分子迎合分母 例9 有理函數(shù)的積分 分子迎合分母 小結(jié) 例10 用三角公式變形分子迎合分母 基本積分表的推廣 定理 若 則 其中 是 的任一導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù) 例8 驗(yàn)證 備選題 求下列積分 提示 例2 1 解 例2 2 火車進(jìn)站時(shí) 需要逐漸減速 設(shè)火車減速時(shí)的 速度隨時(shí)間的變化為 公里 分 問(wèn)火車應(yīng)在距離站臺(tái)多遠(yuǎn)的地方開(kāi)始減速 解 火車減速時(shí)間為 減速的路程 減速的總路程 便可以的到