一元函數(shù)積分學(xué)涉及三種積分 不定積分 定積分 反常積分 廣義積分 這三種積分含義不同 但它們之間有密切聯(lián)系 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱(chēng) 它是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)和微分又構(gòu)成了微分學(xué)的總體 第四章不定積分 第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié)換元積分法 第三節(jié)分部積分法 已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求該函數(shù) 積分學(xué)中討論的問(wèn)題 已知函數(shù)求其導(dǎo)數(shù) 微分學(xué)中討論的問(wèn)題 求導(dǎo)數(shù)的方法稱(chēng)為微分法 求的方法稱(chēng)為積分法 1 原函數(shù)的概念 一 原函數(shù)與不定積分 第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 2 不定積分 例 例1求 解 求不定積分與求導(dǎo) 或微分 互為逆運(yùn)算 解 例2求 如果在每一條曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線 則這些切線都具有相同的斜率即互相平行 不定積分的幾何意義 如果函數(shù)F x 為f x 的一個(gè)原函數(shù) 則稱(chēng)F x 的圖像是f x 的一條積分曲線 函數(shù)f x 的不定積分表示f x 的某一條積分曲線沿縱軸方向任意地平行移動(dòng)所得到的所有積分曲線組成的曲線族 F x 例設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn) 1 2 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍 求此曲線方程 解 設(shè)曲線方程為 根據(jù)題意知 由曲線通過(guò)點(diǎn) 1 2 所求曲線方程為 即為曲線族方程 二 不定積分的性質(zhì)和基本積分公式 求不定積分與求導(dǎo) 或微分 互為逆運(yùn)算 因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式 1 2 不定積分的性質(zhì) 證 等式成立 此性質(zhì)可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情況 例求積分 解 基本積分公式 說(shuō)明 7 8 積分法 求不定積分的方法稱(chēng)為積分法 介紹三種積分法 直接積分法 換元積分法 分部積分法 直接積分法 利用不定積分運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式可以求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分 這種利用不定積分運(yùn)算性質(zhì)和積分基本公式計(jì)算不定積分的方法稱(chēng)為直接積分法 例1 例2 例3 例4 第二節(jié)換元積分法 一 第一換元積分法 二 第二換元積分法 一 第一換元積分法 這是一個(gè)湊微分的過(guò)程 因此第一換元積分法也稱(chēng)為湊微分法 定理 使用第一換元積分法求不定積分的過(guò)程如下 例1求 解 一 二 三 例2求 解 例3求 解 例4求 解 例5求 解 說(shuō)明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí) 拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分 例6求 解 例7求 解 一 解 二 類(lèi)似地可推出 二 第二換元積分法 存在 定理 應(yīng)用第二換元積分法計(jì)算不定積分的過(guò)程如下 例1 例2 例3 也可用 補(bǔ)充說(shuō)明 可以證明 介紹定積分時(shí)介紹 只要被積函數(shù)連續(xù) 其原函數(shù)總是存在的 此時(shí)稱(chēng)是 可積的 有些初等函數(shù)的原函數(shù)雖然存在 但不能表示為初等函數(shù) 我們稱(chēng)這種類(lèi)型的函數(shù)的積分為 積不出的 例如等 都屬于這種類(lèi)型 均稱(chēng)為 積不出 的積分 故 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)均連續(xù) 其原函數(shù)一定存在 但不一定都是初等函數(shù) 分部積分公式 利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則 可以得出分部積分公式 利用分部積分公式求積分的方法 分部積分法 第三節(jié)分部積分法 例2求積分 解 例3求積分 解 例4求積分 解 例5求積分 解 綜合題 求積分 解