第四章 微分法 積分法 互逆運(yùn)算 不定積分 二 基本積分表 三 不定積分的性質(zhì) 一 原函數(shù)與不定積分的概念 第一節(jié) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 不定積分的概念與性質(zhì) 第四章 一 原函數(shù)與不定積分的概念 引例 一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn) 下沿直線運(yùn)動 因此問題轉(zhuǎn)化為 已知 求 在變力 試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 根據(jù)牛頓第二定律 加速度 定義1 若在區(qū)間I上定義的兩個(gè)函數(shù)F x 及f x 滿足 在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù) 則稱F x 為f x 如引例中 的原函數(shù)有 問題 1 在什么條件下 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 2 若原函數(shù)存在 它如何表示 定理1 存在原函數(shù) 下章證明 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 定理2 原函數(shù)都在函數(shù)族 C為任意常數(shù) 內(nèi) 證 1 又知 故 即 屬于函數(shù)族 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 即 定義2 在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為 上的不定積分 其中 積分號 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 P183 若 則 C為任意常數(shù) C稱為積分常數(shù)不可丟 例如 記作 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 不定積分的幾何意義 的原函數(shù)的圖形稱為 的圖形 的所有積分曲線組成 的平行曲線族 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 的積分曲線 例1 設(shè)曲線通過點(diǎn) 1 2 且其上任一點(diǎn)處的切線 斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍 求此曲線的方程 解 所求曲線過點(diǎn) 1 2 故有 因此所求曲線為 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 質(zhì)點(diǎn)在距地面 處以初速 力 求它的運(yùn)動規(guī)律 解 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡為坐標(biāo)軸 原點(diǎn)在地面 指向朝上 質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為 初速為 設(shè)時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)所在位置為 則 運(yùn)動速度 加速度 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 垂直上拋 不計(jì)阻 先求 由 知 再求 于是所求運(yùn)動規(guī)律為 由 知 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 故 二 基本積分表 P186 從不定積分定義可知 或 或 利用逆向思維 k為常數(shù) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 或 或 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例3 求 解 原式 例4 求 解 原式 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 三 不定積分的性質(zhì) 推論 若 則 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例5 求 解 原式 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 求 解 原式 例7 求 解 原式 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例8 求 解 原式 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表 見P186 2 直接積分法 利用恒等變形 及基本積分公式進(jìn)行積分 常用恒等變形方法 分項(xiàng)積分 加項(xiàng)減項(xiàng) 利用三角公式 代數(shù)公式 積分性質(zhì) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 證明 2 若 P191題4 提示 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 提示 3 若 是 的原函數(shù) 則 提示 已知 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 4 若 的導(dǎo)函數(shù)為 則 的一個(gè)原函數(shù) 是 提示 已知 求 即 B 或由題意 其原函數(shù)為 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 5 求下列積分 提示 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 6 求不定積分 解 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 7 已知 求A B 解 等式兩邊對x求導(dǎo) 得 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 作業(yè) P1901 5 12 14 20 23 25 26 2 3 第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束