第2講不等式問題高考定位1.利用不等式性質(zhì)比較大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點，主要以選擇題、填空題為主；2.但在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)問題時常利用不等式進行求解，難度較大.真真 題題 感感 悟悟 1.(2016全國卷)若ab1，0c1，則()A.acbc B.abcbacC.alogbcblogac D.logaclogbc答案CA.0 B.3 C.4 D.5所以A點坐標(biāo)為(1，2)，可得2xy的最大值為2124.答案CA.qrp B.qrpC.prq D.prq答案C解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則(x，y)為陰影部分內(nèi)的動點,x2y2表示原點到可行域內(nèi)的點的距離的平方.考 點 整 合1.簡單分式不等式的解法2.(1)解含有參數(shù)的一元二次不等式，要注意對參數(shù)的取值進行討論：對二次項系數(shù)與0的大小進行討論；在轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的一元二次不等式后，對判別式與0的大小進行討論；當(dāng)判別式大于0，但兩根的大小不確定時，對兩根的大小進行討論；討論根與定義域的關(guān)系.3.利用基本不等式求最值4.二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等.(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值.5.不等式的證明不等式的證明要注意和不等式的性質(zhì)結(jié)合起來，常用的方法有：比較法、作差法、作商法(要注意討論分母)、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法，還要結(jié)合放縮和換元的技巧.熱點一利用基本不等式求最值 微題型微題型1基本不等式的簡單應(yīng)用基本不等式的簡單應(yīng)用探究提高在利用基本不等式時往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值，等號能夠取得.微題型微題型2帶有約束條件的基本不等式問題帶有約束條件的基本不等式問題【例12】 (1)已知兩個正數(shù)x，y滿足x4y5xy，則xy取最小值時，x，y的值分別為()(2)(2016臨沂模擬)設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2y2xy1，則2xy的最大值是_.探究提高在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，或?qū)s束條件中的一部分利用基本不等式，構(gòu)造不等式進行求解.答案(1)C(2)4熱點二含參不等式恒成立問題微題型微題型1分離參數(shù)法解決恒成立問題分離參數(shù)法解決恒成立問題(2)已知x0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.探究提高對于含參數(shù)的不等式恒成立問題，常通過分離參數(shù)，把求參數(shù)的范圍化歸為求函數(shù)的最值問題，af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.微題型微題型2函數(shù)法解決恒成立問題函數(shù)法解決恒成立問題【例22】 (1)已知f(x)x22ax2，當(dāng)x1，)時，f(x)a恒成立，則a的取值范圍為_.(2)已知二次函數(shù)f(x)ax2x1對x0，2恒有f(x)0.則實數(shù)a的取值范圍為_.解析(1)法一f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa，當(dāng)a(，1)時，結(jié)合圖象知，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；探究提高參數(shù)不易分離的恒成立問題，特別是與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題的求解，常用的方法是借助函數(shù)圖象根的分布，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值或值域問題.【訓(xùn)練2】 (1)若不等式x2ax10對于一切a2，2恒成立，則x的取值范圍是_.答案(1)R(2)1，2熱點三簡單的線性規(guī)劃問題微題型微題型1已知線性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)最值已知線性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)最值【例31】 (2016全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元.作出可行域為圖中陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點，頂點為(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)處取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元).答案216 000探究提高線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.微題型微題型2線性規(guī)劃中的含參問題線性規(guī)劃中的含參問題A.3 B.2 C.2 D.3答案(1)B(2)B探究提高對于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意：(1)當(dāng)最值是已知時，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化.(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時，因為平面區(qū)域是變動的，所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可.解析(1)已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中PMQ所示.答案(1)C(2)C1.多次使用基本不等式的注意事項當(dāng)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.2.基本不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關(guān)鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先變換形式才能應(yīng)用.3.解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點問題要驗證解決.4.解答不等式與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合問題時，不等式作為一種工具常起到關(guān)鍵的作用，往往涉及到不等式的證明方法(如比較法、分析法、綜合法、放縮法、換元法等).在求解過程中，要以數(shù)學(xué)思想方法為思維依據(jù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的相關(guān)知識解題，在復(fù)習(xí)中通過解此類問題，體會每道題中所蘊含的思想方法及規(guī)律，逐步提高自己的邏輯推理能力.